ОГЛАВЛЕНИЕ
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
(В. А. Рохлин)
§ 1. Введение: что такое площадь?.................. 7
§ 2. Класс многоугольных фигур................... 13
§ 3. Площадь на классе многоугольных фигур . . ••.......... 21
§ 4. Класс квадрируемых фигур................... 33
§ 5. Площадь на классе квадрируемых фигур ............ 44
§ 6. Другое построение теории площадей .............. 56
§ 7. Объем...........................'.'.'. 65
Добавление. Площадь и объем в геометрии подобия......... 81
Литература ............................. 86
ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
(В. Г. Болтянский)
§ 1. Длины ломаных линий ..................... 89
§<2. Простые дуги.......................... 100
§ 3. Спрямляемые линии....................... 109
§ 4. Длина на классе спрямляемых линий.............. 117
§ 5. О понятии площади поверхности ,............... 130
Литература............................. 140
РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ
(В. Г. Болтянский)
§ 1. Введение ........................... 142
§ 2. Равносоставленность многоугольников.............. 158
§ 3. Равносоставленность многогранников .............. 165
Литература............................. 180
ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
(В. Г. Болтянский, И. М. Яглом) ,
§ 1. Определение и основные свойства................ 182
§ 2. Простейшие метрические характеристики выпуклых фигур .... 195
§ 3. Выпуклые многоугольники и многогранники........... 207
§ 4. Периметр, площадь, объем.................... 219
§ 5. Выпуклые тела в многомерных пространствах.......... 239
§ 6. Некоторые задачи комбинаторной геометрии........... 247
Литература ............................. 267
ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА МАКСИМУМ И МИНИМУМ
(В. Г. Болтянский, И. М.
§ 1. Наибольшие и наименьшие значения функций .... ...... 270
§ 2. Знаменитые геометрические задачи ............... 307
§ 3. Задачи на максимум и минимум, связанные с выпуклыми фигурами 338 Литература ............................. 347
МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
(Б. А. Роэенфельд, И. М. Яглом)
§ 1. Определение многомерного пространства ............. 349
§ 2. Прямые и плоскости ....................... 354
§ 3. Шары и сферы ......................... 373
§ 4. Многогранники ......................... 378
Литература ............................. 391
НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ
(Б. А. Розенфельд, И. М. Делом)
§ 1. Возникновение неевклидовой геометрии Лобачевского ...... 394
§ 2. Неевклидова геометрия Римана ................. 404
§ 3. Псевдоевклидова геометрия ................... 420
§ 4. Неевклидова геометрия Лобачевского .............. 439
§ 5. Неевклидова геометрия Галилея ................. 452
§ 6. Неевклидовы геометрии и группы преобразований ........ 458
§ 7. Некоторые другие геометрические системы ...... • ..... 465
Литература ............................. 474
ОСНОВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
(В. А. Ефремович)
Введение ............................... 477
§ 1. Линии и поверхности ...................... 484
§ 2. Многообразия .......................... 516
§ 3. Общие топологические понятия1 ................. 536
Литература ............................ 555
КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
(3. А. Скопец)
§ 1. Различные определения конических сечений ........... 557
§ 2. Эллипс ............................. 569
§ 3. Гипербола ............................ 587
§ 4. Парабола ............................ 598
§ 5. Некоторые общие свойства конических сечений ......... 603
Литература ............................. 607
Именной указатель .......................... 609
Предметный указатель ................... ... . 612
ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
СОДЕРЖАНИЕ
§ 1. Введение: что такое площадь?.................. 7
1.1. Основные свойства площади................. 7. ,
1.2. Квадрируемые фигуры ................... 8*
1.3. Аксиоматическое определение площади........... 9
1.4. Проблема существования площади.............. 10
1.5. Конструктивные определения площади............ 10
1.6. Сравнение площади с элементарными функциями действительного переменного...................... 12
1.7. Итоги............................ 12
§ 2. Класс многоугольных фигур................... 13
2.1. Внутренние, внешние и граничные точки.......... 13
2.2. Открытые и замкнутые множества.............. 15
2.3. Выпуклые многоугольники ................. 16
2.4. Многоугольные фигуры................... 17
2.5. Операции над многоугольными фигурами.......... 18
§ 3. Площадь на классе многоугольных фигур............ 21
3.1. Определение площади.................... 21
3.2. Простейшие следствия определения............ . 21
3.3. Вычисление площади прямоугольника............ 22
3.4. Вычисление площади треугольника и трапеции....... 23
3.5. Вычисление площади произвольной многоугольной фигуры 23
3.6. Строгая монотонность.................... 24
3.7. Теорема существования и единственности.......... 24
3.8. Поведение площади при преобразовании подобия ...... 29
3.9. Поведение площади при ортогональном проектировании ... 29 3.10. Поведение площади при аффинном преобразовании ..... 30
§ 4. Класс квадрируемых фигур................... 33
4.1. Определение квадрируемой фигуры............, 33
4.2. Замечание о выборе фигур Р и Q ............. 33
4.3. Нуль-множества ...................... 34
4.4. Лемма о граничной точке ................. 35
4.5. Критерий квадрируемости ................. 35
4.6. Операции над квадрируемыми фигурами .......... 36
4.7. Линии ........................... 36
4.8. Квадрируемость классических фигур ............ 40
4.9. Круг............................ 41
4.10. Примеры неквадрируемых множеств ............. 41
§ 5. Площадь на классе квадрируемых фигур............. 44
5.1. Определение площади................... 44
5.2. Простейшие следствия определения............. 44
5.3. Площадь как точная грань................. 45
5.4. Площадь как предел................... . 46
6 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ
5.5. Теорема существования и единственности ......... 47
5.6. Нуль-множества...................... 48
5.7. Полнота класса квадрируемых фигур............ 48
5.8. Поведение площади при аффинном преобразовании..... 49
5.9. Вычисление площади.................... 50
5.10. Площадь на классе квадрируемых замкнутых областей ... 54
§ 6. Другое построение теории площадей............... 56
6.1. Введение.......................... 56
6.2. Площадь относительно сетки................ 57
6.3. Критерий квадрируемости................. 59
6.4. Операции над квадрируемыми фигурами.......... 60
6.5. Основные свойства площади ................ 61
6.6. Теорема единственности .................. 63
6.7. Инвариантность площади.................. 64
6.8. Эквивалентность двух определений площади........ 64
§ 7. Объем................................ 65
7.1. Введение.......................... 65
7.2. Класс многогранных тел.................. 66
7.3. Определение объема на классе многогранных тел...... 68
7.4. Вычисление объема на классе многогранных тел...... 68
7.5. Существование и единственность объема на классе многогранных тел.......................... 72
7.6. Поведение объема многогранного тела при геометрических преобразованиях ...................... 75
7.7. Класс кубируемых тел................... 75
7.8. Объем на классе кубируемых тел.............. 76
7.9. Цилиндры и конусы.................... 77
7.10. Шар........................... . 78
7.11. Тела вращения....................... 80
7.12. Другое построение теории объемов............. 81
Добавление. Площадь и объем в геометрии подобия......... 81
1. Метрическая геометрия и геометрия подобия ......... 81
2. Преобразование площади и объема при замене единичного отрезка ............................. 83
3. Переход к геометрии подобия................. 84
4. Единицы длины, площади и, объема.............. 85
Литература .............."............... 86
Эта статья посвящена основным вопросам теории площадей и объемов — их определению, свойствам и вычислению. Площадь изучается только на плоскости. Определение площади кривой поверхности требует совсем других средств1).
Предполагается, что читатель знаком с теорией длин прямолинейных отрезков (см. стр. 89—94). Напомним, что в основе этой теории лежит выбор единичного отрезка. Если единичный отрезок заменяется другим отрезком, то длины всех отрезков делятся на старую длину нового единичного отрезка. Площади и объемы тоже зависят от выбора единичного отрезка. Эта зависимость изучается в специ-
*) См. статью «Длина кривой и площадь поверхности» в этом томе ЭЭМ. (Прим. ред.)
ВВЕДЕНИЕ: что ТАКОЕ ПЛОЩАДЬ? 7
а тьном добавлении, помещенном после статьи. В самой статье единичный отрезок считается фиксированным раз и навсегда.
Требования к общей подготовке читателя почти всюду ограничиваются самыми начальными сведениями о множествах, функциях и последовательностях (свойства сложения, вычитания и пересечения множеств; общее понятие числовой функции; границы числовых множеств; предел последовательности). Немногие менее элементарные пункты отмечены звездочкой и могут быть пропущены без ущерба для понимания остального.
Наименее элементарной проблемой теории площадей и объемов является их вычисление: сколько-нибудь полное рассмотрение этой проблемы требует интегрального исчисления, притом привлечения не только простых, но и кратных интегралов, включая переход к криволинейным координатам. Понятно, что такие сложные вещи на могут излагаться в элементарной статье. Приходится ограничиться несколькими формулами,-выражающими площади и объемы через простые интегралы.
§ 1. Введение: что такое площадь?
1.1. Основные свойства площади. Площадь принадлежит к числу наиболее широко известных математических понятий — тех, с которыми все мы встречаемся в практической жизни. Практическое знакомство с площадями делает это понятие чрезвычайно надежным в наших глазах. Площадь представляется нам физической реальностью, такой же несомненной, как окружающие нас предметы. Значительно менее известен тот факт, что площадь — очень не простое понятие. Точное определение площади представляет значительные логические трудности и почти неизвестно за пределами узкого круга профессиональных математиков. Многим самый вопрос покажется искусственным: они скажут, что площадь — первичное понятие, не подлежащее определению.
Взгляд на площадь как на первичное понятие сложился еще в древности. До сравнительно недавнего времени этого взгляда придерживались и математики. На протяжении многих столетий они видели свою задачу в вычислении площадей; им не приходило в голову, что площадь нуждается в специальном определении.
Между тем их вычисления должны были на чем-то основываться— если не на прямом определении, то на чем-то, его заменяющем, на каких-то принципах, которые позволяли им всякий раз получать в качестве площади определенное число. И такие принципы, конечно, существовали, хотя обычно не формулировались. Это —основные свойства площади. Они широко известны, потому что служат основой всех применений —теории площадей. Мы выскажем их в следующей форме, наиболее удобной для наших целей.
Цена: 500руб.