П 64 Конкурсные задачи по математике. Справ, пособие -*-'"СТОЛЕТИЕ", 1995—544 с., илл". .•
В большинстве задач письменных вступительных экзаменов в вузы предлагается решить уравнения, неравенства или системы уравнений. В этой книге систематезированы основные способы их решений. Основное внимание уделено мето- i дам решения уравнений и неравенств, систем уравнений. BJ сборнике 'Приведены задачи, предлагавшиеся на вступитель-] ных экзаменах в вузы вплоть до 1994 года.
Пособие рассчитано на учащихся, и учителей старших:] классов школ и лиц, готовящихся к вступительным экзаме-;| нам в вузы. Будет полезной учащимся подготовительных от-| делений вузов. j
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие....................................................................................... 8
Глава I. УРАВНЕНИЯ.................................,.............................. 9
§ 1. Основные определения. Простейшие уравнения .................. 10
1.1. Область допустимых значений-и корни уравнений......... 10
1.2. Корни простейших уравнений........................................ 12
1.3. Уравнение-следствие......................................».................. 14
1.4. Равносильные уравнения................................................. 16
1.5. Равносильность уравнений на множестве................... 17
1.6. Совокупность уравнений ................................................. 18
Упражнения ......................:..................................................."..... 20
§ 2. Равносильные преобразования уравнений............................. 26
2.1. Простейшие преобразования уравнений ....................... 26
2.2. Преобразования, связанные с применением тождественных равенств............................'......................................... 27
2.3. Решение алгебраических уравнений ............................... 28
2.4. Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям ........ 32
2.5. Преобразования, связанные с суперпозицией'функций ... 33 Упражнения...............................................................;............... . 36
§ 3. Равносильность уравнений на множестве............................ • 37
3.-1. Приведение подобных членов уравнения.................... 37
3.2. Освобождение уравнения от знаменателя................... 38
. 3.3. Тождественные преобразования уравнения на множестве...............................................;...........................;...... 39
а) Тождества с радикалами........................................... 39
б) Основное логарифмическое тождество ...............,..... 40
в) Тождества-с логарифмами ......„......,..............'........... 41
г) Приведение логарифмов к одному основанию.....'..... 43
3.4. Замена уравнения совокупностью уравнении ...„•........ 44
3.5. Сокращение уравнения на общий множитель........... 45
3.6. Возведение обеих частей уравнения а четную степень .... 46
3.7. Преобразования, связанные с логарифмированием уравнения ............................................................................
3.8. Преобразования, связанные с потенцированием уравнения ...................................................•.........................
3.9. Решение уравнений, содержащих абсолютную величину Упражнения .............................i................
4. Неравносильные преобразования уравнений.........................
А. Переход к следствию ..............'..........................................
4.1. Приведение подобных членов уравнения ....................
4.2. Освобождение от. знаменателя....................................;..
4.3. Возведение в степень.......................................................
4.4. Потенцирование уравнений.........................
4.5. Преобразования, связанные с „квадратными 4.6? Преобразования, ceir"»»"-
---.цпИивание уравнений
4.5. Преобразования, связанные с „квадратными корнями .... Преобразования, связанные с логарифмическими формулами.................................,.;.....................................
Б. Потеря решений уравнения ............................................
Упражнения ..........
§ 5. оно^^е,^
..............„................... (
-. ---..^лспяе на множители..................................,.......... (
5.2. Замена переменных ...............,.......................................... 6
5.3. Уравнения вида P(siax, cosx)=0 .................................. 6
а) Уравнения, в которые smx входит только в четных степенях.........................................................'..................... 6'
б) Уравнения, в Которых f(y, г)—однородный многочлен.................................................................................. б{
в) Уравнения вида P^sinx, cosx)=?>, в которых P(y,z)—однородный многочлен ................................... 69
5.4. Уравнения вида asinx+bcosx<=c, а&О, Ь 5.5. Равносильные преобразования уравнений с, применением тригонометрических формул ...........................;.... 72
- 5.6. Преобразования уравнений с применением тригонометрических формул, справедливых, на некотором множестве.............................................;..................................'.. 79
Упражнения................................................................................ 83
§ 6. Уравнения, предлагавпшеа* ял вступительных экзаменах
в вузы ..........."....................'...................,..-................................... 86
6.1. Решение уравнений с применением различных приемов 86
6:2. Уравнения с дополнительными условиями................. 92
6.3. Решение уравнений нестандартными способами ........ 98
4
6.4. Уравнения, содержащие неизвестную в основании логарифма.......................................................................... 106
6.5. Уравнения, содержащие неизвестную в основании
и показателе Степени.........................................................ПО
6.6. Уравнения с параметрами............................................., 114
Упражнения.................................................................................. 119
г'
Глава П. НЕРАВЕНСТВА .„....................................................... 138
| 1. Основные определения. Простейшие неравенства ............... 139
1.1. Область допустимых значений и множество решений, неравенства..............................................'........................... 139
1.2. Решение простейших неравенств ....-.......'......•.................. 140
1.3. Равносильность неравенств.............................................• 142
1.4. Системы неравенств......................................................... 144
1.5. Совокупность неравенств и систем неравенств ......,.. 145
Упражнения .......„...............................................•.............,Г........ 146
§ 2. Равносильные преобразования неравенств............................ 153
2.1. Алгебраические* неравенства первой степени ............ 153 -.
2.2. Простейшие преобразования неравенств .................... 154
2.3. Преобразования, связанные с применением тождественных равенств....................................:.......................... 156
2.4. Квадратные неравенства.....................,.......................... 157
2.5. Неравенства, сводящиеся к квадратным неравенствам 162
2.6. Метод интервалов ......,................................................... 163
2.7.' Обобщенный метод интервалов.................................."" 164
2.8. Рациональные неравенства............................................ 166
2.9. Нестрогие неравенства ..'................................................. 167
2.10. Системы неравенств....................................................... 169
Упражнения..............................................................;................ 170
3. Равносильность неравенств на множестве........................... 173
3.1. Приведение подобных членов ........'.............'................... 173
3.2. Разложение на множители *....„....................................... 173
3.3. Освобождение от знаменателя ................................,...... 176
3.4. Сокращение на общий множитель............................... 180
3.5. Возведение в степень....................................................... 182
3.6. Потенцирование неравенств ......;..................................... 188
3.7. Логарифмирование неравенств....................................... 193
3.8. Решение неравенств г-,-.,..----
197 ч
§ 4. Неравенств*, предлагавшиеся на вступительных экзаменах
в тузы .:...................................................v.............;............:...... 199
4.1. Решение неравенств с применением различных приемов 199
4.2. Неравенства с дополнительными условиями .............. 208
4.3-. Решение неравенств нестандартными способами....... 210
4.4. Неравенства, содержащие неизвестную- в основании логарифма................................;......................,.................. 213 .
4.5. Неравенства, содержащие неизвестную в основании
и показателе степени................:...................................... 216
4.6. Неравенства с параметрами ........................................... 219
Упражнения ..............................._..;...........................,....„......~ 228
Глава Ш. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ..„................................. 242
§ 1. Алгебраические свстемы уравнений....................................... 242
.1. Основные определения ........;............................................ 242
.2. Система двух уравнений первой степени................... 245
.3. Метод подстановки ........................................................„ 248
.4. Линейные преобразования систем ...............................,. 249
.5. Метод разложения на множители................................ 251
.6. Использование однородности одного из уравнений . 253
.7. Симметрические системы уравнений............................ 256
.8. • Рациональные системы уравнений..............................:. 257
.9. Геометрическая интерпретация алгебраического
уравнения ...........................;................................................ 261
Упражнения ••........'...............--;.........................................„...... 269
§ 2. Неалгебраическне свстемы уравнений..........__.................. 274
2.1. Метод подстановки.......................~.........__.___......... 274
2.2. Введение новых неизвестных.......................,...............Г.. 275
2.3. Переход к следствию....................................................... 277
2.4. Рассуждения с- числовыми значениями ........................ 279
Упражнения............................................................................... 285
§ 3. Тригонометрические системы уравнений ......,........................ 288
3.1. Метод подстановки .............."............................................ 289
3.2. Введение новых неизвестных.......................................... .290
3.3. Рассуждения с числовыми значениями........................ 293
Упражнения............................................................................... 295,
§ 4. Системы уравнений, решаемые нестандартными методами .... 297
4.1. Системы уравнений, в которых неизвестных больше,
чем уравнений .:................................................................. 297
4.2. Использование неравенств при решении систем уравнений ...............„.,......................................................... 302
4 3 .Системы уравнений с дополнительными условиями...:................'304
4.4. Системы уравнений с параметрами..................................'.......,.... 307
Упражнения................'•..........................................••••••.......-................311
§ 5. Текстовые задачи...............................................................................322
5.1. Задачи »на движение»....................................................................323
5.2. Задачи «на работу»...................-..................................................... 325
5.3. Задачи «на проценты».......................—.........---..........---....330
5.4. Задачи «на смеси» и «на сплавы»................—......„.........._.......331
5.5. Задачи с целыми неизвестными............................,.......................333
Упражнения.:.........:...-....................................................................v... 337
Ответы, указания, решения.......,.............................................................342
Глава IV. ОБРАЗЦЫ ВАРИАНТОВ ПИСЬМЕННЫХ РАБОТ.
ПРЕДЛАГАВШИХСЯ НА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНАХ
В МГУ В 1992—94 ГОДАХ......................................................................479
§ 1. Механико-математический факультет».....»..........„.................„..479
Вариант 1 (1992 г.), Вариант 2 (1993 г.), Вариант 3 (1994 г.)........... 479
§ 2. Факультет вычислительной математики и кибернетики.......... 481
Вариант 1 (1992 г.), Вариант 2 (1993 г.), Вариант 3 (1994 г.)...........481
§ 3. Физический факультет............„......................................................484
Вариант 1 (1992 г.), Вариант 2 (1993 г.), Вариант 3 (1994 г.).:......... 484 '
§ 4. Химический факультет....................................................................486
Вариант 1 (1992 г.), Вариант 2 (1993 г.), Вариант 3 (1994 г.).,.........486
§ 5. Биологический факультет.................................-........'...................... 488
Вариант 1 (1992 г.), Вариант 2 (1993 г.'), Вариант 3 (1994 г.)...........488
§ 6. Факультет почвоведения.................................................................490
Вариант 1(1992 г.), Вариант 2 (1993 г.), Вариант 3 (1994 г.)......,:....490
§ 7. Географический факультет..............................................................493
Вариант 1 (1992 г.), Вариант 2 (1993 г.), Вариант 3 (1994 г.)........... 492
§ 8. Геологический факультет.......................„.........:..............................494
Вариант 1 (1992 г.), Вариант 2 (1993 г.), Вариант 3 (1994 г.)........... 494
§ 9. Экономический факультет......................................:......................497
Вариант 1 (1992 г.), Вариант 2 (1993 г.), Вариант 3 (1994 г.),..........497
§ 10. Факультет психологии.........................................................'....'....'.. 499
Вариант 1 (1992 г.), Вариант 2 (1993 г.), Вариант 3 (1994 г.)...........499
§ Ц. Институт стран Азии и Африки..............л.................:..................501
-Вариант 1 (1992 г.), Вариант 2 (1993 г.), Вариант 3 (1994 г.)...........501
РАЗБОР НЕКОТОРЫХ ВАРИАНТОВ ПИСЬМЕННЫХ РАБОТ.......504
§1. Механико-математический факультет..........................................504
Решение варианта 3........................................................;....................504
§ 2. Экономический факультет..............................................................511
Решение варианта 2.............................................................................511
§ 3. Психологический факультет..........................................................518
• Решение варианта 1.........................................,.'..................................518
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ГЛАВЫ IV.........................................................526
§ 1. Механико-математический факультет..........................................526
Вариант 1, Вариант 2, Вариант 3 .......................................................526 .
§2. Факультет вычислительной математики и кибернетики..........527
Вариант 1, Вариант 2, Вариант 3...............................,...............„......527
§ ,3. Физический факультет....................................................................528
Вариант 1, Вариант 2, Вариант. 3 ...........................'............................528
§ 4. Химический факультет....................................................................529
Вариант 1, Вариант 2, Вариант 3.......................................................529
§ 5. Биологический факультет................................................................530
Вариант 1, Вариант 2, Вариант 3.......................................................530
§ в.'Факультет почвоведения......................................,..........................531
Вариант 1, Вариант 2, Вариант 3 ......,................................................531
§ 7. Географический факультет..................................„................../......533
Вариант 1, Вариант 2, Вариант 3......................................................'. 533
§ 8. Геологический факультет..............>...,.............................................534
Вариант 1, Вариант 2, Вариант 3.......................................................534
§ 9. Экономический факультет...........................,...................................535 .
Вариант 1, Вариант 2, Вариант 3 ...i.....................,.............................535
§ 10. Факультет психологии...................................................................536
Вариант 1, Вариант 2, Вариант 3.....................'...................................536
§ 11. Институт стран Азии и Африки.............,......................................537
Вариант 1, Вариант 2, Вариант 3 ......................................,......,......... 537
Цена: 150руб.
