ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие......................................... 7
ГЛАВА I ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
§ 1. О проведении вычислений.................................&
§ 2. Погрешности......................................... . 8
§ .3. Запись чисел.......................• • V-............. . • 10
§ 4. Суммирование..........................................10
§ 5. Вычитание............................................ • 10
,§ 6. Погрешности при умножении и делении........................ Ц
§ 7. Арабский способ умножения................................. 11
§ 8. Умножение с поворотом множителя...........................1?
§ 9. Проверка умножения.....................................20
§ 10. Приближенное умножение ..............>..................21
§ 11. Деление.............................................22
§ 12. Приближенное представление биномов.........................26
§ 13. Вычислейие квадратных корней — первый способ..............л . . .26
14. Вычисление квадратных корней — второй способ ................. .27
15. Вычисление кубичных корней...............................27
16. Вычисление корней степени выше третьей .'....'................ .28'
17. Умножение в уме . . .'....................................28
18. Вычисление в уме квадратных корней.........................29
§ 19.-Вычисление в уме кубичных корней.........................,.29
§ 20; Логарифмирование в уме..................................30
§ 21. Общие указания.......................................31
ГЛ'АВА н, РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Графические методы решения..............,................ .32
§ 2. Метод хорд..........................................33
§ 3. Метод Ньютона........................................ 35
§ 4. Метод итерации.........................................37
§ 5. Дополнение к методу итерации — первый способ •. С................ 41
§ 6. Дополнение к методу итерации — второй способ . ................. .44
§ 7. Применение ряда Тейлора.....'............................ .47
§ 8. Общие указания....................... . ................48
г л А в л ш РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Отделение вещественных корней............................ ...49
§ 2. Метод равделения корней . . ."..............................56
§ 3. Метод разделения корней — случай комплексных корней............-.61
§ 4. Метод отделения большего корня...........................-65
§ 5. Отделение большего корня — случай комплексных корней............70
1*
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 6. Метод уточнения выделяемых трехчленов...................... 73
§ 7. Применение схемы Руффини — Горнера....................". . . 81
§ 8. Решение уравнений 4-й степени............................. 92
§ 9. Общие указания.....................•................. 96
* Г Л ДВА IV
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Два уравнения с двумя неизвестными......................... 98
§ 2. Два уравнения, неразрешимые относительно х или у............... 100
§ 3. Использование производных для решения системы двух уравнений..... 101
§ 4. Применение итераций для решения системы двух уравнений........ . 104
§ 5. Усиление сходимости итерации в случае двух уравнений............ 106
§ 6. Системы линейных уравнений.............................. 108
§ 7. Три уравнения с тремя неизвестными......................... 109
Г ЛАВ A v ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ
§ 1. Формула Грегори — Ньютона..........................<. . . . 114
§ 2. Интерполирование назад по формуле Грегори — Ньютона............ 116
§ 3. Разности степенных функций.............................. 117
§ 4. Формула Гаусса....................................... 119
§ 5. Формула Ньютона — Стерлинга...........................'. . 121
§ 6. Погрешности высших разностей............................ -. 122
§ 7. Разделенные разности................................... 123
§ 8. Формула Ньютона для разделенных разностей................... 124
§ 9. Формула Лагранжа..................................... 126
§ 10. Графическое интерполирование............................. 128
§ 11. Глазомерное интерполирование............................. 131
ГЛАВА VI
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
§ 1. Применение формулы Грегори — Ньютона...................... 134
§ 2. Применение формулы Ньютона — Стирлинга.................... 136
§ 3. Применение формулы Ньютона для вычисления производных высших порядков............................................. 140
\
ГЛАВА VII
ИНТЕГРИРОВАНИЕ
§ 1. Основные уравнения .................................... 147
§ 2. Методы, использующие комбинации ординат.................... 150
§ 3. Метод трапеций....................................... 150
§ 4. Примеры........................................... 151
§ 5. Метод Симпсона....................................... 154
§ 6. Применение метода Симпсона в случае четного числа частей ........ 154
§ 7. Формулы Ньютона — Котса................................ 156
§ 8. Метод прямоугольников.................................. 158
§ 9. Метод средних ординат.................................. 158
§ 10. Метод Чебышева...................................... 160
§ 11. Метод Гаусса........................................ 163
§ 12. Примеры........................................... 168
§ 13. Построение интегральной кривой............................. 172
§ 14. Использование четырех ординат ............................" 175
§ 15. Интегрирование в случае бесконечности производной.............. 176
§ 16. Интегрирование в случае интервала (0, ей).............•........ 179
§ 17. Формула Эйлера —Маклорена ............................. 182
§ 18. Другие формулы с учетом производных....................... 186
§ 19. Формула Грегори...................................... 188
ОГЛАВЛЕНИЕ 5 ГЛАВА VIII
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Представление функции в "виде ряда,......................... 193
§ 2. Графическое интегрирование .............................. 195
§ 3. Способ Пикара........................................ 201
§ 4. Способ Рунге ........................................ 205
§ 5. Способ Эйлера....................................... 208
§ 6. Способ Адамса....................................... 210
§ 7. Пример к способу Адамса................................ 212
§ 8. Начало вычислений по способу Адамса....................... 216
§ 9. Применение сумм при вычислении по способу Адамса.............. 218
§ 10. Способ Лапласа....................................... 224
§ 11. Уточнение вычислений по способу Лапласа..................... 227
§ 12. Расчет по сдвоенным приращениям.......................... 227
§ 13. Первый метод Коуэлла.................................. 231
§ 14. Применение вспомогательной функции........................ 235
§ 15. Второй тип вспомогательной функции......................... 241
§ 16. Уравнение типа Риккати................................. 244
§ 17. Уравнения второго порядка............................... 249
§ 18. Второй тип уравнений второго порядка....................... 253
§ 19. Второй метод Коуэлла-................................... 257
ГЛАВА IX
ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
§ 1. Ряд Фурье.......................................... . 261
§ 2. Вычисление по 12 ординатам.............................. 262
§ 3. Вычисление по 24 ординатам............................... 267
§ 4. Вычисление по 36 ординатам.............................. 268
§ 5. Пример разложения.................................... 271
§ 6. Метод равных коэффициентов.............................. 275
§ 7. Определение периодов................................... 288
ГЛАВА х КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
§ 1. Постановка задачи..................................... 293
§ 2. Первое приближение................•.................... 297
§ 3. Свойства первого приближения............................. 299
§ 4. Использование первого приближения в случае точного решения....... 300
§ 5. Общий случай........................................ 301
§ 6. Отображение внутренних областей........................... 303
§ 7. Отображение внешних областей............................. 309
§ 8. Отображение внутренних областей с симметричными контурами........ 310
§ 9-. Отображение внешних областей с симметричными контурами......... 313
§ 10. Предварительное преобразование областей. ...'.*.................. 318
ГЛАВА XI
ЭМПИРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
§ 1. Метод наименьших квадратов...................,......... 320
§ 2. Метод равных площадей................................. 324
§ 3. Подбор параболы...................................... 326
§ 4. Аппроксимирование синуса многочленом....................... 329
§ 5. Привязка точек....................................... 331
§ 6. Аппроксимирование логарифмической функции многочленом.......... 331
§ 7. Применение метода наименьших квадратов в случае задания последовательности точек......;................................ 334
§ 8. Способ равных сумм..............•...................... 336.
§ 9. Подбор функции вида у = а -\- Ьхс........................... 339
6 ОГЛАВЛЕНИЕ
< ' •
10. Подбор функции вида у = а + be*........................... 342
, 11. Преобразование координат................................ 343
} 12. Подбор степенной функции способом равных сумм................ 346-
'13. Подбор показательной функции способом наименьших квадратов....... 347
14. Подбор показательной функции способом равных сумм ,............ 34&
15, Полиномиальные кривые.....V........................... 34&
§ 16. Графики степенной и показательной функций . . . ."................ 35О
§ 17. Кривая Гаусса........................................ 351
§ 18. Многочлены с положительными и отрицательными степенями аргумента . . 357
§ 19. Суммирование функций.................................. 359-
§ 20. Преобразование ординат .................................. 360
§ 2-1. Семейства кривых......ч........................,...... 361
§ 22. Пример семейства кривых................................ 362
При ложе ни е.......................................... 367
ПРЕДИСЛОВИЕ
В наше время большое распространение получили электронные вычислительные машины, работающие во много тысяч раз быстрее любого вычислителя. Однако механизация вычислений дает наибольший эффект при решении типовых задач, как, например, при составлении синоптических прогнозов, предвычислении приливов, расчете электрических сетей и т. д. Для случайных, единичных расчетов программирование и подготовка машины столь дороги, что применение их в таких случаях нецелесообразно. Поэтому умение провести быстро и точно математический расчет еще долгое время будет полезно инженеру и научному работнику.
Книга начинается с изложения нескольких приемов, позволяющих проводить скорее, чем обычно (иногда и в уме), некоторые элементарные вычисления. Не всегда бывают под рукою арифмометр или счетная линейка, и полезно каждому человеку, имеющему дело с "вычислительной работой, уметь вычислить произведение, корень или логарифм, имея только карандаш и бумагу. При этом важно, конечно, не просто вычислить^ а сделать это по возможности быстро и без большой затраты энергии.
В гл. II даны способы решения разного рода трансцендентных уравнений. В большинстве случаев самым продуктивным является метод итерации, с дополнением, гарантирующим получение результатов даже и при процессе, .который в обычных условиях является расходящимся.
В гл. III рассмотрены способы решения алгебраических уравнений высоких степеней. В этой области автором 'разработано несколько способов, по-видимому, более удобных, чем метод Греффе— Лобачевского, — чрезвычайно утомительный, особенно в случае комплексных корней.
В гл. IV рассмотрены способы решения систем уравнений с двумя и тремя неизвестными. Такие задачи, при решении их методом подбора, обычно причиняют исследователям большие неприятности, и систематизация поисков решения играет решающую роль в достижении результатов.
В гл. V даны основные методы и формулы интерполирования, так же как и в следующей главе, касающейся дифференцирования. ' В гл. VII рассматриваются формулы приближенного интегрирования.
В гл. VIII, посвященной приближенному интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений, приводятся лишь некоторые основные вычислительные приемы. В последнее время появилось громадное количество вычислительных схем интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, но тем не менее основные классические схемы Адамс.а — Лапласа, Коуэлла и Штёрмера, соответствующим образом оформленные в целях облегчения начала вычислений и перехода к новому интервалу, остаются в большинстве случаев наиболее простыми и эффективными.
В гл. IX, посвященной гармоническому анализу, даны лишь основные типы шаблонов, без систематизирующих шаблонов, способных скорее запутать вычислителя, чем помочь ему в выявлении высоких гармоник.
Цена: 300руб.
