Математика | ||||
Дифференциальное и интегральное исяесления -Н.С Пискунов Москва 1957 стр.844 | ||||
Дифференциальное и интегральное исяесления -Н.С Пискунов Москва 1957 стр.844 ОГЛАВЛЕНИЕ ^~- Стр- Предисловие ................ ............. 11 Г Л А В А I x ЧИСЛО. ПЕРЕМЕННАЯ. ФУНКЦИЯ § 1. Действительные (вещественные) числа .............. 15 2. Изображение действительных чисел точками числовой оси .... 14 3. Абсолютная величина действительного числа ......... . . 1& 4. Математическая величина. Переменные и постоянные величины . . 17 5. Характер изменения и область изменения переменной величины . 20 6. Упорядоченность переменной величины. Монотонно изменяющиеся и ограниченные переменные величины ..... "...'."..'... 22 7. Функция ......................... ••• 24 8. Способы задания функций ......... ........... 27 9. Явные и неявные функции ..... .............. 33- 10. Возрастающие, убывающие и монотонные функции ......... 3S 11. Функция, ограниченная в промежутке . . . . ..... , ..... 3S 12. Функции четные и нечетные. Периодические функции ...... 3& 13. Функции целочисленного и непрерывного аргумента ....... 38- § 14. Алгебраические функции .................... ЗЭ^ § 15. Основные элементарные функции . . ........... '....- 43-' § 16. Элементарные функции .... ................. 48 § 17. Полярная система координат ................... 40 Упражнения к главе I .......... ........... 5L ГЛАВА II-ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ § 1. Предел переменной величины .......... . ....... 5$ § 2. Предел функции натурального аргумента (предел последователь- ности) ......... .................... 5^ § 3. Предел функции непрерывного аргумента ......... ... 62' § 4. Обобщение понятия предела функции*1) . . .......... 68- § 5. Функция, ограниченная при х-* а или при лс->оо ....... .75- § 6. Бесконечно малые и бесконечно большие величины ....... 76 § 7. Основные свойства бесконечно малых .............. 8(> § 8. Основные теоремы о. пределах (правила предельного перехода) . 81 !) Звездочкой отмечены параграфы, частично написанные Ю. С. Очаном; двумя звездочками — параграфы, написанные им полностью. 9. Признаки существования предела. Дополнительные сведения о пре-делах <'•.••»•«••....... jl 10. Предел функции - - при *-».0* П. Число в. Натуральные логарифмы ...... <и= 12. Сравнение бесконечно малых величин .... ........ Е 13. Непрерывные функции. Точки разрыва . ......... " 1C ' 14. Свойства функций, непрерывных в точке. Непрерывность элемен тарных функций.......... ,............. 10 15. Взаимно обратные функции *.,................. 1Ц 16. Сложная функция **...................... llgj 17. Свойства функций, непрерывных в замкнутом промежутке . . . . 11& Упражнения к главе II..................... 123 ГЛАВА III ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 1. Скорость движения . ,.....................126 2. Определение производной................; . . . 12$ 3 Геометрическое значение производной .....'.........130 4. Дифференцируемость функций................. 131 5. Нахождение производных от элементарных функций. Производная от функции у •= х» при я целом и положительном........Ш . 6. Производные от функций yc=sinx; y — cosx......... . 135 7. Производные; постоянной, произведения постоянной на функцию, •'"]? суммы, произведения, частного нескольких функций .. . . . . . . 13б 8. Производная логарифмической функции............. :14Д 9. Производная от сложной функции................14$ 10. Производные функций у «= tg х, у = ctg х, у = hi | х \......144 11. Производная неявной функции.................145 12. Производные степенной функции цри любом действительном показателе, показательной функции, «ложной показательной функции . ;14? 13. Производная обратной функции.................149 14. Производные обратных тригонометрических функций......151 15. Таблица основных формул .дифференцирования.........153 16. Параметрическое задание функции...............154 17. Уравнения некоторых кривых в параметрической форме.....:1ЭВ. 18. Производная функции, .заданной параметрически ** ....... 158 . 19. Гиперболические функции *................... 160 20. Дифференциал *....................... . 163S •§ 21. Геометрическое значение дифференциала ............168 •§ 22. Производные различных порядков,.......>.........169 4 23. Дифференциалы различных порядков.............. 171 •§24- Производные различных порядков от неявных функций и функ- ций, заданных параметрически.................. 172 «§ 25. Механическое значение второй производной . . . .... . . . . Ш'.-• -§ 26. Уравнения касательной и нормали. Длины подкасательной и под- • нормали................... .... ... . . . . . 12Jb, 5 27. Геометрическое значение производной радиуса-вектора по поляр- ' " ному углу............ . .... . . . . , ....... Ш; Упражнения к главе Ш. . . . . . ... . ... ........ЩЦ ;'-- . - . ' '" ГЛАВА IV ';''":;:v\ - •'# НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ ^| ?1. Теорема о •корнях производной (теорема Ролля).........tSii! Z Теорема о конеЧ4(ых приращенияж (теорема Лаграижа) ..... 190 Л- '• '•'': . ' ' ' "' ' ' '•' - ' ' ' ' Стр. & 3. Теорема об отношении приращений двух функций (теорема Коши) 191 , § 4. Предел отношения двух бесконечно малых величии («Раскрытие : неопределенностей вида -g-»j............. '.-'. ... 193 § 5. Предел отношения двух бесконечно больших величин/«Раскры- . тие неопределенностей вида — »J............... 195 § 6. Формула Тейлора........................ 200 § 7. Разложение по формуле Тейлора функций ех, sin*, cos* .... 203 Упражнения к главе IV..................... 206 ГЛАВА V ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ § 1. Постановка задачи....................... 208 § 2. Возрастание и убывание функции................ 209 § 3. Максимум и минимум функций ....... лч'......... 211 § 4. Схема исследования дифференцируемой функции на максимум и минимум с помощью первой производной . . ;......... 217 § 5. Исследование функции на максимум и минимум с помощью второй производной.......................... 220 § 6. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .... 223 § 7. Применение теории максимума и минимума функций к решению задач............................. 225 § 8. Исследование функции на максимум и минимум с помощью формулы Тейлора........................'. 227' § 9. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба........ 229 § 10. Асимптоты........................... 235 §11. Общий план исследования функций и построения графиков . . . '240 § 12. Исследование кривых, заданных параметрически ......... 244 Упражнения к главе V..................... 248- * - • . ~' ~ Г Л ABA» VI КРИВИЗНА КРИВОЙ J:, § 1. Длина дуги и ее производная *....,... v . . . . . . . . 253 § 2. Кривизна............................ 4v 256 § 3. Вычисление кривизны. .......'.............''„ 257 § 4. Вычисление кривизны линии, заданной параметрически . ... . . 260 § 5. Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах......................... . 260 § 6. Радиус и круг кривизны. Центр кривизны. Эволюта и эвольвента 261 S 7. Свойства эволюты....................... 266 ' Упражнения к главе VI.................-. .. ; .270 ГЛАВА VII , КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНЫ I о' ^омплексные числа. Исходные определения.......... . 272 | ~ Основные действия над комплексными числами......... 2^4 S о. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня из комплексного числа ............... i ....... 276 ОГЛАВЛЕНИЕ § 4. Показательная форма комплексного числа. Предел комплексной Jj переменной величины **................... . § 5. Понятие о функции комплексного переменного. Показательная функция и ее свойства. Формула Эйлера *............ 2J § 6. Разложение многочлена на множители............... 2J § 7. О кратных кйрнях многочлена................ . 2) § 8 Разложение многочлена на множители в случае комплексных ; корней............................. 2! § 9. Приближенное вычисление действительных корней уравнения . . 2! § 10. Интерполирование. Интерполяционная формула Лагранжа .. . . . 2J § 11. О наилучшем приближении функций многочленами. Теория Чебы- шева......'........................ 2! Упражнения к главе VII.................... 21 ГЛАВА VIII ] ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. Определение функции нескольких переменных.......... 30! ' § 2. Геометрическое изображение функции двух переменных..... 304 ' § 3. Частное и полное приращение функции.........•. . . . 301 § 4. Непрерывность функции нескольких переменных *........ 307 § 5. Частные производные функции нескольких переменных..... 31С § 6. Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных .......................... -312 § 7. Полное приращение и полный дифференциал .,......... 312 § 8. Применение полного дифференциала в приближенных вычисле-. ниях..............................316 § 9. Приложение дифференциала к оценке погрешности при вычислениях **............................ 317 § 10. Производная сложной функции. Полная производная....... - 321 § 11. Производная от функции, заданной неявно ** ......... 323 § 12. Частные проивводные различных порядков............ 32С § 13; Линии уровня......................... 'ЗЗС § 14. Производная по направлению.................. 331 § 15. Градиент............................ 33с § 16. Формула Тейлора для функции двух переменных ** ...... ЗЗС _ § 17. Максимум и минимум функции нескольких переменных ...... 34С § 18. Максимум и минимум функции нескольких переменных, связанных данными уравнениями (условные максимумы и минимумы) .... 34? § 19. Особые точки кривой...................... 35с Упражнения к главе VIII........'."........... 35? ГЛАВА IX ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ § 1.»Уравнения кривой в пространстве................ 36i § 2. Предел и производная векторной функции скалярного аргумента. Уравнение касательной к кривой. Уравнение нормальной плоскости............................. 36J § 3. Правила дифференцирования векторов (векторных функций) • . . 371 § 4. Первая и вторая производные вектора по длине дуги. Кривизна кривой. Главная нормаль.................... 37i § 5. Соприкасающаяся плоскость. Бинормаль. Кручение........ 37! § 6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности......... 38< Упражнения к главе IX.................... , ggj ОГЛАВЛЕНИЕ Стр ГЛАВА X НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ & 1 Первообразная и неопределенный интеграл...........389 1 2. Таблица интегралов.......................391 1 3 Некоторые свойства неопределенного интеграла......... 393 1 4. Интегрирование методом замены переменной или способом подстановки *......................., • • • 395 § 5. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен *.............................397 & 6. Интегрирование по частям **................. 401 § 1. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование...........................405 § 8. Разложение рациональной дроби на простейшие.........409 § 9. Интегрирование рациональных дробей..............413 § 10. Способ Остроградского *.................... 416 <; § 11. Интегралы от иррациональных функций.............419 § 12. Интегралы вида ("/?(*, "\faoft + Ьх + с) dx.......... . 421 § 13. Интегрирование дифференциальных биномов **.........425 § 14. Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок *............... 428 § 15. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций . 431 § 16. Интегрирование некоторых неалгебрайческих функций **.... 435 § 17. О функциях, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции *....................• • • 436 Упражнения к главе X.....................437 ГЛАВА XI ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Постановка задачи. Нижняя и верхняя интегральные суммы ... 446 § 2. Определенный интеграл *....................449 § 3. Основные свойства определенного интеграла...........455 § 4. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона — Лейбница..............................460 § 5. Замена переменной в определенном интеграле..........465 § 6. Интегрирование по частям...............i . . . 467 § 7. Несобственные интегралы *...................469 § 8. Приближенное вычисление определенных интегралов...... . 479 § 9. Формула Чебышева.......................484 § 10. Интегралы, зависящие от параметра...............489 Упражнения к главе XI.....................492 ГЛАВА XII ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 1. Вычисление площадей в прямоугольных координатах....... 496 I. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах . . . 501 3. Длина дуги кривой *...................... 502 4. Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений . . 509 о. Объем тела вращения...................... 510 Ь. Поверхность тела» вращения.................. . 511 * .с* 7. Вычисление -работы с помощью определенного интеграла ..... 81 8. Координаты центра тяжести....................'•'•$• Упражнения к главе XII.....................$ ГЛАВА XIII , -.4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Постановка задачи.......................5) 2. Определения....................-......51 3. Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия) . S 4. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными . . . 5; 5. Однородные уравнения первого порядка .........'.....•& 6. Уравнения, приводящиеся к однородным............5< 7. Линейные уравнения первого порядка..............S 8. Уравнение Бернулли.....................'. ' 6 9. Уравнение в полных дифференциалах..............5, 10. Интегрирующий множитель.................... .5, 11. Огибающая семейства кривых **..............., ft 12. Особые решения дифференциального уравнения первого порядка . 5 13. Уравнение -Клеро......... . ,............. & Н. Уравнение Лагранжа...................... 5 15. Ортогональные и изогональные траектории...........& 16. Дифференциальные уравнения высших порядков * (общие понятия) .......i.......... .ч...........^ 3 f!7. Уравнение вида уи») =/(*)................... 5 18. Некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, приводимых к уравнению первого порядка.........' . . . 5 § 19. Графический метод интегрирования дифференциального уравнения ':' второго порядка ........................5 § 20. Линейные однородные уравнения. Определение и общие свойства 5 § 21. Линейные цднородные уравнения -второго порядка с постоянными ' коэффициентами........................ И § 22. Линейные однородные уравнения п-го порядка с постоянными коэффициентами *....................... . 5 § 23. Неоднородные линейные уравнения второго порядка...... .5 § 24. Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами....................... 6 25. Неоднородные линейные уравнения высших порядков......6 26. Дифференциальное уравнение механических колебаний ...... 6 27. Свободные колебания ..................... .6 28. Вынужденные колебания.........«..........6 „ 29. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений .......6 § 30.. Понятие о теории устойчивости Ляпунова *......... ..'. :• <з Упражнения к главе XIII.........••............ 6 ГЛАВА XIV \ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1. Двойной интеграл *..................'..... i 2. Вычисление двойного интеграла ................ . € 3. Вычисление двойного интеграла (продолжение) *. ...... . . С 4: Вычисление площадей и объемов с помощью двойных интегралов С 5; Двойной интеграл в полярных координатах • • ~.....• ... I < | 6.* Замена переменных в двойном интеграле (общий случай) . . . .' $ § Т. Вычисление площади поверхности . . . . . . .... . . . . . * I ОГЛАВЛЕНИЕ V. • .\ ' Ф Стр § 8. Плотность распределения вещества и двойной интеграл ..... §83 л 9. Момент инерции площади плоской фигуры ........... 685 s 10. Координаты центра тяжести площади плоской фигуры ...... 689 S И. Тройной интеграл . *....................... 691 § 12. Вычисление тройного интеграла ** ............... 69^ s 13. Замена переменных в тройном интеграле............ 697 § 14. Момент инерции и координаты центра тяжести тела....... 701 § 15. Вычисление интегралов, зависящих от параметра *....... 703 Упражнения к главе XIV.................... 704 ГЛАВА XV . КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ § 1. Криволинейный интеграл ............•...... 711 § 2. Вычисление криволинейного интеграла *...........' . . 715 § 3. Формула Грина......................... 720 - § 4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования........................... 722 § 5. Поверхностный интеграл.................... 726 § 6. Вычисление поверхностного интеграла.............. 728 § 7. Формула Стокса......................... 731 § 8. Формула Остроградского.................... 736 t § 9. Поверхностные интегралы от скалярных функций (интегралы по площади поверхности) **................• • • • 739 § 10. Криволинейные интегралы "от скалярных функций (интегралы по длине дуги) **........•................ 744 Упражнения к главе XV.................... 746 ГЛАВА XVI РЯДЫ § 1. Ряд. Сумма ряда . .•.......•,...............752 § 2. Необходимый признак сходимости' дяда.............755 § 3. Сравнение рядов с положительными членйми ..........757 § 4. Признак Даламбера....................... 759 § 5. Признак Коши...........• • • • - • •"• '......763 § 6. Интегральный признак сходимости ряда............. 765 § 7. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница..........768 § 8. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость . . . 770 § 9. Функциональные ряды.................• ; • • 774 § 10. Мажорируемые ряды.................• • • • • 775 § Н. Непрерывность суммы ряда...................777,- § 12. Интегрирование и дифференцирование рядов .......... 780 § 13. Степенные ряды. Интервал сходимости ... 1.........784 § 14. Дифференцирование степенных рядов.............. 788 § 15. Ряды по степеням ж — а ** ..................79ft § 16. Ряды Тейлора и Маклорена............'....... 791 8 1/. Примеры разложения функций в ряды . •............ 792 § 18. Формула Эйлера..........................794- § 19. Биномиальный ряд ....................... 795 § 20. Разложение функции In (1 + х) в степенный ряд. Вычисление логарифмов...........................797 б 21. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов . . . . . 794, i 22. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов . 80 i 23. Уравнение Бесселя ....................... 80 Упражнения к главе XVI.................... 80 Г Л ABA'XVII РЯДЫ ФУРЬЕ 1. Определение. Постановка задачи............... . . 81 2. Примеры разложения функций в ряды Фурье.......... 81 3. Одно замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье............................. 82 4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций.......... 82 5. Ряд Фурье для функции с периодом 2/............. 82 6. О разложении в ряд Фурье непериодической функции **.... 82 7. Приближение в среднем заданной функции с помощью тригонометрического многочлена.................... 83 8. Интеграл Дирихле........................ 83 9. Сходимость ряда Фурье в данной точке............ . 83' 10. Ряд Фурье для дифференцируемой функции *......^... 84 11. Практический гармонический анализ............... 84 «г ..*»»«»•„„ ••• «т.«п'л V\ni " • ПРЕДИСЛОВИЕ В настоящей книге автор пытался отразить опыт работы по курсу математического анализа во втузе, которую ему пришлось вести в течение ряда лет под руководством члена-корреспондента АН СССР В. В. Голубева, а затем самостоятельно. Содержание книги, в основном, определяется программой курса математики для втузов, рассчитанной на 300—400 часов. При изложении материала обращалось особое внимание на выяснение основных понятий и приложения математического анализа, а также на логическую стройность в изложении и расположении материала. Отмечу особенности в изложении мате Цена: 300руб. |
||||