95 Повторим математику. Изд. 2-е, доп. Учеб. пособие для поступающих в вузы. М., «Высш. школа», 1974.
519 с. с илл.
Перед загл. авт.: Шувалова Э. 3., Агафонов Б. Г., Богатырев Г. И.
Учебное пособие рассчитано на лиц, уже имеющих среднее образование и готовящихся к поступлению в технические вузы либо самостоятельно, либо в системе подготовительных курсов.
Теоретический материал иллюстрируется -большим количествомпри-меров и задач средней и повышенной трудности. По возможности эти задачи и методы их решений систематизированы.
Предназначается для поступающих во втузы.
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Во второе издание включены новые главы XVI, XVII, XVIII и XIX, написанные Э. 3. Шуваловой. В этих главах в несколько нетрадиционной форме дается полное изложение курса стереометрии в объеме программы средней школы. Глава XIX посвящена обзору наиболее часто встречающихся задач по стереометрии и методам их решений.
Для удобства пользования книгой в конце ее дается предметный указатель.
Кроме того, в издание внесены поправки редакционного характера и исправлены опечатки. Часть из этих исправлений вызвана замечаниями читателей. Всем им мы выражаем глубокую благодарность.
Авторы
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Это пособие предназначено для тех, кто уже прошел курс элементарной математики в объеме программы средней школы и хочет повторить алгебру и тригонометрию.
Очевидно, что изложение такого повторительного курса должно быть несколько иным, чем в учебниках и учебных пособиях, написанных для средней школы. Это и имели в виду авторы, когда допускали ссылки в начальных главах на последующее. Так, например, в главе I использовалась формула суммы членов бесконечно
I* 3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию ......... '...... ..... 3
Предисловие к первому изданию ..................... 3
Введение
Глава I. Действительные и комплексные числа
..... . 5
чила ...... ....... 7
1. Натуральные и целые числа . . . : ....... -.""". ..... 7
§ 2. Рациональные числа ................ ...... И
§ 3. Иррациональные числа ............. . . ...... 19
§ 4. Действительные числа ................. .'•.... 22
§ 5. Решение задач . . ...................... 31
§ 6.- Комплексные" числа ... ...... ......... .....
§ 7. Решение задач
Глава
. . . .
II. Равенства. Преобразования алгебраических выражений. Неравенства
____................. ......... ,48
§ 1. Равенства алгебраических вы ажений............. 48
. § 2. Классификация алгебраических выражений........... 49
.§ 3. Действия над многочленами. Теорема Безу . . . . .'". .'.-.',. '. 51
§ 4. Многочлены (решение задач) ................. 57
§ 5. Алгебраические дроби. Пропорции. Иррациональные выражения . 61
§ 6. Тождественные преобразбвания алгебраических. выражений^ {(ре> '
шение задач) ................... '.'-.'•. '. . . 67
§ 7. Неравенства и их основные .свойства ...... ,....,..,»...-,.".... .. 73
§ 8. Задачи на доказательство неравенств . . . ... V . ...... 76
Глава III. Уравнения, системы уравнений. Решение неравенств...... . . . ' 84
: • •§ 1. Основные понятия и определения, связанные с уравнениями . . : 84^
.§ 2. Основные .свойства уравненийм..;.. ч ...... ..-, . ,.,.;..... > , 87,;
§ 3. Основные понятия, И;-ОПределения, связанные с,-системами ^урав- '
нений. Основные свойства систем уравнений . . . ,.: « .. . ,. •.. . 88
§ 4. Целые рациональные уравнения с одним неизвестным ., .... . 95
'« 5. Решение линейных и квадратных'уравнений .-. : . :. ;.т I . • '. .• . 98". &. Исследование решений квадратного уравнения с действительными, коаЛАнпнритоми
' '" * 1ПП
,.г*-^г*"гу *****"+**:**?**** .......•*.....*. .., . , . .., . . ... . 1VV
§ 7. Двучленные уравнения............'. "'.'' tftt
е О Г1 -
105 107
jr~............................., . 101
§ 8. Биквадратные и трехчленные уравнения....... ,„ . . .,.. . •
; § 9, Возвратные уравнения четверто^ степени , . . ... . т . . ._..
• § 10. Подбор рациональных корней многочлена с целыми коэффици-
..'.! ентами ,................... . . . . . , _. /, :107
§ 11. Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными" 108
. •-§ 12. Система, состоящая из одного линейного уравнения, и одного, i • .-':>.,
уравнения второй степени с двумя неизвестными ........ 1Й
...§ 13. Система двух уравнений второй степени с двумя неизвестными ;114-,| 14. Решение рациональных- неравенств и систем неравенств с одним ' ' '.
неизвестным....................... V? ^—-Jlf
Г_лава IV. Решение задач на алгебраические уравнения, системы уравне- •
ннй я неравенства..........-,, . ...- ...,,... ?. . , . 126
§ 1. Решение рациональных уравнений с одним неизвестным- . -.--. «• 126 § 2. Решение рациональных систем ...... .....-.-.•.•,.':; , 133
§ 3, Иррациональные уравнения ../-.............. 142
§ 4. Решение иррациональных неравенств.............. 152
§ 5. Решение иррациональных систем............... 154
§ 6. Решение уравнений, неравенств и систем, содержащих абсолютную величину........................ 158
§ 7. Разные задачи, связанные с уравнениями, неравенствами, систе- .
мами............................. 166
Глава V. Последовательность. Прогрессии :.............. 174.
§ 1. Последовательность...................... 174
§ 2. Арифметическая прогрессия.......... . ....... 178
§ 3. Геометрическая прогрессия.................. , 181
§ 4. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия....... '183
§ 5. Задачи ............................. 185
§ 6. Суммирование последовательностей................ 192
Глава VI. Соединения и бином Ньютона................ 196
§ 1. Соединения. Виды соединений............. ... 196
§ 2. Бином Ньютона........................ 200
§ 3. Задачи............................ 202
Глава VII. Функции........................... 210
§ 1. Постоянные и переменные величины ............. 210
§ 2. Функция.......................... . 211
§ 3. Способы задания функции.................. . 211
§ 4. Четные и нечетные функции.................. 213
§ .5. Периодические функции.................... 215
§•6. Ограниченные и неограниченные фущщии. Монотонные функции " 217
§ 7. Обратная функция...................... 219
§ 8. Простейшие преобразования графиков............. 221
§. 9. Обзор свойств некоторых простейших элементарных функций.
Построение их графиков................... 223
Глава VIII.-Показательная и логарифмическая функции........ 232
§ 1. Показательная функция. Ее свойства и график........ 232
§ 2. Логарифмическая функция.................. 234
§ 3. Упражнения...... . .................. 238
§ 4. Решение показательных и логарифмических уравнений..... 242
§ 5. Решение неравенств, содержащих логарифмическую и показательную функцию........ . . . :............. 250
Глава IX. Тригонометрические функция . . . .'........... 254
§ 1. Угол в тригонометрии .....:.............. 254
§ 2. Тригонометрический круг. Определение тригонометрических функций..........................- • • 255
— - § 3. Свойства тригонометрических функций............ 258
§ 4. Графики тригонометрических функций............. 261
§ 5. Тригонометрические функции острого угла.......... 267
§ 6. Задачи.............. .............. 268
Глава X. Теоремы сложения н их следствия.............. 273
§ 1. Формулы тригонометрических функций От алгебраической суммы
аргументов (формулы сложения) ................. 273
§ 2. Формулы приведения..................... 275
§ 3: Тригонометрические функции кратных аргументов'...... . 277
§ 4. Формулы Преобразования произведения синусов и косинусов в сумму. Формулы понижения степени............... 278
§5. Тригонометрические функции половинного аргумента. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента .............................. 280
§ 6. Числовые значения тригонометрических функций некоторых аргументов ...............•........'..... 282
§ 7. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в
произведение.......................... 285
§ 8. Соотношения между аргументами « и р, вытекающие из равенства их одноименных тригонометрических функций....... 287
Глава XI. Задачи на тождественные преобразования в тригонометрии 289
§ 1. Упрощение тригонометрических выражений.......... 289
§ 2. Вычисление без таблиц...................•. 292
§ 3. Вычисление значений тригонометрических выражений по известным значениям других тригонометрических выражений ..... 295 § 4. Преобразование тригонометрических выражений в произведение 300
§ 5. Доказательство тождеств................... 303
§ 6. Условные равенства...................... 305
§ 7. Исключение аргументов из системы равенств . . г....... 310
§ 8. Доказательство тригонометрических неравенств .....•- • • 312
§ 9. Суммирование последовательностей тригонометрических выражений 314
Глава XII. Обратные тригонометрические функции . . ........ 318
§ 1. Арксинус........................... 318
§ 2. Арккосинус......................... 320-
§ 3. Арктангенс и арккотангенс.................. 321
§ 4. Основные тождества..................... 324
§ 5. Задачи............................ 325
Глава XIII. Тригонометрические уравнения.............. 337
§ 1. Простейшие тригонометрические уравнения .......... 337
§ 2. Сведение тригонометрических уравнений к простейшим с помощью
тождественных преобразований................. 339
§ 3. Сведение тригонометрического уравнения к рациональному урав-
„ -нению с одним неизвестным.................. 350
§ 4. Системы тригонометрических уравнений............ 358
§ .5. Тригонометрические неравенства................ 361
§ 6. Рещение трансцендентных уравнений и неравенств....... 365
Глава XIV. Графики .'........................ 369
§ 1. Построение графиков с помощью геометрических преобразований 369 § 2. Графики функций, заданных разными формулами на различных
промежутках области определения............... 377
§ 3. График суммы и разности двух функций........... 379
§ 4. График произведения двух функций.............. 381
§ 5. График функции, у — -—- . .................. 383
§ 6. График частного двух функций............."... 385
§ 7. График «функции от функции» ................. 388
§ 8. Применение графиков к решению уравнений, систем и неравенств 392
§ 9. Разные задачи........................ 396
Гл а в а XV. Приложения тригонометрии к решению треугольников. Вычисление площадей прямолинейных фигур............. 400
§ 1. Соотношения между элементами прямоугольного треугольника.
Основные случаи решения прямоугольных треугольников .... 401
§ 2. Соотношения между элементами любого треугольника...... 402
§ 3. Основные случаи решения косоугольных треугольников .... 406
§ 4, Понятие об измерении площадей плоских фигур........ 408
§ 5. Площадь прямоугольника и треугольника........... 410
§ 6. Площадь четырехугольника и многоугольника......... 414
§ 7. Задачи............................ 416
Б18
.• *
Глава XVI. Прямые и плоскости в пространстве........... 438
§ 1. Основные определения...................... 435
§ 2. Признаки параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей............................ 437
§ 3. Свойства многогранных углов................ . 442
§ 4. Площадь проекции...................... 443
Глава XVII. Многогранники. Цилиндрические тела и конусы. Шар . . . 446
§ 1. Многогранники........................ 446
§ 2. Цилиндрическая поверхность. Цилиндрическое тело....... 448
§ 3. Коническая поверхность. Конус................ 451
§ 4. Усеченный конус....................... 455
§5. Определение и свойства шара.................. 456
Глава XVIII. Объемы и площади поверхностей многогранников, цилиндрических тел, конусов, шара и его частей............. 459
§ 1. Понятие об измерении объемов геометрических тел ....... 459
§ 2. Объем прямоугольного параллелепипеда............ 460
§ 3. Объем прямого цилиндрического тела.............. 462
§ 4. Объем наклонного цилиндрического тела . . .......... 463
§ 5. Объем конуса..............i.......... 465
§ 6. Объём усеченного конуса..................• • » 467
§ 7. Объем шара и его частей................... 468
§ 8. Площади поверхностей многогранников, цилиндров и конусов . . 471
§ 9. Площадь поверхности шара и его частей............ 473
Глава XIX. Обзор задач по стереометрии............... 475
§ 1. Угол между прямой и плоскостью. Двугранные углы. Трехгранные углы........................... 477
§ 2. Угол и расстояние между скрещивающимися прямыми..... 481
§ 3. Задачи на сечения....................... 484
§ 4. Задачи на комбинации вписанных друг в друга тел . . ... . . 490
§ 5. Задачи на произвольные комбинации тел . . . . . . . . . .• , . 505
Предметный указатель......................... 510
Цена: 150руб.
