Монография посвящена изучению временных рядов, встречающихся в различных областях физики, механики, астрономии, техники, экономики, биологии, медицины. Основная ориентация книги — практическая: методы теоретического анализа иллюстрируются детально проработанными примерами, а результаты наглядно представлены на многочисленных графиках. Вместе с тем теоретический уровень изложения очень высок. Для более глубокого понимания выводов и выкладок приводится большое число упражнений.
Книга рассчитана на математиков и специалистов различных областей науки и техники. Она доступна аспирантам и студентам университетов.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Исходным материалом книги послужили лекции, прочитанные мною летом 1967 г. сотрудникам отдела 1215 Телефонной лаборатории Белла в Мюррей Хилл, Нью-Джерси. Рэм Гнанадеси-кан, работающий в этом отделе, посоветовал мне оформить записки лекций для печати. Во время моей работы в Лаборатории были подготовлены многие из приведенных в книге примеров; для расчетов применялась ЭВМ GE 645, снабженная устройствами графического представления результатов.
Этот же курс был прочитан вновь, но в более элементарной и описательной манере в течение зимнего и весеннего семестров 1968 г. старшекурсникам Университета штата Калифорния в Беркли, специализирующимся в области статистики, а затем в весеннем семестре 1969 г.— студентам отделения статистики и эконометрики Лондонской экономической школы. Окончательный вариант рукописи был подготовлен к середине 1972 г. Хочется надеяться, что библиография почти полностью отражает работы, появившиеся до этого времени.
Мне кажется, что книга будет полезна и как учебник по анализу временных рядов для студентов старших курсов, и как справочник для научных работников, интересующихся частотным анализом временных рядов. Всюду, где возникает такая необходимость, приводятся точные определения и формулировки нужных условий. Благодаря такой форме представления материала читатель получает прочные основы для решения практических задач. Приведенные здесь результаты, как правило, не являются наиболее общими, однако имеют то преимущество, что все они по существу вытекают из одного важного условия перемешивания, которое вводится на раннем этапе изложения и связывает всю книгу.
Многие теоремы нашей книги содержат только утверждения об асимптотиках, так как более детальная информация попросту не известна. Это обстоятельство не должно отпугивать специалистов в прикладных областях математики. Теоремы такого рода приводятся
ОГЛАВЛЕНИЕ1)
Предисловие.......................... 5
1. Природа временных рядов и их частотный анализ .... ?
1.1. Введение........................... 7
1.2. Основания для применения гармонического анализа...... 13
1:3. Перемешивание........................ 15
1.4. Исторический обзор..................... 15
1.5. Применения частотного анализа................ 17
1.6. Заключительные замечания.................. 19
1.7. Упражнения......................... 19
2. Основные понятия...................... 22
2.1. Введение.....................'..... 22
2.2. Стохастические процессы................... 23
2.3. Кумулянты......................... 25
2.4. Стационарность....................... 28
2.5. Спектр второго порядка................... 29
2.6. Кумулянтные спектры порядка /г............... 32
2.7. Фильтры.......................... 34
2.8. Инвариантные свойства кумулянтного спектра........ 41
2.9. Примеры стационарных временных рядов........... 42
2.10. Примеры кумулянтного спектра............... 46
2.11. Функциональный и стохастический подходы к анализу временных рядов.......................... 49
2.12. Тренды........................... 52
2.13. Упражнения......................... 52
3. Аналитические свойства преобразования Фурье и комплексные матрицы....................... 57
3.1. Введение.......................... 57
3.2. Ряд Фурье......................... 57
3.3. Множители, улучшающие сходимость............. 60
3.4. Конечные преобразования Фурье и их свойства........ 69
3.5. Быстрое преобразование Фурье................ 73
3.6. Применения дискретного преобразования Фурье....... 76
3.7. Комплексные матрицы и их экстремальные значения..... 79
3.8. Функции от преобразования Фурье.............. 85
3.9. Спектральное представление при функциональном подходе к анализу временных рядов .................. 90
3.10. Упражнения........................ 93
4. Стохастические свойства конечного преобразования Фурье 98
4.1. Введение........................... 98
4.2. Комплексное нормальное распределение............ 98
4.3. Стохастические свойства конечного преобразования Фурье ... 101
4.4. Асимптотическое распределение конечного преобразования Фурье 104
4.5. Оценки, имеющие место с вероятностью 1........... 108
4.6. Представление Крамера.................... 111
4.7. Анализ главных компонент и его связь с представлением Крамера 118
4.8. Упражнения......................... 121
:) Перевод предисловия, гл. 1—4 и 8—10 выполнен А. В. Булинским, гл. 5—7 перевел И. Г. Журбенко.— Прим. ред. .
иглавленш оЗэ
5. Оценка спектра мощности.................. 128
5.1 Спектры мощности и irx интерпретация............ 128
5.2. Периодограмма....................... 132
5.3. Дальнейшее изучение периодограммы ............ 141
5.4. Сглаженная периодограмма.................. 144
5.5. Общий класс спектральных оценок.............. 155
5.6. Состоятельные оценки.................... 159
5.7. Доверительные интервалы.................. 165
5.8. Смещения и предварительная фильтрация........... 168
5.9. Другие оценки спектра мощности.............. 175
5.10. Оценки спектральной меры и ковариационной функции .... 180
5.11. Отступление от принятых предположений........... 187
5.12. Использование анализа спектров мощности.......... 195
5.13. Упражнения......................... 197
6. Анализ инвариантных во времени линейных соотношений между стохастическими и некоторыми детерминированными рядами........................... 202
6.1. Введение.......................... 202
6.2. Метод наименьших квадратов и регрессионная теория..... 204
6.3. Эвристическое построение оценок............... 209
6.4. Вид асимптотического распределения............. 210
6.5. Математические ожидания оценок передаточной функции и спектра ошибок....................... 213
6.6. Асимптотические ковариации предложенных оценок...... 217
6.7. Асимптотическая нормальность оценок............ 220
6.8. Оценивание импульсной характеристики........... 222
6.9. Доверительные области................... 224
6.10. Рабочий пример....................... 226
6.11. Дальнейшие исследования.................. 237
6.12. Сравнение трех оценок импульсной характеристики...... 241
6.13. Использование предложенных методов............ 243
6.14. Упражнения......................... 245
7. Оценки спектра второго порядка многомерных временных
' рЯДОВ.............................. 250
7.1. Матрицы спектральной плотности и их интерпретация . , , . 250
7.2. Периодограммы второго порядка............... 253
7.3. Оценка матрицы спектральной плотности путем осреднения периодограммы ........................ 260
7.4. Состоятельные оценки матрицы спектральной плотности .... 265 . 7.5. Построение доверительных границ.............. 271
7.6. Оценки родственных величин................. 273
7.7. Дальнейшее развитие оценок спектра второго порядка .... 280
7.8. Рабочий пример....................... 289
7.9. Изучение рядов, встречающихся в планировании эксперимента 296
7.10. Упражнения......................... 300
8. Анализ линейных инвариантных во времени соотношений между двумя многомерными стохастическими рядами. . , 307
8.1. Введение.......................... 307
8.2. Результаты для многомерных случайных величин....... 308
8.3. Определение оптимального линейного фильтра........ 317
8.4. Эвристическая интерпретация параметров и построение оценок 321
8.5. Предельное распределение оценок.............. 326
8.6. Класс состоятельных оценок................. 329
8.7. Асимптотические моменты второго порядка рассмотренных оценок 332
8.8. Асимптотическое распределение оценок............ 336
8.9. Доверительные области для предложенных оценок....... 337
8.10. Оценки коэффициентов фильтра............... 341
8.11. Оценки отклонений, имеющие место с вероятностью 1..... 346
8.12. Дальнейшее обсуждение................... 346
8.13. Другие типы оценок..................... 349
8.14. Рабочий пример....................... 355
8.15. Применения материала настоящей главы........... 355
8.16. Упражнения......................... 356
9. Главные компоненты в частотной области......... 362
9.1. Введение........................... 262
9.2. Анализ главных компонент векторных величин . ,....... 364
9.3. Ряды главных компонент................... 369
9.4. Построение оценок и их асимптотические свойства....... 374
9.5. Дальнейшие свойства главных компонент........... 379
9.6. Рабочий пример....................... 382
. 9.7. Упражнения......................... 391
10. Канонический анализ временных рядов......... 395
10.1. Введение...................•....... 395
10.2. Канонический анализ векторных случайных величин..... 396
10.3. Ряды канонических переменных............... 407
10.4. Построение оценок и их асимптотические свойства". ...... 412
10.5. Дальнейшие свойства канонических переменных........ 416
10.6. Упражнения........................ 419
Доказательства теорем...................... 421
К главе 2............................ 421
К главе 3..........•................. 427
К главе 4............................ 432
К главе 5...................._........ 444
К главе 6............................ 453
К главе 7............................ 466
К главе 8............................ 484
К главе 9............................ 492
К главе 10............................ 496
Список литературы........................ 500
Указатель обозначений..................• • • 530
Предметный указатель...................... 532
Цена: 300руб.
