ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
Эта монография была первоначально задумана как учебник по годовому курсу статистики многомерных величин. Надеюсь, что данная работа послужит и введением во многие разделы этой области для всех, кто занимается математической статистикой. Книгу эту можно использовать также и как справочник.
В течение нескольких лет эта книга в виде конспекта использовалась при чтении годового курса в Колумбийском университете; первые шесть глав составили материал первого семестра, причем особое внимание уделялось теории корреляции. Предполагается, что читатель знаком с обычной теорией статистики одномерных величин, в частности с методами, основанными на одномерном нормальном распределении. Также предполагается знание матричной алгебры, однако этот материал включен в приложение к книге.
Надеюсь, что основные и наиболее важные разделы многомерного статистического анализа рассмотрены в настоящей работе, хотя отбор материала является до некоторой степени делом вкуса. Некоторые наиболее важные результаты лишь очень кратко затронуты в последней главе.
Широко применяется в книге метод наибольшего правдоподобия. Он дает разумные решения, и во многих случаях можно доказать, что эти решения являются оптимальными. В ряде ситуаций, однако, теория желаемых или оптимальных решений отсутствует.
За эти годы рукопись настоящей книги была обработана, причем значительную помощь оказали мне многие студенты и коллеги.
Стенфорд, Калифорния Декабрь 1957 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Из предисловия автора ...................
................ 9
Q
9
Глава 1. Введение.................
1.1. Многомерное нормальное распределение как модель . . .
1.2. Общий обзор многомерных методов.......... 11
Литература...................... 13
---•«» пяоппеделение . ... 14
14 14
32
43 52
Литература.........
Г лав а 2. Многомерное нормальное распределение. ... 14
2.1. Введение....................... 14
2.2. Понятия, связанные с многомерными распределениями 14
2.3. Многомерное нормальное распределение........ 22
2.4. Распределение линейной комбинации нормально распределенных величин; независимость величин; частные распределения ...................... 32
2.5. Условные распределения и множественный коэффициент корреляции...................... 4с
2.6. Характеристическая функция; моменты........ 51
Литература...........'........... 58
Задачи........................ 58
Глава 3. Оценка вектора среднего значения и ковариационной матрицы.................. 64
3.1. Введение....................... 64
3.2. Оценки наибольшего правдоподобия для вектора среднего значения и ковариационной матрицы....... 64
3.3. Распределение вектора выборочного среднего; заключение о среднем значении, когда ковагидционная матрица чооогтня....................... 74
......... 81
Q1
74
.... .81
известна Литература
Глава
Задачи ".............
а 4. Распределения и использование выборочных
коэффициентов корреляции............ 85
4.1. Введение........................ 85
4.2. Коэффициент корреляции двумерной выборки..... 86
4.3. Частные коэффициенты корреляции.......... 112
4.4. Множественный коэффициент корреляции....... 120
Литература ..................... 134
Задачи ...... .................. 135
ц ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 5. Обобщенная 7^-статистика........... 141
5.1. Введение....................... 141
5.2. Обобщенная Т^-статистика и ее распределение .... 142
5.3. Применения Т2-статистики.............. 149
5.4. Распределение ^-статистики при наличии конкурирующих гипотез; функция мощности........... 155
5.5. Некоторые оптимальные свойства критерия Г2 .... 160
5.6. Многомерная проблема Беренса — Фишера...... 165
Литература ..................... 170
Задачи........................ 171
Глава 6. Классификация наблюдений..........175
6.1. Проблема классификации...............175
6.2. Принципы правильной классификации.........176
6.3. Методы классификации наблюдений в случае двух генеральных совокупностей с известным распределением вероятностей ..................... 180
6.4. Классификация наблюдений в случае двух генеральных совокупностей, имеющих известные многомерные нормальные распределения.........,......185
6.5. Классификация наблюдений в случае двух многомерных нормальных генеральных совокупностей, параметры которых оцениваются по выборке............190
6.6. Классификация наблюдений в случае нескольких генеральных совокупностей................197
6.7. Классификация наблюдений в случае нескольких многомерных нормальных совокупностей..........204
6.8. Пример классификации в случае нескольких многомерных нормальных генеральных совокупностей.....208
Литература .....................210
Задачи........................211
Глава 7. Распределение выборочной ковариационной матрицы и выборочной обобщенной дисперсии .... 213
7.1. Введение....................... 213
7.2. Распределение Уишарта............... 213
7.3. Некоторые свойства распределения Уишарта..... 221
7.4. Теорема Кохрена................... 227
7.5. Обобщенная дисперсия................ 231
7.6. Распределение множества коэффициентов корреляции в случае диагональной ковариационной матрицы совокупности ....................... 240
Литература ..................... 242
Задачи........................ 242
Г л а в а 8. Проверка общих линейных гипотез. Дисперсионный анализ.................... 247
8.1. Введение....................... 247
8.2. Оценки параметров многомерной линейной регрессии 248
ОГЛАВЛЕНИЕ 5
8.3. Критерии отношения правдоподобия для проверки линейных гипотез о коэффициентах регрессии.....259
8.4. Моменты отношения правдоподобия в случае, когда справедлива нулевая гипотеза ............ 263
8.5. Некоторые распределения величин U........267
8.6. Асимптотическое разложение распределения отношения правдоподобия..................278
8.7. Проверка гипотез о матрицах коэффициентов регрессии и доверительные области ............ 288
8.8. Проверка гипотезы о равенстве средних значений нормальных распределений с общей ковариационной матрицей .......................290
8.9. Обобщенный дисперсионный анализ..........294
8.10. Другие критерии для проверки линейной гипотезы . . 302
8.11. Каноническая форма.................307
Литература.....................309
Задачи.......................310
Глава 9. Проверка гипотезы о независимости множеств
случайных величин ................. 314
9.1. Введение....................... 314
9.2. Отношение правдоподобия как критерий для проверки гипотезы о независимости множеств случайных величин 314
9.3. Моменты отношения правдоподобия при условии, что справедлива нулевая гипотеза............. 320
9.4. Некоторые распределения отношения правдоподобия . 321
9.5. Асимптотическое разложение распределения величины \ (отношения правдоподобия).............. 326
9.6. Пример ....................... 328
9.7. Случай двух множеств случайных величин...... 329
Литература...................... 334
Задачи........................ 334
Глава 10. Проверка гипотез о равенстве ковариационных матриц и о равенстве одновременно векторов среднего значения и ковариационных матриц . . . 336
10.1 Введение......................336
10.2 Критерии проверки гипотез о равенстве нескольких ковариационных матриц...............337
10.3. Критерии проверки гипотезы об эквивалентности нескольких нормальных совокупностей.........340
10.4. Моменты отношения правдоподобия.........342
10.5. Асимптотические разложения функций распределения величин Vl и V...................346
10.6. Случай двух генеральных совокупностей.......350
10.7. Проверка гипотезы о том, что ковариационная матрица пропорциональна заданной матрице. Критерий сферичности.......,.............353
10.8. Проверка гипотезы о том, что ковариационная матрица равна данной матрице................359
6 ОГЛАВЛЕНИЕ
10.9. Проверка гипотезы о том, что вектор среднего значения и ковариационная матрица соответственно равны
данному вектору и данной матрице ......... 363
Литература..................... 365
Задачи....................... 365
Глава 11. Главные компоненты............. 369
11.1. Введение...................... 369
11.2. Определение главных компонент совокупности .... 370
11.3. Оценки наибольшего правдоподобия для главных компонент и их дисперсий............... 379
11.4. Вычисление оценок наибольшего правдоподобия для главных компонент................. 381
11.5. Пример....................... 384
Литература..................... 388
Задачи....................... 388
Глава 12. Канонические корреляции и канонические величины ....................... 389
12.1. Введение...................... 389
12.2. Канонические корреляции и канонические величины генеральной совокупности .............. 390
12.3. Оценка канонических корреляций и канонических величин ........................ 403
12.4. Способ вычислений................. 407
12.5. Пример ....................... 409
Литература....................• 412
Задачи....................... 412
Глава 13. Распределение некоторых характеристических
корней и векторов, не зависящих от параметров . 413
13.1. Введение...................... 413
13.2. Случай двух матриц Уишарта............ 414
13.3. Случай одной невырожденной матрицы Уишарта . . . 427
13.4. Канонические корреляции.............. 434
Литература..................... 436
Задачи "....................... 436
Глава 14. Обзор некоторых других работ по многомерному анализу................... 438
14.1. Введение...................... 438
14.2 Проверка гипотез о ранге и оценка линейных ограничений на коэффициенты регрессии. Канонические корреляции и канонические величины.......... 438
14.3. Нецентральное распределение Уишарта....... 441
14.4. Распределение некоторых характеристических корней
и векторов, зависящих от параметров........ 442
14.5. Асимптотическое распределение некоторых характеристических корней и векторов........... 442
14.6. Главные компоненты................ 443
U.7. Факторный анализ ,,..,,........... 444
ОГЛАВЛЕНИЕ /
148. Стохастические уравнения.............. 445
149. Анализ временных рядов.............. **"
Литература..................... **
Приложение. Теория матриц.............. 449
1 Определение матриц. Действия над матрицами..... 44J
2 Характеристические корни и векторы......... 455
3. Разбиение векторов и матриц на блоки......... *ои
4 Некоторые результаты................. 404
5. Метод сокращения Дулиттла и метод сгущения по оси
для решения систем линейных уравнений........ теУ
Литература....................... 4
4Q7
Предметный указатель............... чэ'
Цена: 150руб.
