Элементы теории эллиптических функций. Н. И. Ахиезер.
Книга представляет систематическое изложение теории эллиптических функций и некоторых ее приложений.
Основное содержание предназначено для инженеров, которым приходится применять эллиптические функции. Чтение книги не должно вызывать затруднений у лиц, знающих элементы математического анализа и теории функций в объеме первых пяти семестров физико-математических факультетов университетов и высших технических учебных заведений с повышенной программой по математике.
Рисунков 24, таблиц 27, библиографических ссылок 17.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию............ 6
Глава I. Общие теоремы об эллиптических функциях . 7
1. О периодах однозначных аналитических функций . 7
2. Доказательство теоремы Якоби.......... 9
3. Тэта-функции .................. 11
4. Теоремы Лиувилля ............... 14
5. Функция Вейерштрасса $> (и)........... 18
6. Дифференциальное уравнение функции ^ (и) .... 22
Глава II. Модулярная функция . .......... 26
7. Инварианты................... 26
8. Модулярные формы............... 31
9. Фундаментальная область группы ?........ 36
10. Модулярная функция / (т)............ 42
11. Обращение эллиптических интегралов первого рода 49
Глава III. Функции Вейерштрасса.......... 52
12. Функция Вейерштрасса ? (и)........... 52
13. Функция Вейерштрасса о (ц) ........... 54
14. Выражение произвольной эллиптической функции посредством функции а (и) и посредством функции ? (и) 56
15. Теоремы сложения функций Вейерштрасса..... 59
16. Представление всякой эллиптической функции через функции %> (и) и $'(и).............. 62
17. Эллиптические интегралы ............ 65
Глава IV. Тэта-функции............... 71
18. Представление тэта-функций бесконечными произведениями ...................... 71
19. Связь между сигма-функциями и тэта-функциями . . 75
20. Разложение функций t, (и) и ?> (и) в простые ряды . . 77
21. Выражение величин BI, ez, e3 через нулевые значения тэта-функций .................. 79
22. Преобразование тэта-функций.......... 81
23. Модулярная функция К (т)............ 83
Глава V. Функции Якоби.............. 91
24. Эллиптический интеграл первого рода в форме Якоби
и Римана.................... 91
ОГЛАВЛЕНИЕ
25. Функции Якоби................." 94
26. Дифференцирование функций Якоби ....... 98
27. Якобиева функция Z (w) ............. 100
28. Теорема Эйлера................. 102
29. Нормальные эллиптические интегралы второго и третьего рода в форме Якоби........... 105
30. Полные эллиптические интегралы первого рода . . 108
31. Полные эллиптические интегралы второго рода . . 112
32. Вырождение эллиптических функций........ 114
33. Простой маятник ................ 117
Глава VI. Преобразование эллиптических функций .... 122
34. Проблема преобразования эллиптических функций 122
35. Редукция общей проблемы............ 125
36. Первое главное преобразование первой степени . . 129
37. Второе главное преобразование первой степени . . . 132
38. Преобразование Ландена............. 133
39. Преобразование Гаусса ............. 134
40. Главные преобразования п-й степени....... 136
Глава VII. Дополнительные сведения об эллиптических
интегралах.............. . 140
41. Эллиптические кривые общего вида........ 140
42. Функция |р (и) с вещественными инвариантами ... 144
43. Приведение эллиптических интегралов к нормальному виду Якоби в вещественном случае........ 147
44. Полные эллиптические интегралы как гипергеометрические функции................. 151
45. Вычисление h по заданному модулю k....... 158
46. Арифметико-геометрическое среднее........ 160
Глава VIII. Некоторые конформные отображения .... 163
47. Конформное отображение прямоугольника на полуплоскость ........*........... 163
48. Конформное отображение на круговое кольцо двусвяз-
ной многоугольной области............ 173
49. Примеры конформных отображений........ 181
Глава IX. Экстремальные свойства дробей, к которым приводит преобразование эллиптических
функций................. 193
50. Постановка задач ................ 193
51. Решение задачи С................ 202
Глава X. Обобщение чебышевских полиномов .... 208
52. Многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля . . . 208
53. Ортогональные многочлены на двух интервалах . . 215
Глава XI. Различные дополнения и приложения .... 223
54. Теорема Абеля . <............... 223
55. Функция Грина для кругового кольца....... 232
ОГЛАВЛЕНИЕ 5
56. Проблема Дирихле для кругового кольца..... 235
57 Эллиптические координаты............ ^41
58! Уравнение Лапласа в эллиптических координатах . . 448
59. Уравнение Лямэ.................. 2оО
60. Теоремы Пикара о мероморфных функциях .... ^оЬ
61. Теорема Ландау.............; • • • 257
62. О мероморфных функциях, обладающих алгеораиче-ской теоремой сложения......__....... "60
63. О рядах Фурье аналитических функций...... 262
Таблицы важнейших формул .............. 268
Таблицы значений эллиптических интегралов....... 288
ол/
Литература ...................... oui
Цена: 300руб.