КОЛЛЕКТИВ АВТОРОВ:
В. Н. МАТВЕЕВ, А. А. МАТЮШКИН-ГЕРКЕ, Н. В. БОГОМОЛОВ, С. М. КОЗЛОВСКИЙ
Книга представляет собой вторую часть «Курса математики для техникумов» в двух частях, написанного группой ленинградских авторов в соответствии с новой программой для техникумов, утвержденной в 1974 году.
Книга подготовлена по предложению Научно-методического кабинета по среднему специальному образованию Министерства высшего и среднего специального образования СССР как экспериментальное учебное пособие.
Отзывы и замечания по данному учебному пособию Научно-методический кабинет по среднему специальному образованию просит направлять в его адрес: 111024, Москва, Е-24, 3-я Кабельная ул.. дом 1.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 13. Неопределенный интеграл............ 9
§ 13.1. Неопределенный интеграл и его простейшие свойства 9 13.1.1. Первообразная функция. Неопределенный интеграл (9). 13.1.2. Основные свойства неопределенного интеграла (12). 13.1.3. Таблица простейших неопределенных интегралов (13). 13.1.4. Непосредственное интегрирование (14). § 13.2. Простейшие приложения неопределенного интеграла 16 13.2.1. Вычисление первообразной функции по заданной ее производной или дифференциалу и частным значениям аргумента и функции (16). 13.2.2. Составление уравнения линии, проходящей через данную точку, по заданному угловому коэффициенту касательной (16). 13.2.3. Составление уравнения движения материальной точки (17).
§ 13.3. Методы интегрирования..............19
13.3.1. Интегрирование методом замены переменной (способом подстановки) (19). 13.3.2. Метод интегрирования по частям (29). 13.3.3. Интегрирование рациональных дробей (33). 13.3.4. Понятие об интегралах, не выражающихся в конечном виде через элементарные функции (36).
Вопросы для повторения к главе 13.......37
Упражнения к главе 13................38
Ответы, указания и решения к главе 13 . . . . . 39
Глава 14. Определенный интеграл и его приложения .... 42
§ 14.1. Основные понятия ................42
14.1.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла (42). 14.1.2. Интегральная сумма и определенный интеграл (44).
§ 14.2. Свойства определенного интеграла.........46
14.2.1. Свойства, выражаемые равенствами (46). 14.2.2. Свойства, выражаемые неравенствами (47). 14.2.3. Теорема о среднем (48). § 14.3. Интеграл с переменным верхним пределом.....49
а
14.3.1. Непрерывность интеграла с переменным верхним пределом (49). 14.3.2. Производная от интеграла с переменным верхним пределом (50). 14.3.3. Формула Ньютона— Лейбница (51).
§ 14.4. Методы вычисления определенных интегралов .... 53 14.4.1. Непосредственное интегрирование (53). 14.4.2. Замена переменной (способ подстановки) (54). 14.4.3. Интегрирование по частям (58). 14.4.4. Приближенные методы вычисления определенных интегралов (59).
§ 14.5. Несобственные интегралы.............67
§ 14.6. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла ..........'............... 69
14.6.1. Две схемы применения определенного интеграла к вычислению различных величин (69). 14.6.2. Площади плоских фигур (71).
§ 14.7. Вычисление объемов................75
14.7.1. Понятие объема, его основные свойства (75). 14.7.2. Объем прямоугольного и прямого параллелепипеда, прямой призмы и цилиндра (76). 14.7.3. Объем тела с заданными площадями поперечных сечений (80). 14.7.4. Объем наклонной призмы (наклонного цилиндра) (82). 14.7.5. Объем пирамиды и усеченной пирамиды (83). 14.7.6. Объем тела вращения (84). 14.7.7. Объем конуса и усеченного конуса (87). 14.7.8. Объем шара и его частей (89).
§ 14.8. Длина дуги и площадь поверхности вращения 92
14.8.1. Длина дуги кривой. Дифференциал дуги (92).
14.8.2. Площадь поверхности вращения (96). 14.8.3. Площадь поверхности сферы, сферического пояса и сферического сегмента (98).
§ 14.9. Другие приложения определенного интеграла ... 100 14.9.1. Путь, пройденный телом (100). 14.9.2. Работа переменной силы (101). 14.9.3. Работа, совершаемая при поднятии груза (103). 14.9.4. Давление жидкости (104). 14.9.5. Статические моменты и центр тяжести кривой (108). 14.9.6. Статические моменты и центры тяжести плоских фигур (111). 14.9.7. Моменты инерции (113).
Вопросы для повторения к главе 14.......114
Упражнения к главе 14.............'. . . us
Ответы, указания и решения к главе 14.....117
Глава 15. Понятие о векторнозначных функциях и функциях нескольких переменных...............118
§ 15.1. Обобщение понятия функции............118
15.1.1. Вводные замечания (118). 15.1.2. Основное определение (118).
?15.2. Векторнозначные функции скалярного аргумента . . 119 5.2.1. Вектор-функция, ее график и годограф (119).
15.2.2. Препел и непрерывность вектор-функции. Ее дифференцирование и интегрирование (121).
§ 15.3. Функции нескольких переменных......... 123
15.3.1. Функция двух переменных. Ее график. Частные производные (123). 15.3.2. Полный дифференциал функции двух переменных (126). 15.3.3. Обобщения на случай большего числа переменных (127). 15.3.4. Производная сложной функции (128). 15.3.5. Дифференцирование неявных функций (129).
§ 15.4. Кратные интегралы ................131
15.4.1. Основные понятия (131). 15.4.2. Формула для вычисления двойного интеграла (133). 15.4.3. Вычисление тройного интеграла (135).
Вопросы для повторения к главе 15.......135
Упражнения к главе 15...............136
Ответы, указания и решения к главе 15.....138
Глава 16. Экстремальные задачи для функций нескольких переменных...................... . 144
§ 16.1. Линии и поверхности уровня. Производная по направлению и градиент..................144
16.1.1. Линии уровня функции двух переменных (144).
16.1.2. Производная по направлению (144). 16.1.3. Градиент функции двух переменных (147). 16.1.4. Замечания для случая трех и большего числа переменных (148).
§ 16.2. Экстремумы функций нескольких переменных. Классический лодход к решению экстремальных задач.....149
16.2.1. Основные понятия (149). 16.2.2. Условия существования внутреннего экстремума для функции двух переменных (150). 16.2.3. Классический способ отыскания экстремумов (151). 16.2.4. Случай трех и большего числа переменных (154).
§ 16.3. Линейное программирование............155
16.3.1. Предварительные примеры (155). 16.3.2. Задачи линейного программирования с ограничениями—неравенствами (случай двух переменных) (158).
§ 16.4. Симплекс-метод решения задач линейного программирования .........................160
16.4.1. Основная идея симплекс-метода и его геометрическая интерпретация (160). 16.4.2. Алгоритм симплекс-метода (163). 16.4.3. Симплекс-таблицы и их использование (165).
§ 16.5. Случай трех и большего числа переменных. Понятие
о нелинейных экстремальных задачах...........169
16.5.1. Задачи линейного программирования с произвольным количеством переменных- (169). 16.5.2. Заключительные замечания об экстремальных задачах (170). Вопросы для повторения к главе 16 . . . . . . . 171
У пр а ж ней и я к главе 16 . ...............172
Ответы, указания в. р« шеи и я к главе 16 . . . .. 174
Глава 17. Дифференциальные уравнения..........183
§ 17.1. Введение.....................183
17.1.1. Понятие о дифференциальном уравнении. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (183). 17.1.2. Основные понятия: порядок дифференциального уравнения, начальные условия, общее и частное решения, граничные условия (185).
§ 17.2. Дифференциальные уравнения первого порядка . . 191 17.2.1. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка (191). 17.2.2. Простейшие типы дифференциальных уравнений первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными, линейные уравнения (193).
§.17.3. Дифференциальные уравнения порядка выше первого 195 17.3.1. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (195). 17.3.2. Примеры решения дифференциальных уравнений высших порядков (198).
§ 17.4. Метод Эйлера численного интегрирования дифференциального уравнения первого порядка и его геометрическая интерпретация......................202
Вопросы для повторения к главе 17.......205
Упражнения к главе 17................205
Ответы, указания и решения к главе 17.....207
Глава 18. Числовые и степенные ряды..........212
§ IS. Г. Числовые ряды..................212
18.1.1. Числовой ряд и его сумма (212). 18.1.2. Примеры сходящихся и расходящихся рядов (213). 18.1.3. Простейшие свойства сходящихся рядов (215).
§ 18.2. Признаки сходимости числовых рядов.......218
18.2.1. Необходимый признак сходимости (219). 18.2.2. Признак сравнения и его следствия. Абсолютная сходимость (219). 18.2.3. Признак Даламбера (222). 18.2.4. Признак Лейбница (224). 18.2.5. Интегральный признак сходимости ?226). 18.2.6. Примеры исследования рядов на сходимость. Оценки остаточных рядов (230).
§ 18.3. Степенные ряды .................232
18.3.1. Понятие о функциональных рядах (232). 18.3.2. Степенные ряды. Структура их областей сходимости (233).
18.3.3. Простейшие свойства степенных рядов (235).
18.3.4. Разложение » степенной ряд In* и aretg* (2Щ.
§ 18.4. Ряды Тейлора ..................239
18.4.1. Единственность разложения функции в степенной ряд (239). 18.4.2. Ряд Тейлора. Достаточные условия' раз> ложимости (241). 18.4.3. Ряды для s'mx, cosx не* (242). 18.4.4. Решение дифференциальных уравнении с помощью степенных рядов (244).
Вопросы для повторения к главе 18 . . . . . . . 246
Упражнения к главе 18...............247
Ответы, указания и решения к главе 18.....249
Глава 19. Ряды Фурье ..................253
§ 19.1. Обобщенные полиномы и приближение функций «в
среднем»......................... 253
19.1.1. Различные способы оценки «близости» двух функций (253). 19.1.2. Ортогональные и ортонормированные системы функций (256). 19.1.3. Обобщенные полиномы наилучшего приближения (258). 19.1.4. Обобщенные ряды Фурье (259).
§ 19.2. Тригонометрические ряды Фуръе .........261
19.2.1. Разложение в тригонометрический ряд Фурье функции, заданной на конечном промежутке (261).
19.2.2. Разложение периодических функций (?62). 19.2.3. Разложение в ряды только по синусам и только по косинусам (263). 19.2.4. Примеры разложения функций в тригонометрические ряды Фурье (?66).
Вопросы для повторения к главе 19.......268
Упражнения к главе 19................268
Ответы, указания и решения к главе 19.....269
Глава 20. Элементы комбинаторики............272
§ 20.1. Упорядоченные выборки. Перестановки и сочетания 272 20.1.1. Вводные замечания (272). 20.1.2. Упорядоченные выборки и перестановки (272). 20.1.3. Сочетания (275).
§ 20.2, Бином Ньютона. Треугольник Паскаля......277
20.2.1. Формула разложения в сумму степени бинома (277).
20.2.2. Треугольник Паскаля (278).
Вопросы для повторения к главе 20.......279
Упражнения к главе 20 ...............279
Ответы, указания и решения к главе 20.....280
Глава 21. Элементы теории вероятностей и математической
статистики.......................281
§ 21.1. События, вероятности и действия над ними .... 281 21.1.1. Введение (281). 21.1.2. События и операции над ними (284). 21.1.3. Классическое определение вероятности (290). 21.1.4. Условная вероятность. Формула полной вероятности и формула Байеса (293). 21.1.5. Общее определение вероятностной функции на конечной алгебре событий (298).
§ 21.2. Случайные величины и функции распределения . . 302 21.2.1. Дискретные случайные величины (302). 21.2.2. Биномиальный згкон распределения (308). 21.2.3. Случайные величины (общий случай) (311).
§ 21.3. Сводные числовые характеристики. Аппроксимация распределений......................320
21.3.1. Сводные числовые характеристики выборочных и теоретических распределений (320). 21.3.2. Аппроксимация законов распределения (328). 21.3.3. Понятие о законе больших чисел (330). § 21.4. Системы случайных величин........... 332
21.4.1. Совместные распределения случайных величин (332).
21.4.2. Регрессионные зависимости и сводные числовые характеристики совместных распределении (337). 21.4.3. Совместные выборочные распределения и их сводные числовые характеристики (342). 21.4.4. Отыскание регрессионных зависимостей методом наименьших квадратов (346).
Вопросы дляповторения к главе 21.......351
Упражнения к главе 21 ...............353
Ответы, указания и решения к'главе 21 . . . .359
Приложение. Таблица значений функции Ф„ (z) =
Цена: 150руб.
