Трахтман А. М. Введение в обобщенную спектральную теорию сигналов. М. Изд-во «Советское радио», 1972, 352 стр.,: т. 6500 экз., ц. 1 р. 59 к.
Монография посвящена теории разложения сигналов по различным системам базисных ортогональных функций. В ней; рассмотрены (применительно к непрерывным и дискретным сигналам) возможные системы базисных функций, различные ти-4 пы спектров одного и того же сигнала и взаимосвязь между ними,,] изменение законов спектрального анализа при смене базиса. -.]
На основе обобщенных преобразований Фурье получены нет-^ ривиальные обобщения теоремы Винера — Хинчина, преобразова-j ний Гильберта, теоремы Котельникова, понятия передаточной функ ции линейной цепи и т. д.
Обобщенная спектральная теория позволяет по-новому по-! дойти к решению проблем ликвидации избыточности и фильтрации сигналов в системах связи, повышения точности и разрешающей способности радиолокационных измерений, цифровой фильтрации, сигналов, проектирования линейных цепей с переменными пара-* метрами, синтеза сигналов, линейных цепей и антенн и т. д. >
Книга не требует от читателя математических знаний, выхо-з дящих за рамки вузовского курса, так как в ней по мере надобнос-1 ти приводятся все необходимые сведения. Она рассчитана на инже-j неров, аспирантов и научных работников, а также на студентов старших курсов.
12 табл., 199 рис., библ. 82 назв.
Введение
В основе всякой линейной теории лежит представление сложного объекта в виде суммы более простых объектов. Сложные математические объекты, рассматриваемые в настоящей книге, — это сигналы, которые используются в радиотехнике и автоматике для извлечения или передачи информации. Они могут быть представлены в виде сумм ортогональных составляющих бесчисленным количеством способов, и поскольку каждый раз система ортогональных функций, применяемая для разложения, бывает известна, то сигналы полностью определяются наборами весовых чисел для этих функций. Такие наборы чисел и есть спектры сигналов. Спектр — это единственно возможная форма аналитического выражения сигналов в рамках линейной теории*', и весь вопрос сводится лишь к выбору наиболее подходящей базисной системы функций, удобной для решения той или иной практической задачи.
Из всех возможных спектральных форм представления сигналов наибольшее распространение получили представления в виде колебания и в виде спектра по синусам и косинусам. Эти представления лежат в основе классического спектрального анализа.
Исключительное значение, которое приобрело разложение сигналов по системе синусоидальных функций, вызвано рядом причин. Немаловажную роль здесь имело непосредственное восприятие человеком явлений окружающей природы. Человек давно наблюдал синусоидальный закон движения волн на воде, колебаний струны или движения маятника. Ухо человека способно выполнять роль простейшего гармонического анализатора, разлагающего сложные звуки на синусоидальные составляющие — основной тон и обертоны.
Большое удобство для теории представляет та особенность, что сигнал, описываемый синусоидальным законом, проходит через линейную цепь с постоянными во времени параметрами, не искажаясь по форме.
С математической точки зрения синусоидальные функции имеют также важные преимущества перед другими системами ортогональных функций. Синусоидальная функция симметрична относительно времени и частоты: повышение частоты колебаний равносильно сжатию функции по времени в такое же количество раз. Многие и наиболее важные системы ортогональных функций порождены
*) Описание сигнала с помощью функции времени (колебания) может рас-^матриваться как одна из форм спектрального представления (см. гл. 8). Ко-ечно, речь идет не об описании текущего процесса, а об описании процесса, фик-ированного в виде осциллограммы.
3
Оглавление
Введение.......................... 3
Глава 1. ВВОДНЫЕ ПОНЯТИЯ . ............... 10
Л. Сигналы и их особенности................ К)
.2. Энергия и мощность сигналов.............. 14
.3. Простейшие разрывные функции ............ 18
.4. Описание сигналов с помощью разрывных функций . . , 22 :
.5. Комплексные сигналы................. 27 -
.6. Комплексные экспоненциальные колебания ....... 31:,!
.7. Четная и нечетная части сигнала. Постоянная и перемен- !
ная составляющие................... 35 :
Г л а в а 2. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ СИГНАЛОВ............ 38
2.1. Свойство линейности................. 38
2.2. Линейная зависимость сигналов............. 41
2.3. Размерность сигналов................. 44
2.4. Спектральная теория и теория кодирования....... 48
Г л а в а 3. СИСТЕМЫ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ............ 51
3.1. Интервал определения сигнала и интервал ортогональности 51
3.2. Ортонормированная система базисных функций..... 54
3.3. Простые и составные системы базисных функций . ..... 57
3.4. Классические системы базисных функций........ 63
3.5. Обзор известных систем базисных функций........ 66
3.6. Система функций Уолша . . . . '............. 73
3.7. Выделение простых базисных систем.......... 78
3.8. Мультипликативные базисные системы.......... 80 ^
Г л а в а 4. ПРОСТРАНСТВО СИГНАЛОВ.............. 82
4.1. Векторы и линейное векторное пространство.......82
4.2. Разложение векторов..................85
4.3. Нормированное метрическое пространство........89
4.4. Сигналы и векторы...................91
4.5. Функциональное пространство L2......__._......93
4.6. Комплексное функциональное пространство Z,2...... 98
4.7. Геометрическое представление сигналов.........99 ;,
4.8. Функциональное пространство LJ. Кодированные сигналы 104 •:,
4.9. Линейные отображения.................109
Глава 5. ОБОБЩЕННЫЙ РЯД ФУРЬЕ ............. . 112
5.1. Интерполяция н аппроксимация сигналов........42
5.2. Аппроксимация сигналов ортогональными многочленами Но ;
5.3. Обобщенный ряд Фурье.................}'*
5.4. Об условиях сходимости ряда Фурье..........."*
Глава 6. РОДСТВЕННЫЕ СПЕКТРЫ СИГНАЛОВ...........124
6.1. Простые спектры сигнала.....'...........124
6.2. Составной спектр сигнала................126
6.3. Формальная система базисных функций..........128
6.4. Формальный спектр сигнала...............129
6.5. Комплексный спектр действительного сигнала.......134
6.6. Спектр комплексного сигнала...............139
6.7. Краткий итог главы................... 143
Глава 7. РАЗЛОЖЕНИЕ СИГНАЛОВ НА БЕСКОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ
ВРЕМЕНИ ,.,,................. 148
7.1. Вводные замечания................... 148
7.2. Частота и спектральная плотность............ 149
7.3. Системы базисных функций для разложения сигналов
на любом интервале времени.............. 154
7.4. Непрерывные спектры на'одностороннем интервале времени 156
7.5. Непрерывные спектры -на симметричном интервале времени 160
7.6. Дискретные спектры на бесконечном интервале времени . . 164
Г л а в а в. ВРЕМЕННОЙ СПЕКТР СИГНАЛА.............166
8.1. Разложение сигналов по системе единичных импульсов 166
8.2. Разложение сигналов по системам дельта-функций .... 171
8.3. -Временной спектр сигналов, заданных на симметричном интервале 'времени ....................173
8.4. Интеграл Дюамеля . .................177
8.5. Интегральная свертка.................179
8.6. Автокорреляционная функция действительного сигнала . . 182
8.7. Обобщенная автокорреляционная функция сигнала и ее связь с энергетическим спектром.........: . . . 185
Глава 9. РАЗЛОЖЕНИЕ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ.........189
9.1. Решетчатые функции..................189
9.2. Решетчатые базисные функции..............193
9.3. Дискретные базисные функции с неравноотстоящими отсчетами .........................202
9.4. Дискретные преобразования Фурье...........205
9.5. Спектр дискретного сигнала...............206
9.6. Быстрые преобразования Фурье.............210
Глава 10. ОБОБЩЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ...... . .215
10.1. Общая форма преобразований Фурье.......... 215
10.2. Инвариантность числа отсчетов сигнала.......... 220
10.3. Взаимность преобразований Фурье . .......... 22?
10.4. Анализаторы спектра................. 227
Глава 11. ОТОБРАЖЕНИЕ СПЕКТРОВ..............232
11.1. Анализ и фильтрация сигналов . ............232
11.2. Ограничение спектра сигнала..............234
11.3. Импульсная характеристика идеального фильтра.....241
11.4. Отображение сигнала из одного пространства в другое . 243
11.5. Особенности отображения различных типов спектров . . . 248
11.6. Матрицы.......................252
Глава 12. ГИЛЬБЕРТОВЫ СИГНАЛЫ.....,........,259
12.1. Гильбертовы сигналы с простыми спектрами.......259
12.2. Гильбертовы сигналы с формальными спектрами.....262
12.3. Гильбертовы сигналы с комплексными спектрами • ... 267
3S1
12.4. Преобразования Гильберта при тригонометрической базисной системе......-...............272
12.5. Свойства преобразований Гильберта..........278
12.6. Фильтры Гильберта ... ...............283
12.7. Огибающая и фаза сигнала................289
12.8. Сигналы, ортогональные в усиленном смысле.......294
12.9. Аналитические сигналы.................295
Глава 13. ОБ ИЗБЫТОЧНОСТИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ.....299
13.1. Теорема Котельникова в частотной области.......299
13.2. -Теорема Котельникова во временной области.......304
13.3. Теорема Котельникова и гильбертовы сигналы......308
13.4. «Белый» шум и дельта-импульс.............312
Глава 14. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ К ТЕОРИИ
ЦЕПЕЙ.....................316
14.1. Вводные замечания...................316
14.2. Передаточная функция цепи..............;*?•*
14.3. Собственный базис линейной цепи...........ли
14.4. Примеры определения собственных базисов .......лд>
14.5. Взаимность линейных цепей..............^
14.6. Линейные цепи и преобразования Гильберта.......Мо
Заключение ......................... 341
Литература . . . . • • •...................о4«
Список основных обозначении..................х*"
Предметный указатель....................J48
Цена: 300руб.
