Шувалова Э. 3 , Каплун В, И, агелъшк отделений
> Геометрия: Учеб. пособие для подготовит*5-"" * вузов.—М.: Высш. школа, 1980.—256 с., ил.
соответствующий школь-
I В пособии изложен основной теоретический материаЯ- "- решенными примерами | ному курсу геометрии. Изложение иллюстрируется подро0" * для самостоятельной и задачами. В конце каждой главы приведены упражйен работы.
Предназначается для подготовительных отделений ву3" со
ОГЛАВЛЕНИЕ
.....,....... . 7
Предисловие.....................»..».
Часть I. Планиметрия
Г лава 1, Логическое строение курса геометрии
* .... 8
§ 1. О строении курса геометрии............'.'". g
§ 2'. Аксиомы принадлежности t.................... 10
§ 3. Аксиомы расстояния....................'.'.'.' ,11
§ 4. Аксиомы порядка.............•........... «о
§ 5. Перемещения. Аксиома подвижности плоскости .......... J*
§ 6. Аксиома о параллельных..................... ^
§ 7. Следствия из аксиом..................... | J7
'§ 8. Ломаная............................. 18
»§ 9. Угол.................. К..........• • ig
i§ 10. Многоугольник . . •..................' * ! ! 20
•§ 11. Окружность и круг ......'•'".•......' '......
Глава 2. Перемещения и конгруэнтность
§ 12. Определение конгруэнтности фигур................ ^
'§ 13. Основные свойства перемещении................• „„,-
§ 14. Общие свойства конгруэнтности . . ................ -д.
§ 15. Другие свойства перемещений.............' ' ,"\ .'•.' 25
§ 16. Величина угла.................,'.....*.'.'. 26
§ 17. Осевая симметрия •.......................... 28
§ 18, Перпендикуляр и наклонная..................• „_
•§ 19. Свойство серединного перпендикуляра....... • • • • ;- • • • „_
§ 20. Расстояние между двумя фигурам^. Расстояние от точки до^ прямой 29
§ 21. Взаимное расположение прямой и окружности. Взаимное расположе- ^
ние двух окружностей...................... oi
§ 22. Элементарные геометрические построения..........'"'.'. 33
Упражнения.......;........................
Глава 3. Треугольники
§ 23. Основные определения. Свойства равнобедренного треугольника ... 33
§ 24. Признаки конгруэнтности треугольников...........• • ^
§ 25. Построение треугольников............-...••••
§ 26. Признаки конгруэнтности прямоугольных треугольников ....... ав
§ 27. Поворот. Центральная симметрия................. 4]
§ 28. Сравнение углов. Сравнение элементов треугольников....... . «-
§ 29. Решеаше задач...........' • ,............* 45
Упражнения...........•...............'
Глава 4. Параллельность
46
§ 30. Существование параллельных прямых........•...... 47
' I 32! КаиГинЛ"нуНтТнних 'углов' т'ре'угольиика- н многоугольника .47^
III: ЙорислГ^ '' -
ниями.....»••••»•?............
§ 35. Расстояние Цежду параллельными прямыми . . . - '
§ 36. Теорема Фалеса. Свойство средней лини» треугольника. Точка пересечения медиан треугольника..................'.... 53
§ 37. Решение задач..................,...'..'.. 54
Упражнения . . . ..................,.-...'.'.•'.'. 57
Г лава 5. Окружность и круг
* ,§"38. Свойства касательной к окружности....."I .-....... . 58
§ 39. Центральные углы и дуги.................... 59
§ 40. Дуги и хорды .. ~V ....................... 60
*§,.41- Угловая величина дуги. Измерение вписанных углов ........ 61
§ -42. Связь между длинами хорд и их расстояниями от центра ..... 62
и?"§ 43. Окружность, вписанная в треугольник. Окружность, описанная около
треугольника........................., . . 63
§ 44. Четыре замечательные точки треугольника.......... . . '. 64
§ 45. Решение задач...................-,..'•.... 65
Упражнения.............................. 68
Гл-ава 6. Многоугольники
§ 46. Параллелограмм.......................... 70
§ 47. Прямоугольник.......................... 71
§ 48. Ромб и квадрат.......................... 72
§ 49. Трапеция............................ 73
§ 50. Вгшсанные и описанные четырехугольники............ 74
§ 51. Правильные многоугольники................;.. 76
§ 52. Решение задач.......:,................. 77
Упражнения . .-............................. 79
Глава 7.-Векторы на плоскости
§ 53. Определение вектора . . ..................... 81
§ 54. Сумма векторов........................... 82
§ 55. Вычитание векторов. Умножение вектора на число.......... 84
§ 56. Линейная комбинация векторов.. Условие коллинеарности векторов 85
§57. Прямоугольный базис и прямоугольная система координат на плоскости 86
§ 58. Решение задач.......................... '. ' 88
Упражнения . .... v ........... .............Г . . 89
Г'Лава 8. Подобие и гомотетия
* § 59. Подобие и его основные сьойства.................. 90
* § 60. Гомотетия и ее основные свойства................. 91
§ 61. Теоремы о пропорциональных отрезках................ 93
v.§ 152. Признаки подобия треугольников................. 94
§ 63. Подобные многоугольники . . *.................. 97
« § 64. Теорема Пифагора........................ 98
§ 65. Решение задач.......................... 99
Упражнения.............. ............... . Ш1
Глава 9. Тригонометрические функции-угла. Метрические соотношения
в треугольнике
§ 66. Обобщение понятия величины угла........'........ 103
§67. Тригонометрические функции.................• . . 104
§ 68. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того
же аргумента. Тригонометрические функции некоторых углов" . . .^106 §69. Соотношения между углами и сторонами прямоугольного треуголь- • *
ника. Решение прямоугольных треугольников . ,....... . . 107 I
•§ 70. Формулы приведения . , . . ,.... ................. (08;
§ 71. Тригонометрические функции суммы и разности углов' ....... 109
72. Скалярное произведение векторов ............. . . . . . .110
73. Теорема косинусов . ••......................."ill
74. Теорема синусов. Решение произвольных треугольников . . . . . . 112
75. Решение задач „ . ... .. . . , ."". ......,, ^ .*.,.. 11$
оражиения . . . . ... ............. . . , •-. . ; ..... Ц
Глава 10. Площади многоугольников, круга и его частей. Длима 6круйс«й|«й«;:
§ 76. Понятие об измерении площадей................. -J»**
§77. Измерение площади с помощью палетки.............. 1Щ
§ 78. Площадь прямоугольника..................... 120
§ 79. Площади параллелограмма и треугольника .-.'........... 121
§ 80. Выражение площади треугольника через длины его сторон (формула Герона)............ . •...........'.. 123
§ 81. Площадь трапеции........................ 124
§82. Площадь произвольного четырехугольника. Площади ромба и квадрата 124
§ 83. Площадь многоугольника . . .-. . . . . . . . . . ..'....... 124
§ 84. Площадь круга и его -частей . •......• • •........' '• lj-|
§ 85. Длина окружности и дуги окружности . ...... . . . . . . . 128
§ 86. Решение задач .....'...............;..... 129
Упражнения................................. 132
Часть 1*1. Стереометрия '
Глава Ц. Параллельность в пространстве. Параллельный перенос, . Векторы в пространстве
§ 87. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве . . . 134
§ 88. Признаки параллельности прямых и плоскостей в пространстве . , . 135
§ 89. Транзитивность параллельных прямых. Направление в пространстве 136
§ 90. Параллельный Перенос...................."• . 138
§ 91. Угол между направлениями. Угол между прямыми......... 139
§ 92. Параллельное проектирование ............-.•••• '40с
§ 93. Изображение фигур в стереометрии..........., •" • • • 141
§94. Векторы в пространстве ...................... 142
§ 95. Решение задач............ . ............. 144
Упражнения......."................•...... 147
Г лава 12. Перпендикулярность в пространстве. • Двугранные и многогранные углы •. ,
§ 96. Перпендикуляр и наклонная к плоскости. Теорема о трех'.перпенди- •
кулярах......... ................... 148
§ 97. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между скрещивающимися прямыми........................ 149
'§ 98. Угол между прямой и плоскостью . ................ 151
§ 99. Двугранные углы..................... f. . . 153
•§ 100. Угол между плоскостями. Перпендикулярные плоскостид ..... 1§4
§ 101. Ортогональное проектирование. Длина проекции отрезка ..... 155
§ 102. Площади проекций многоугольника и произвольной плоской фигуры 156
§ 103. Многогранные углы.......... • s............. 158
§ 104. Решение задач............ *. . . ..'-......... 16Q
Упражнения................-у.......... ., . . "164
Г лава 13. Метод координат в пространстве
§ 105. Прямоугольный базис и -прямоугольная система координат в пространстве ......*....'...-.......,......... 166
§ 106. Метод координат................ . . :...... Ш
§ 107. Уравнение плоскости.......... ................. 169 .
§ 108. Решение задач.........................».•« I'Q
Упражнения.....•. ^. ..............'._......,. 175
Глава 14. Многогранники. Цилиндр. Конус
'§ 109. Многогранники......................... 1/6
§ 110. Призма ....:......... :.---. . г............... Ш
'§ 111. Параллелепипед -.-......^. ............. . . •,..• • •-. V*
'§ 112. Пирамида ....-,"..................... ...
§ 113. Гомотетия в пространстве , . . . v • • • • •.....
§ 114. Свойства параллельных сечений пирамиды. Усеченн*"
§ 115. Построение сечений многогранников.........., . . . . 183
§ 116. Цилиндрическая поверхность. Цилиндр............... 186
§ 117. Коническая поверхность. Конус................. 137
§ 118. Решение задач ......................... 188:
Упражнения........ . ..................... 191'
Г лава 15. Сфера и шар
§ 1(9. Основные определения.........,............ 193'
* § 120. Свойства касательной и секущей плоскостей шара......... 1941
§ 121. Взаимное расположение двух сфер................ 19$'
§ 122. Решение задач.......................... 1§6
Упражнения............................. . 199
•• \ . Г лава 16. Измерение объемов '
,§123. Понятие об объеме................j '.-......
§ 124. Объем прямоугольного параллелепипеда............. 20IJ
§125. Объем прямого цилиндра.................... . 202
§ 126. Объем наклонного цилиндра................... 20$
§ 127. Объем конуса. Объем пирамиды................ . 204;
§ 128. Объем фигуры вращения. Объем шара.........; . . . . 20(J
§ 129. Решение задач.......................... 208
Упражнения............................. . 211
Г лава 17. Площадь поверхности ' >;
§ 130. Понятие о площади поверхности................. 213
§ 131. Площадь поверхности призмы.................. 214
§ 132. Площадь поверхности пирамиды................. 215'
§ 133. Площадь поверхности усеченной пирамиды............ 216
§ J34. Площадь поверхности шара................... 217
§ 135. Площадь поверхности кругового цилиндра............ 218
§ 136. Площади поверхностей кругового и усеченного кругового конуса 218
§ 137. Решение задач.......................... 219
Упражнения . ............................. 223 ;
Глава 18. Обзор задач, предлагавшихся на вступительных письменных экзаменах
§ 138. Задачи на метрические соотношения в треугольнике ....... 225
§ 139. Задачи на площади и объемы.................. 230 ;
§ 140. Задачи на векторьГи на применение метода координат . . . . . . 237 ;
§ 141. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений ...... 241
Ответы и указания.......................... 248
Предметный указатель......-.................. . 252
Указатель обозначений, встречающихся в книге............. 256
РПРЕДИСЛОВИЕ
k
Данное пособие предназначено для слушателей подготовительных отделений высших технических учебных заведений и содержит изложение полного курса геометрии общеобразовательной средней школы в соотвёИРВН'И' с""н"ыШ ДёИОТуШЩЬй ,' программой.
Пособие ориентировано на лиц, уже знакомых с курсом геометрии средней, школы, что позволило авторам изложить материал более компактно, в его логической последовательности. Аппарат алгебры и анализа используется в данном пособии в большем объеме и раньше, чем это делается в средней школе (см., например, гл. 10). ч
Учитывая то, что читатели пособия—это будущие студенты технического вуза, авторы старались приблизить терминологию к принятой во втузе и дать некоторые дополнительные сведения, которые потребуются при дальнейшем изучении математики. Это в первую очередь относится к. определению вектора, понятиям площади фигуры и площади поверхности, определениям/ цилиндров и конусов.
Пособие содержит 18 глав. Каждая глава заканчивается параграфом, посвшцел-ным разбор^|типовых^за^ач. Кроме того, в каждой глЛЯё приведши Упражнения ДЛЯ "ЙГОстбятёль'ного '"решения, часть которых- взята непосредственно из материалов вступительных экзаменов последних лет.
: Последняя_глаяа содержит раябп,п,...,тиаовых задач JQ геометрии, предлагав-шихся_на вступитедБных экзаменах в 1977—-19/8 гг. в ряде втузр^г,^ЩГсквы. АВТОРЫ выражают благодарность руководителям экзаменационных комиссййТ" любезно предоставившим им эти задачи: доцентам Л. Н. Милевановой (МИХМ), Т. Э. Кренкелю (МЭИС), В. С. Шитову (МИИТ), В. А. Тоняну (МИЭМ), Л. П. Паршеву (МВТУ), Г. А. Карасеву (МГПИ) и др.
Для удобства пользования книгой в ней приняты следующие обозначения: начало и конец доказательства теоремы или утверждения отмечаются соответственно значками П и В; аналогично, начало и конец решения примера или задачи отмечаются соответственно значками О и ^-
Пособие может быть использовано также при самостоятельной подготовке к вступительным экзаменам.
Большую помощь при окончательной доработке пособия оказали рецензенты: д-р физ-мат. наук М. А. Акивис и коллектив кафедры высшей математики Московского финансового института, в особенности доц. Н. М. Макарова и ст. преподаватель В. И. Стомахин, Авторы выражают им искреннюю признательность.
*• »
Авторы
Цена: 200руб.