16 Рассказы о максимумах и минимумах.—М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986,—192 с.— (Б-чка «Квант». Вып. 56.).
35 к. 150000 экз.
Прослеживается история методов нахождения наименьших и наибольших величин от глубокой древности до наших дней. Подробно излагаются решения многих замечательных задач на максимум и минимум, принадлежащие великим математикам прошлых эпох — Евклиду, Архимеду, Герону, Тарталье, Ферма, Кеплеру, Бернулли, Ньютону и др. Говорится о зарождении многих идей, заложивших основания современного анализа. Объясняются связи экстремальных задач с проблемами естествознания, техники и экономики, рассказывается об основных принципах современной теории экстремальных задач и приводятся решения задач алгебры, геометрии, анализа.
Для школьников, учителей, студентов, преподавателей.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие
Часть первая. СТАРИННЫЕ ЗАДАЧИ НА МАКСИМУМ И МИНИМУМ 7 Рассказ первый. Зачем решают задачи на максимум и минимум? 7 Рассказ второй. Древнейшая задача — задача Дидоны 13 Рассказ третий. Максимумы и минимумы в природе (оптика) 23 Рассказ четвертый. Максимумы и минимумы в геометрии 30 Рассказ пятый. Максимумы я минимумы в алгебре и анализе 39 Рассказ шестой. Задача Кеплера 48 Рассказ седьмой. Брахистохрона 55 Рассказ восьмой. Аэродинамическая задача Ньютона 65
Часть вторая. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ
ЗАДАЧ 79 Рассказ девятый. Что такое функция? 79 Рассказ десятый. Что такое экстремальная задача? 90 Рассказ одиннадцатый. Экстремумы функций одного переменного 97 Рассказ двенадцатый. Экстремумы функций многих переменных. Принцип Лагранжа 108 Рассказ тринадцатый. Снова порешаем! 117 Рассказ четырнадцатый. Что было дальше в теории экстремальных задач? 141 Рассказ пятнадцатый, а на самом деле не рассказ, а беседа 182 Список литературы 190
ПРЕДИСЛОВИЕ
В жизни постоянно приходится сталкиваться с необходимостью принять наилучшее возможное (иногда говорят — оптимальное) решение. Огромное число подобных проблем возникает в экономике и технике. При этом часто случается так, что полезно прибегнуть к математике.
В математике исследование задач на максимум и минимум началось очень давно — двадцать пять веков назад. Долгое время к задачам на отыскание экстремумов- не было сколько-нибудь единых подходов. Но примерно триста лет назад — в эпоху формирования математического анализа — были созданы первые общие методы решения и исследования задач на экстремум.
Тогда же выяснилось, что некоторые специальные задачи оптимизации играют очень важную роль в естествознании, а именно обнаружилось, что многие законы природы допускают вывод из так называемых «вариационных принципов», согласно которым истинное движение механической системы, света, электричества, жидкости, газа и т. п. можно выделить из произвольной совокупности допустимых движений тем, что они минимизируют или максимизируют некоторые величины. В конце XVII столетия было поставлено несколько конкретных экстремальных задач естественнонаучного содержания (брахистохрона, задача Ньютона и др.). Потребность решать как их, так и многие другие проблемы, возникающие в геометрии, физике, механике, привела к созданию новой главы математического анализа, получившей название вариационного исчисления.
Интенсивное развитие вариационного исчисления продолжалось около двух столетий. В нем принимали участие многие замечательные ученые XVIII и XIX веков, и к началу нашего столетия стало казаться, что они почти исчерпали эту тематику.
Но это оказалось не так. Потребности практической жизни, особенно в области экономики и техники, в последнее время выдвинули такие новые задачи, которые старыми
методами решить не удавалось. Надо было идти дальше. Пришлось несколько развить математический анализ и создать новый его раздел - «выпуклый анализ», где изучались выпуклые функции и выпуклые экстремальньй задачи.
С другой стороны, потребности техники, в частности кос» мической, выдвинули серию задач, которые также не поддавались средствам вариационного исчисления. Необходимость решать их привела к созданию новой теории, получившей название теории оптимального управления. Основной метод в теории оптимального управления был разработан в пятидесятые — шестидесятые годы советскими математиками — Л. С. Понтрягиным и его учениками. Это привело к тому, что теория экстремальных задач получила новый мощный толчок к дальнейшим исследованиям.
Цель данной книги — познакомить читателя со всем этим кругом идей. Но эта цель — не единственная. Задачи на максимум и минимум на протяжении всей истории математики играли важную роль в развитии этой науки. За все это время накопилось большое число красивых, важных, ярких и интересных задач в геометрии, алгебре, физике и т. п. В решении этих конкретных задач принимали участие крупнейшие ученые прошлых эпох — Евклид, Архимед, Аполлоний, Герои, Тар-талья, Торричелли, Иоганн и Якоб Бернулли, Ньютон и многие другие. Решение конкретных задач стимулировало развитие теории, и в итоге были выработаны приемы, позволяющие единым методом решать задачи самой разнообразной природы.
Хочется, чтобы читатель понял, как и зачем рождается математическая теория. В первой части книги он познакомится со многими конкретными задачами, при обсуждении их решений соприкоснется с творчеством ряда крупнейших математиков прошлого. И это имеет не только исторический интерес. Идеи и методы, созданные замечательными математиками при решении конкретных проблем, обычно не умирают. Они потом обязательно где-нибудь возрождаются, и потому проникновение в замыслы великих людей всегда обогащает.
Но когда возникает необходимость в решении большого числа разнообразных проблем, создаются предпосылки для создания общей теории. Во второй части рассказывается об одном методе решения задач на максимум и минимум, восходящем к Лагранжу. Основной замысел этого метода сохраняется на протяжении более двух столетий. Меняется его наполнение, но центральная мысль при этом остается неизменной. Понять причины такой универсальности идеи Лагранжа непросто. Однако научиться пользоваться лагранжевским
5
Цена: 150руб.
