К53 Э. К.нэпп. Эллиптические кривые. Пер. с англ. Ф. Ю. Попе-ленского. — М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2004. — 488 с. — ISBN 5-88688-069-0.
В книге содержится систематическое изложение теории эллиптически? кривых и модулярных форм, доведенное до самых новых результатов. Мастер ски и доступно написанная, книга Э. Кнэппа вполне пригодна для первона чального ознакомления с этой удивительно богатой областью математики.
Книга предназначена студентам, аспирантам и научным сотрудникам фи зико-математических специальностей. Представляет большой интерес для спе циалистов в теории чисел и алгебраической геометрии.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода .......................... 7
Предисловие ...................................... "
Глава 1. Обзор ................................. 13
Глава 2. Кривые в проективном пространстве ............ 32
§ 1. Проективное пространство ........................ 32
§ 2. Кривые и касательные ................••.......... 39
§ 3. Точки перегиба ............................... ?8
§ 4. Кубические кривые............................. 57
§ 5. Теорема Безу и результант ................'........ 62
Глава 3. Кубические кривые в форме Вейерштрасса ........ 69
S1. Примеры ................................... 69
2. Дискриминант и j-инвариант....................... 7°
3. Закон сложения точек неособой кубической кривой ......... 87
4. Вычисления с помощью закона сложения................ 96
§ 5. Особые точки ................................ 99
Глава 4. Теорема Морделла......................... Ю4
§ 1. Метод спуска ................................ 104
§ 2. Условие делимости на 2.......................... 108
§ 3. Конечность группы E(Q)/2E(Q), частный случай .......... 111
§ 4. Конечность группы E(Q)/2E(Q), общий случай ........... 116
§ 5. Высота и доказательство теоремы Морделла.............. 120
§ 6. Формула для ранга эллиптической кривой ............... 128
§ 7. Верхняя оценка для ранга......................... 133
§ 8. Построение рациональных точек на эллиптических кривых..... 142
§ 9. Необходимые сведения из алгебраической теории чисел....... 150
Глава 5. Рациональные точки конечного порядка.......... 159
§ 1. Обзор..................................... 159
§ 2. Редукция по модулю р........................... 1Ь4
§ 3. р-адическая фильтрация.......................... 167
§ 4. Теорема Лутц — Нагеля .......................... 175
§ 5. Эллиптическая кривая с заданной группой ?(Q)tors ......... 176
§ 6. Доказательства теорем 5.2 и 5.3 ..................... 179
Глава 6. Комплексные точки........................ 182
§ 1. Обзор..................................... 182
§ 2. Эллиптические функции.......................... 183
§ 3. Функция Вейерштрасса .......................... 185
§ 4. Закон сложения и отображение if. С/Л-»В(С)............ 195
§ 5. Обращение эллиптических интегралов ................. 198
§ 6. Аналитическое продолжение . ...................... 199
§ 7. Риманова поверхность функции %/(z - о) (z - 6) (z - с)....... 204
§ 8. Эллиптический интеграл.......................... 210
§ 9. Вычисление соответствия Л<—»(32>9з).................
Глава 7. Теорема Дирихле.......................... 226
§ 1. Частный случай............................... 226
§ 2. Ряды Дирихле и эйлеровы произведения ................ 229
§ 3. Характеры конечных абелевых групп .................. 238
6 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 4. Доказательство теоремы Дирихле ........ ............ 240
§ 5. Аналитические свойства L -функции Дирихле ............. 246
Глава 8. Модулярные формы относительно SL(2, Z) ......... 262
1. Обзор ..................................... 262
2. Определения и примеры .......................... 263
, 3. Действие SL(2, Z) на Н .......................... 270
\ 4. Размерности пространств модулярных форм .............. 274
| 5. L -функция параболической формы .................... 283
i 6. Скалярное произведение Петерсона ................... 286
7. Операторы Гекке .............................. 287
§ 8, Операторы Гекке и скалярное произведение Петерсона ....... 295
Глава 9. Модулярные формы относительно конгруэнц-подгруппы
..................................... 302
1. Конгруэнц-подгруппы ............................ 302
i 2. Модулярные и параболические формы ................. 308
• 3. Примеры модулярных форм ........................ 313
i 4. L-функция параболической формы .................... 316
i 5. Размерности пространств параболических форм ............ 320
i 6. Операторы Гекке .............................. 322
7. Старые и новые формы ........................... 333
Глава 10. //-функция эллиптической кривой ............. 342
§ 1 . Уравнение Вейерштрасса в глобально минимальной форме ..... 342
§ 2. Дзета-функция и L-функция эллиптической кривой ......... 347
§ 3. Теорема Хассе ................................ 349
Глава 11. Теория Эйхлера — Шимуры .................. 356
§ 1. Введение ................................... 356
§ 2. Риманова поверхность X0(N) ....................... 366
§ 3. Мероморфные дифференциалы ...................... 368
~ 4. Свойства компактных римановых поверхностей ............ 373
. 5. Операторы Гекке на целочисленных гомологиях ............ 377
i 6. Модулярная функция j(r) ........................ 393
i 7. Многообразия и кривые . . - ....................... 403
_. 8. Модель кривой X0(N) ........................... 414
§ 9, Абстрактные эллиптические кривые и изогении ............ 424
§ 10. Абелевы многообразия и якобианы ................... 435
§11. Эллиптические кривые, соответствующие элементам S^(r0(7V)) . . 442
§ 12. Сравнение L -функций ........................... 453
Глава 12. Гипотеза Таниямы — Вейля .................. 455
§ 1 . Основные гипотезы и связи между ними ................ 455
§ 2. Строгие кривые Вейля ........................... 462
| 3. Уравнения кривых Вейля ......................... 466
§ 4. Гипотеза Таниямы — Вейля и последняя теорема Ферма ....... 469
Комментарий к списку литературы ......................... 471
Список литературы .................................. 478
Предметный указатель ................................. 485
Предисловие редактора перевода
Предлагаемая читателю книга Э. Кнэппа содержит систематическое изложение теории эллиптических кривых и модулярных форм, доведенное до самых новых результатов, полученных к моменту выхода в свет ее английского издания (январь 1992 г.). Мастерски и доступно написанная, книга Э. Кнэппа вполне пригодна для первоначального ознакомления с этой удивительно богатой областью математики.
В последнее десятилетие теория эллиптических кривых и модулярных форм оказалась в центре внимания не только математиков, но и многих лиц весьма от нее далеких. 23 июня 1993 г. профессор Принстонского университета Эндрю Уайлс анонсировал доказательство гипотезы Таниямы — Вейля для полустабильных эллиптических кривых. Тем самым, он заявил, что доказал последнюю (или Великую) теорему Ферма. В высшей степени остроумное и нетривиальное доказательство Уайлса основано на синтезе идей и методов алгебраической геометрии и теории представлений. Дальнейшие события развивались довольно драматично. Осенью 1993 г. в доказательстве были обнаружены пробелы. Исправление их заняло около года. В нем принял участие математик из Гарвардского университета Р. Тейлор. Текст с полным доказательством гипотезы Таниямы — Вейля для полустабильных эллиптических кривых вышел в свет летом 1995 года (см. [1*; 2*]). Наконец, в работе [3*] она была доказана для всех эллиптических кривых, определенных над Q.
Различным подходам к последней теореме Ферма, в том числе, выводу ее из гипотезы Таниямы — Вейля, посвящен обзор [5*].
Доказательство Уайлса и Тейлора можно рассматривать как один из первых шагов в реализации так называемой программы Ленг-лендса. В частности, эта программа направлена на установление гипотетического соответствия между L -функциями эллиптических кривых, модулярными формами и бесконечномерными представлениями полной линейной группы, определенной над кольцом аделей. Более подробно, утверждается, что для любого глобального поля F существенная часть спектрального разложения гильбертова пространства L2(GLr(F)\GLr(A)) относительно действия GLr(A) правыми сдвигами получается из представлений группы Галуа Gal(F/F) со значениями в GLr(C) x Gal(F/F). Здесь F — алгебраическое замыкание поля F, а А — его кольцо аделей. В случае г = 1 соответствие Ленглендса есть не что иное, как абелева теория полей классов. Для доказательства гипотезы Таниямы — Вейля требуется случай г = 2. Сравнительно недавно французский
Цена: 300руб.