Математика : сборник задач с решениями для поступающих в вузы / Н. В. Мирошин, А. В. Баскаков, П. А. Михайлов и др; под ред. В. М. Говорова, Н. В. Мирошина. — М.: ACT: Астрель, 2005. — 829, [3] с.: ил.
ISBN 5-17-004593-X(OOO «Издательство ACT») ISBN 5-271-01323-5 (ООО «Издательство Астрель»)
Сборник содержит более 3000 задач, большинство из которых предлагалось на вступительных экзаменах в ведущие вузы России. Материал разбит по темам курса математики, изучаемого в старших классах средней школы.
Каждая тема включает: необходимые теоретические сведения, три варианта проверочных работ, методические указания-«подсказки», ответы к задачам. Задачи расположены в порядке возрастания сложности их решения. Наиболее типичные и трудные задачи приведены с полным решением.
Пособие предназначено для учашихся старших классов, абитуриентов, слушателей подготовительных отделений вузов. Может быть использовано учителями как дополнительный задачник для домашних заданий и факультативных занятий и репетиторами.
УДК 51(076.1) ББК 22.1я729
От авторов
Приветствуем Вас, уважаемые читатели!
Мы очень надеемся, что предлагаемая Вашему вниманию книга окажется полезной как для старшеклассников, поставивших перед собой задачу успешно окончить среднюю школу и поступить в один из престижных вузов России, так и для учителей и преподавателей математики, много и плодотворно работающих с молодежью.
При работе над книгой авторы преследовали следующую цель — написать сборник задач таким образом, чтобы им было удобно пользоваться не только при самостоятельной подготовке к конкурсным экзаменам, но и при подготовке к экзамену на подготовительных отделениях при вузах или работе с репетитором. Это означает, что сборник должен представлять собой цельный, логически выстроенный курс, в котором от темы к теме идет постепенное накопление используемых при решении задач понятий, в последующих темах — постоянное повторение и закрепление изученных ранее методов и идей решений задач, но уже на новом уровне, с большим объемом материала. Каждая тема должна содержать в оптимальных пропорциях задачи разной степени трудности, расположенные в порядке возрастания трудоемкости и сложнос-ти их решения. В тексте должны быть подсказки теоре-пического плана и наводящие соображения, позволяющие найти правильный путь решения задачи, типовые задачи " задачи, содержащие в решении новые идеи, должны быть решены для образца полностью. Наконец, тот, кто поль-Зуется сборником, должен иметь возможность проверить
свои знания, степень усвоения материала каждой темы. Авторы питают надежду, что предлагаемый'Вам сборник в какой-то мере реализует эту программу.
Сборник содержит более трех тысяч задач, большинство из которых — задачи конкурсных экзаменов по математике в различные вузы России за последние годы. Задачи разбиты по темам так, что при решении задач данной темы практически не используются понятия последующих тем. Материал темы расположен в порядке возрастания сложности и трудоемкости решения задач. Каждая тема содержит три варианта проверочных работ по материалу этой темы, из которых первый вариант наиболее простой, а третий — наиболее трудный. Тема заканчивается методическими указаниями и ответами к задачам, наиболее типичные и трудные задачи приведены с полным решением. Сборник содержит необходимые теоретические сведения и основные формулы. В качестве дополнения к материалу данного сборника можно использовать нашу книгу «Варианты вступительных экзаменов в вузы», выпущенную издательством «Астрель».
Мы надеемся, что книга будет использована учителями средних школ как дополнительный к школьным учебникам задачник по математике, послужит основой для школьных математических кружков. В связи с этим в книгу включены разделы, относящиеся к комплексным числам, формуле бинома Ньютона, комбинаторике. В большей степени, чем это необходимо для подготовки к экзамену, в сборнике представлен материал из начал анализа и векторной алгебры.
Дорогие друзья! Вы сделали верный выбор, решив после окончания школы поступать в высшее учебное заведение. Знания и умение работать — основной капитал всей жизни человека. Не жалейте сил и времени для достижения своей цели. Желаем Вам успеха!
Часть первая
Алгебра и начала анализа
Тема 1. Линейное уравнение. Прямая и окружность
Тема 2. Квадратное уравнение. График квадратного трехчлена
Тема 3. Прямая, окружность, парабола и гипербола. Некоторые приемы построения графиков функций
Тема 4. Модуль величины. Графики выражений, содержащих модули
Тема 5. Линейные и квадратичные неравенства. Решение рациональных неравенств
Тема 6. Степени и корни. Тождественные преобразования числовых и алгебраических выражений
Тема 7. Многочлены. Уравнения высших степеней. Системы уравнений Тема 8. Задачи на составление уравнений. Прогрессии Тема 9. Иррациональные уравнения и неравенства Тема 10. Тригонометрия
Тема 11. Степень и логарифм числа. Показательная
и логарифмическая функции. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства.
Тема.12. Метод математической индукции. Бином Ньютона. Элементы комбинаторики. Комплексные числа
Тема 13. Предел функции, производная и интеграл. Решение задач с применением производной
Оглавление
От авторов ............................................. 3
Часть первая. Алгебра и начала анализа
Тема 1. Линейное уравнение. Прямая линия и окружность ..... 6 Ответы, указания и решения ............................... 17
Тема 2. Квадратное уравнение. График квадратного трехчлена . . 29 Ответы, указания и решения ............................... 41
Тема 3. Прямая, окружность, парабола и гипербола.
Некоторые приемы построения графиков функций ..... 56 Ответы, указания и решения ............................... 69
Тема 4. Модуль величины. Графики выражений, содержащих
о.ч модули ........................................ *">
Ответы, указания и решения ............................... Ю2
' Тема 5. Линейные и квадратичные неравенства.
Решение рациональных неравенств ................. 129
Ответы, указания и решения
Тема 6. Степени и корни. Тождественные преобразования
числовых и алгебраических выражений.
158 Ответы, указания и решения.............................. *
Тема 7. Многочлены. Уравнения высших степеней, системы
уравнений.....................................
'188 Ответы, указания и решения. ........
Тема 8. Задачи на составление уравнений. Прогрессии........206
Ответы, указания и решения...............................240
Тема 9. Иррациональные уравнения и неравенства............259
Ответы, указания и решения...............................275
Тема 10. Тригонометрия..................................312
Ответы, указания и решения...............................337
Тема 11. Степень и логарифм числа. Показательная
и логарифмическая функции. Показательные
и логарифмические уравнения и неравенства..........388
Ответы, указания и решения...............................415
Тема 12. Метод математической индукции. Бином Ньютона.
Элементы комбинаторики. Комплексные числа........443
Ответы, указания и решения...............................464
Тема 13. Предел функции, производная и интеграл.
Решение задач с применением производной..........483
Ответы, указания и решения...............................509
Часть вторая. Векторная алгебра и геометрия
Тема 14. Векторы. Метод координат.........................554
Ответы, указания и решения...............................578
Тема 15. Планиметрия...................................608
Ответы, указания и решения...............................648
Тема 16. Стереометрия...................................699
Ответы, указания и решения...............................750
Цена: 200руб.