Элементарная алгебра. Пособие для самообразования. Изд. Зте, переработ, и доп. М., «Просвещение», 1970.
864 с. с илл.
Книга написана так, что по ней можно изучать предмет без преподавателя. Кроме курса алгебры и теории тригонометрических функций, в книге изложены сведения о производной, дифференциале, интеграле, элементарной теории множеств, позиционной системе счисления, даны расширение понятия числа и краткие сведения о возникновении и развитии математических наук. Имеются примеры и задачи как решенные, так и предназначенные для упражнений. Настоящее третье издание дополнено начальными сведениями из теории вероятностей.
ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящее третье издание, по сравнению с предыдущим, внесены следующие изменения.
Переработаны: введение — «Учащимся о математике» и тема «Что такое алгебра». Первые приложения преобразований к решению задач перенесены несколько вперед. Расширено понятие пропорциональности (прямой и обратной). Показана идея деления многочленов методом неопределенных коэффициентов. Глава «Обратные тригонометрические функции» дополнена темой «Взаимно обратные функции и связь между их графиками». Показано, как с помощью неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим легко решаются многие трудные задачи.
Включена новая глава — «Начальные сведения из теории вероятностей». Начала анализа дополнены техникой дифференцирования сложных функций и применением интегрирования к вычислению объемов. Несколько расширены применения производной к исследованию функций на экстремум и построению их графиков. Несколько дополнены сведения о мощности бесконечных множеств. Включены новые задачи, предназначенные усилить интерес учащихся к математике.
Исключен раздел «Об аксиоматическом методе в математике».
При написании темы «Начальные сведения из теории вероятностей» автор пользовался советами и материалами, предоставленными доцентом В, Е. Гмурманом, за что автор приносит ему искреннюю благодарность.
Автор
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.........
Учащимся о математике.
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Глава I. Положительные и отрицательные числа
§ 1. Возникновение положительных и отрицательных чисел........ 2
§ 2. Числовая ось . . .-................................ 2
§ 3. Противоположные числа............................ 2
§ 4. Абсолютная величина числа......................... —
§ 5. Сложение положительных и отрицательных чисел........... 3
§ 6. Вычитание..................................... 3
§ 7. Умножение.................................... 3
§ 8. Деление...................................... 4
§ 9. Особенности чисел 0 и 1........................... 4
§ 10. Понятие «больше> и «меньше» применительно к положительным и
отрицательным числам............................. 4
Упражнения.................................• • 4
Глава II. Алгебраические выражения и формулы
§ 1. Употребление букв для обозначения чисел................ А
§ 2. Степень....................................... *
§ 3. Коэффициент................................... J
§ 4. Алгебраическое выражение и его числовое значение......... Ъ
§ 5. Допустимые значения букв.......................... |
§ 6. Краткое название и полная словесная формулировка алгебраи- .-
§ ческого выражения..............................t '
§ 7. Алгебраическая сумма............................. *
§ 8. Одночлены и многочлены........................... *
§ 9. Формулы .... ................................ <
§ 10. Предложения, связанные с понятием абсолютной величины..... I
Упражнения..............................• • • • • ^
Глава III. Действия над алгебраическими выражениями и правил* простейших преобразований
§ 1. Понятие о действиях над алгебраическими (буквенными) выраже- /
ниями ....................................... 1
§ 2. Понятие о преобразовании алгебраического выражения.......• j
§ 3. Подобные одночлены и их приведение.................А &<
§ 4. Сложение, вычитание и умножение одночленов............•> * _
§ 5. Сложение, вычитание и умножение многочленов. ..........« <
§ 6. Раскрытие скобок и заключение в скобки...............,г>*
§ 7. Преобразование квадрата суммы и квадрата разности.......^Л
§ 8. Решение задач с помощью преобразований..............W «
Упражнения..................................#* J
§ 9. Простейший способ решения уравнений................№ёт
Упражнения...................•............."A3
t.r'
Глава IV. Последующие правила преобразований и понятие л, о тождестве '"»
§ 1. Действия над степенями..................
§ 2. Основные формулы умножения..........• • • •
§ 3. Тождества и тождественные преобразования.....• • •.....ч
§ 4. Деление степеней и одночленов................
в 5. Наибольший общий делитель........................*
ЛЧ
856 ; ^
§ 6. Деление многочлена на одночлен...................... 106
§ 7. Разложение многочлена на множители.................. 107
Упражнения................................... 112
Глава V. Алгебраические дроби
§ 1. Первоначальные понятия и положения.................. 114
§ 2. Наименьшее общее кратное.....-.................... 117
§ 3. Сложение и вычитание дробей........-............... 119
§ 4. Умножение и деление дробей. . ........ .............. 123
§ 5. Упрощение дроби, числитель и знаменатель которой являются
алгебраическими суммами дробей ..................... 124
§ 6. Общее преобразование рациональных выражений........... 125
§ 7. О символах а° и а~п . .'..........,................ 126
Упражнения............'........ v.............. 128
Глава VI. Пропорции. Ряд равных отношений.
§ 1. Пропорции.................................... 131
§ 2. Производные пропорции............................ 132
§ 3. Определение неизвестного члена пропорции............... 134
§ 4. Ряд равных отношений............................. 135
, . Упражнения................................... 136
Глава VII. Прямая и обратная пропорциональность
§ 1. Прямая пропорциональность......................... 137
§ 2. Обратная пропорциональность........................ 140
§ 3. Пропорциональное деление.......................... 142
Упражнения................................... 143
^ § 4. Пропорциональность квадрату или кубу................. —
Упражнения................................... 144
Глава VIII. Начала теории уравнений
§ 1. Уравнение как математическое выражение условия задачи..... 146
§ 2. Общие понятия. ................................ 147
§ 3. Классификация уравнений........................... 150
§ 4. Равносильные уравнения........................... 152
Упражнения................................... 158
Глава IX. Решение уравнений первой степени с одним неизвестным
§ 1. Показ на примерах............................... 159
§ 2. Правило решения уравнений первой степени с одним неизвестным 162
§ 3. Особые случаи уравнений с числовыми коэффициентами...... 163
§ 4. Дробные уравнения.............................. 164
§ 5. Уравнения, у которых правая часть есть нуль, а левая — произведение выражений, зависящих от неизвестного ....•>........ 167
§ 6. Уравнения, у которых левая и правая части представляют собой
произведения, имеющие общий множитель, зависящий от неизвест- 167
ного........................................
Упражнения................................... 168
Глава X. Системы линейных уравнений § 1. Система уравнений как • математическое выражение нескольких
f условий задачи.................................. 170
' § 2. .Одно уравнение с двумя неизвестными................. 173
f § 3. Одно уравнение с тремя неизвестными.............. , . . . 174
л& § 4. 'Способы решения линейной системы двух уравнений с двумя не-
$ "ЧЙвестными, заданной в нормальной форме............... 175
';Ч § 5. Дополнение к вопросу о решении системы......; ........ 178
' Ч'
-••• 857
§ 6. Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными, ';
заданной в нормальной форме........................ 179
§ 7. Системы уравнений, решение которых . удобно выполнить с помощью искусственных приемов....................... 180
§ 8. Решение системы двух линейных уравнений с помощью определителей......................................... 184
§ 9. Решение системы трех линейных уравнений с помощью определителей........................................ 181
Упражнения................................... 189
Г лам XI. Решение задач при помощи уравнений
§ 1. Общие сведения...................... ............ 191
§ 2. Решение задач при помощи одного уравнения с одним неизвестным 194
§ 3. Решение задач при помощи систем уравнений.......:..... 196Г
§ 4. Дополнительные задачи на составление уравнений........... 197
Упражнения................................... 203
Глава XII. Арифметический квадратный корень и несоизмеримые отрезки
§ 1. Арифметический квадратный корень......_............... 205
§ 2. Теорема о квадратном корне из двух.....'.............. 212
§ 3. Несоизмеримые отрезки........,................... 213
§ 4. Теорема о существовании несоизмеримых отрезков.......... 2(4
§ 5. О длине отрезка, несоизмеримого с отрезком, принятым за единицу
длины....................................... 215
Глава XIH. Рациональные числа и их основные свойства
§ 1. Некоторые предварительные замечания..................217
§, 2. Рациональная числовая область........................218
§ 3. Конечные и бесконечные десятичные дроби...........,,... —
§ 4. О возможности изображения всякого рационального числа в. виде
бесконечной десятичной дроби. .*.................... 219
§ 5. Основная теорема о рациональных числах................ — *
§ 6. Рациональные точки числовой оси..................... 220&
Глава XIV. Иррациональные числа и их основные свойства § 1. О необходимости расширения рациональной числовой области. . . 221 § 2. Существование на числовой оси точек, не являющихся рациональными . .......................................222
§ 3. Понятие об иррациональном числе....................223
§ 4. Сравнение иррациональных чисел..................... 229
§ 5. Сложение и умножение иррациональных чисел........... . .. 230
Упражнения...................................233.
Глава XV. Арифметические корни и действия над ними
§ 1. Первоначальные сведения о корнях....................-„ 234
§ 2. Основное свойство арифметического корня. ..............«36
§ 3. Действия над арифметическими корнями......,...'.......238
§ 4. Некоторые важные преобразования....................24$
§ 5. Нормальный вид корня...........................\ 243
§ 6. Подобные корни и их приведение..................... 244
§ 7. Преобразование сложного корня....................» . -24$,
§ 8. О возможности нахождения арифметического корня с любой степенью точности................................. 240
Упражнения.............,....................>f+ 24ft
Глава XVI. Квадратные уравнения '
§ 1. Возникновение квадратного уравнения из практической задачи. .*?. 253 § 2. Полные и неполные квадратные уравнения.............«% 255
§ 3. Приведенное квадратное уравнение . ................... 257
§ 4. Вывод формулы корней общего квадратного .уравнения. . ..... 260
§ 5. Примеры задач, приводимых к квадратному уравнению ....... 263
§ 6. 'Выделение полного квадрата из мьогочлена 2-й степени ....... 267
§ 7.- Свойства корней квадратного уравнения .......... ....... 269
§ 8. 'Корень многочлена ............................... 270
§ 9. Разложение на множители многочлена ах* -\- Ьх + с ....... ... 271
§ 10. Составление квадратного уравнения по его корням .......... 272
§ 11. Условие, при котором трехчлен представляет точный квадрат ли-
нейной функции ................................. 273
§ 12. Наименьшее или наибольшее значение квадратной функции ..... —
§ 13. Понятие о кратных корнях .................. ........ 274
Упражнения ......................... .......... 275
Глава XVII. Уравнения с числовыми коэффициентами, приводимые к квадратным
§ 1. Биквадратное уравнение ....... . ..... ............... 277
§ 2. Уравнения, являющиеся квадратными относительно выражения,
содержащего неизвестное ......... . ................. 278
§ 3. Возвратные уравнения 3-й и 4-й степени .............. ... 279
Упражнения ............ ........................ 281
Глава XVIII. Иррациональные уравнения
§ 1. Основные сведения .................. .... ......... 282
§ 2. Иррациональные уравнения, содержащие один радикал ........ 284
§ 3. Уравнения, содержащие два квадратных радикала ........... 285
§ 4. Искусственные приемы решения иррациональных уравнений .... 286
§ 5. Способ решения иррационального уравнения с помощью системы
рациональных уравнений ...... ...... ............ ... 288
Упражнения ..... .............................. 290
Глава XIX. Функции и их графики
§ \. Переменные величины .... ..................... .... 291
§ 2. Функция одного аргумента ........... ........... .... 292
§ 3. Графическое изображение функции одного аргумента ......... 295
§ 4. Прямоугольная система координат на плоскости . . .......... 297
§ 5. Примеры построения графиков функций ...... ........... 300
§ 6. Графики функций у = ах, у = ах + Ъ ................... 306
§ 7. График функции у = — .......... ...... ......... .- . 307
§ 8. Уравнение равномерного движения ................. . . . . 308
§ 9, График равномерного движения ............... ....... 309
§ 10. График движения поездов ............... ....... .... 310
§ 11. График многочлена 2-й степени .................. ..... 312
§ 12. Способы задания функции ............... ......... . . 316
§ 13. Функциональный знак ............................. 319
§ 14. Понятие о четных и нечетных функциях . ...... ....... ... — •*•
§ 15. .Понятие о промежутках .возрастания и убывания функции одного
.аргумента ......... ..... .......... . . . ..... ..... 321
§ 18. Дополнительное разъяснение о способах задания функций ..... 323
§ 17. Графический способ' отыскания- приближенных значений корней
уравнения .............. ....................... 327
§ 18.'Лонятие о геометрическом образе уравнения ............ . . 329
§ 19. |"еометрическое истолкование решения системы двух линейных
равнений с двумя неизвестными. ....... ............ . . 331
• -Упражнения ........... ............... ..... ...... 332
Глава XX. Алгебраический и графический способы решения системы уравнений выше первой степени
§ 1. Общие замечания................................ 333
§ 2. Решения системы двух уравнений с двумя неизвестными, содержащей одно уравнение первой степени и одно — второй степени. . . 334 ' § 3. Системы двух уравнений, в которых оба уравнения второй степени 336
§ 4. Графический способ решения систем уравнений с двумя неизвестными........................................340
§ 5. Отыскание точек пересечения простейших линий алгебраическим
способом......................'...............344
§ 6. Системы трех уравнений с тремя неизвестными............351
Упражнения...................................355
ЧАСТЬВТОРАЯ 1 Глава XXI. Неравенства
§ 1. Основные положения............................. 357i
§ 2. Доказательство неравенств.......................... 359;
§ 3. Неравенства с одним неизвестным..................... 363!
§ 4. Решение неравенств первой степени с одним неизвестным..... 364ri
§ 5. Решение систем неравенств первой степени........-....... 3651
-§ 6. Решение неравенств второй степени.................... 369'
§ 7. Примеры на неравенства 2-й степени................... 374|
Упражнения.................................... 377 J
Глава XXII. Пределы •';!
§ 1. Задачи, приводящие к возникновению понятия предела....... 380J
§ 2. Определение понятия предела........................ 386*|
§ 3. Различные типы стремления к пределу.................. 388;|
§ 4. Признак Вейерштрасса........................» . ... 389i|
§ 5. Бесконечно малые...........................; . , . . 39Ij
§ 6, Свойства бесконечно малых ....................... -40**
§ 7. Свойства пределов ............................... иаищ
§ & Бесконечно большие.............................. 39$!
§ 9. Примеры вычисления пределов......................
§ 10. Теоремы о Ига А" при А > 1 и lim qn при | q \ < 1.....
я-» + оо л-» + °° ::j
Упражнения...................................401f
Глава'XXIII. Последовательности
§ 1. Примеры и определения............................•»
§ 2. Арифметическая прогрессия . . -; . . . . ;.................4<
§ 3. Геометрическая прогрессия..........д...............
§ 4. Понятие предела последовательности чисел...............-,1Ч-
Упражнения..................................• 4И|
Глава XXIV. Ряды сходящиеся и расходящиеся § 1, Задачи, приводящие к возникновению понятия ряда ...*..,.. ,i 41?':
§ 2. Понятие ряда.................•................ - ЧЩ
§ 3. Примеры вычисления сумм сходящихся рядов ...'........., 4|9]
§ 4. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма. . 4! § 5. Примеры расходящихся рядов...................... . • .4W
Упражнения.................................. 1 '-,rrf|
' . ' " ' '• i-4v:i-V;
Глава XXV- Обобщенная степень, показательная :^;
функция и показательные уравнения • '.;.,
§ 1. Обобщенная степень............................ -.*•,«-.42р
§ 2. Измерение одночлена и однородные многочлены........... <, $?li
860 ,';
§ 3. Показательная функция ............................42!
§ 4. Показательные уравнения ..........................43i
Упражнения...................................43^
Глава XXVI. Логарифмы
§ 1. Понятие логарифма................................438
§ 2. Общие свойства логарифмов.........................442
§ 3. Основные теоремы............................... —
§ 4. Логарифмирование произведения, частного степени и корня ..... 444
§ 5. Практическое значение логарифмов.....,...............445
§ 6. Свойства десятичных логарифмов......................446
§ 7. Таблица четырехзначных десятичных логарифмов Брадиса......450
§ 8. Таблица четырехзначных антилогарифмов................453
§ 9. Примеры вычислений с помощью таблиц логарифмов.........454
§ 10. Переход от натуральных логарифмов к десятичным и обратный
переход..................................... . 455
§ 11. Некоторые употребительные формулы..................456
§ 12. Потенцирование..............(..................457
—-§ 13. Логарифмические уравнения......................... 458
§ 14. Графики логарифмических функций ......................463
Упражнения.................................• • 466
Глава XXVII. Тригонометрические функции произвольного угла и первые три группы основных формул
§ 1. Обобщение понятия угла...........................468
§ 2. Синус .......................................469
<5 3. Таблица значений sin а с точностью до 0,001 для углов 6т 1 до
89°..................... .... . . . . .... ........ 472
§ 4. Косинус.............•..................'.-...... 474
§ 5. Тангенс......................................476
§ в. Функции углов 30°, 60° и 45°........................478
Упражнения................................... 479
§ 7. Радиашюе измерение углов.......................... —
§ 8. Тригонометрические функции отвлеченного числа .......• • • • 481
§• 9. Первые три группы формул ......................... 482
Упражнения...................................488
Глава XXVIII. Последующие группы основных тригонометрических формул
§ 1. Формулы сложения (четвертая группа).................. 490
§ 2. Формулы умножения (пятая группа).....-. . . . . . ... . .-;. . . . 495
§ 3. Формулы деления (шестая группа)......... . . . . . ...... . .497
§ 4. Формулы, выражающие тригонометрические функции угла через
тангенс половинного угла (седьмая группа)............... 499
§ 5, Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических
функций в произведение (восьмая группа)................. 500
§ 6. Формулы преобразования произведений тригонометрических функ-\ций (девятая группа)..............................501
• '^Упражнения.............. __ .'.....'..............507
$ 7*.Периодичность тригонометрических функций и их графики..... 509
§ ^Тригонометрические уравнения............. . . ........ . 512
§ &»О косекансе, секансе и котангенсе.....................527
§ щ Простое гармоническое колебание.....................528
-^Упражнения........... . . . ....'... ...............533
- 4 Глава XXIX. Обратные тригонометрические функции
§" l/'Общее определение.............................. 534
§ ЗДСвойства однозначных обратных тригонометрических функций. . . 535
*
Цена: 300руб.
