Первые две главы книги образуют элементарное введение в теорию булевых алгебр; здесь приводятся основные факты этой теории, дается обзор ее важнейших приложений. Последующие главы в основном посвящены полным булевым алгебрам, в первую очередь алгебрам с мерой, особенно важным для теории вероятностей и функционального анализа. Многие приводимые в книге результаты в монографическом изложении публикуются впервые.
Книга рассчитана на студентов, аспирантов и научных работников, специализирующихся в различных областях математики (алгебра, функциональный анализ, теория меры, теория вероятностей). Она может служить пособием при первоначальном изучении теории булевых алгебр; для ее понимания достаточно знакомства с элементами алгебры, теории меры и общей топологии. Страниц 320. Таблиц 2. Иллюстраций 4.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие...................... 5
Введение........................ 7
Глава I. Первоначальные сведения о булевых алгебрах . . 10
§ 1. Структуры..................... lU
§ 2. Булевы алгебры.................. 19
§ 3. Реализация булевой алгебры в виде алгебры множеств ....................... 39
§ 4. Компоненты и дизъюнктные разложения...... 46
§ 5. Булева алгебра компонент............. 51
§ 6. Аддитивные функции на булевых алгебрах. Меры;
связь с теорией вероятностей ........... 55
§ 7. Автоморфизмы и инвариантные меры........ 61
Глава II. Основной аппарат................ 65
§ 1. Подалгебры, образующие............. 65
§ 2. Булева алгебра как алгебраическая система .... 75
Глава III. Полные булевы алгебры. Топологии....... 106
§ 1. Полные алгебры.................. 106
§ 2. Принцип исчерпывания и теорема о нормальных
ядрах....................... 111
§ 3 Направленные множества и обобщенные последовательности ..................... 119
§ 4. Различные топологии в булевых алгебрах..... 123
§ 5, Построение полных булевых алгебр ........ 147
Глава IV. Непрерывные функции и отображения...... 157
§ 1. Важнейшие классы непрерывных отображений ... 157
§ 2. Теорема Лебега - Каратеодори........... 162
§ 3. Продолжение гомоморфизмов........... 169
Глава V. Векторные структуры и спектральные функции . . 179
§ 1. /(-пространства и связанные с ними булевы алгебры 179 § 2. Спектральные семейства и разложения единицы.
Спектральные меры................ 184
1*
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3. Интеграл по спектральной мере. Теорема Фрейден-таля. Пространство @а как совокупность разложений
единицы...................... 194
§ 4. Сходимость и топология порядка в К-пространствах 197
§ 5. Важнейшие примеры................ 199
Глава VI. Нормированные и регулярные алгебры..... 203
§ 1. Нормированные алгебры.............. 203
§ 2. Подалгебры нормированной булевой алгебры .... 208 § 3. Вполне аддитивные функции и разложения единицы
нормированной алгебры.............. 212
§ 4. Регулярные булевы алгебры............ 222
§ 5. Продолжение гомоморфизма со значениями в регулярной алгебре.................. 228
Глава VII. Строение полных булевых алгебр...... . 239
§ 1. Основные теоремы................. 239
§ 2. Классификация нормированных алгебр....... 270
Глава VIII. Группы автоморфизмов и инвариантные меры 278
§ 1. Необходимые условия существования инвариантной
меры....................... 280
§ 2. Существование инвариантной меры на вполне однородной алгебре. Условия нормируемости...... 287
§ 3. Теоремы об инвариантной мере для нормируемых
алгебр....................... 297
Приложение. Некоторые сведения из теории множеств и
общей топологии.................. 301
Литература.....:................ 308
Предметный указатель............... 314
Указатель основных обозначений......- 317
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга преследует двоякую цель. Прежде всего, она может служить для первоначального знакомства с булевыми алгебрами. Первые две главы книги образуют элементарное введение в теорию булевых алгебр. Здесь содержится довольно много примеров, которые позволяют читателю увидеть возможности применения теории булевых алгебр к теории меры, теории вероятностей, функциональному анализу.
Основное содержание последующих глав составляют те разделы теории булевых алгебр, которые связаны с этими применениями; их систематическое изложение составляет вторую цель книги. Основу для этого изложения содержат главы III —VI, в которых сосредоточен главный аппарат. Здесь рассматриваются полные и 0-полные алгебры, изучаются различные топологии и непрерывные отображения. Устанавливается, в частности, единственность топологии, в некотором смысле «разумно согласованной» с имеющимся в данной алгебре порядком. Особое положение занимает § 3 третьей главы. Содержащиеся в нем утверждения («принцип исчерпывания», «теорема о нормальных ядрах») широко используются впоследствии. В этих же главах читатель может найти доказательства основных прецложе-ний теории меры таких, как теорема о продолжении меры и теорема Радона —Никодима.
В главе V мы приводим некоторые факты теории векторных структур, важные для основного содержания книги. Эта глава отличается обзорным стилем "изложения.
Центральная глава книги —седьмая. Она посвящена изучению строения полной булевой алгебры. Для важнейшего класса алгебр (именно, для алгебр с мерой) дается полная классификация. Здесь содержится подробное доказательство известной теоремы Д. Магарам
Цена: 200руб.
