Алгебра: Пособие для самообразования. — 2-е изд., перераб. и доп. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. - 416 с.: ил.
ISBN S-02-014340-5.
Содержание книги соответствует программе по алгебре для 7-9-х классов средней школы. При подготовке второго издания (1-е изд. - 1984 г.) книга подверглась существенной переработке. В связи с изменением школьной программы по математике добавлен ряд тем: производные линейной и квадратичной функций, показательная и логарифмическая функции, десятичные логарифмы, тригонометрические формулы, начала программирования. Упрощено и улучшено изложение ряда разделов. К каждой главе добавлены исторические сведения.
Для поступающих в вузы и техникумы, а также для учителей.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .....
8
Глава 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА.......................... И
§ 1. Натуральные числа................................ 11
1. Простые и составные числа (11 ). 2. Степень числа (12). 3. Делители натурального числа (14).
§ 2. Дроби........................................ 16
1. Обыкновенные и конечные десятичные дроби (16). 2. Разложение обыкновенной дроби в конечную десятичную дробь (18). 3. Понятие периодической десятичной дроби (20). 4. Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби (23).
§ 3. Действительные числа.............................. 28
1. Рациональные числа (28), 2. Десятичные разложения рациональных чисел (30 ). 3. Понятие действительного числа (31). 4. Сравнение ЛеЙРТПЫТЛШ-ыптл, тпж«~~ *">-1\ <• "
_______„ ..,~*»» v.-**/- -г. сравнение действительных чисел (33). 5. Приближенные значения числа (34 ). 6. Свойства действительных чисел (37). 7. Числовые неравенства (38). 8. Длина отрезка (41), 9. Координатная ось (43 ). 10. Множества чисел (44). 4. Степень с целым показателем
................................. 46
1. Степень с натуральным показателем (46). 2. Понятие
степени
___ ,.„7. —. **U4*11HV txicjicnn
с целым показателем (49). 3. Свойства степени с целым показателем (51). 4. Стандартный вид числа (54).
Исторические сведения ................................ 55
Глава 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ...................... 59
§ 5. Одночлены..................................... 59
1. Числовые выражения (59). 2. Буквенные выражения (60). 3. Понятие одночлена (62). 4. Произведение одночленов (63).
5. Стандартный вид одночлена ( 65 ). 6. Подобные одночлены (67).
§ 6. Многочлены.................................... 69
1. Понятие многочлена (69). 2. Свойства многочленов (70). 3. Многочлены стандартного вида (72). 4. Сумма и разность многочленов (74). 5. Произведение одночлена на многочлен (75).
6. Произведение многочленов (76). 7. Целые выражения (78). 8. Числовое значение целого выражения (79). 9. Тождественное равенство целых выражений (80).
§ 7. Формулы сокращенного умножения..................... 82
1. Квадрат суммы (82). 2. Квадрат разности ( 83 ). 3. Выделение полного квадрата (83). 4. Куб суммы (85). 5. Куб разности (85). 6. Разность квадратов (86). 7. Сумма кубов (86). 8. Разность кубов (87). 9. Применение формул сокращенного умножения (88). 10. Разложение многочлена на множители (89).
§ 8. Алгебраические дроби.............................. 92
1. Понятие алгебраической дроби (92). 2. Арифметические действия над алгебраическими дробями (94). 3. Свойства алгебраических дробей (97). 4. Способы упрощения действий над алгебраическими дробями (98). 5. Рациональные выражения (100). 6. Числовое значение рационального выражения (103). 7. Тождественное равенство рациональных выражений (105).
§ 9. Линейные уравнения с одним неизвестным................. 106
1. Уравнения первой степени с одним неизвестным (106). 2. Линейные уравнения с одним неизвестным (108). 3. Решение линейных уравнений с одним неизвестным (111). 4. Решение задач с помощью линейных уравнений (112).
Исторические сведения ................................ 113
Глава 3. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ. КВАДРАТНЫЕ КОРНИ............ 116
§ 10. Понятие функции и ее графика........................ 116
1. Декартова система координат на плоскости (116). 2. Понятие функции (119). 3. Понятие графика функции (122). 4. График функции .у =х (123).
§11. Функция у=х' .................................. 125
1. Основные свойства функции у = х' (125). 2. График функции у*хг (127). 1
§ 12. Функция^ =—.................................. 129
X
1. Основные свойства функции у = — (129). 2. График функции
У=- (131). х
§ 13. Квадратные корни................................ 135
1. Понятие квадратного корня (135). 2. Арифметический квадратный корень (137). 3. Квадратный корень из натурального числа (138). 4. Приближенное вычисление квадратных корней (139). 5. Свойства арифметрических квадратных корней (141).
Исторические сведения.................................. 143
Глава 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ РАЦИОНАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ................................ 145
§ 14. Квадратные уравнения.............................. 145
1. Квадратный трехчлен (145). 2. Понятие квадратного уравнения (148). 3. Неполные квадратные уравнения (149). 4. Решение общего квадратного уравнения (152). 5. Приведенное квадратное уравнение (155). 6. Теорема Виета (157). 7. Применение квадратных уравнений к решению задач (159), 8. Комплексные числа (160).
§ 15. Рациональные уравнения............................,. 163
1. Понятие рационального уравнения (163). 2. Биквадратное уравнение (164). 3. Уравнения, решение которых сводится к решению 4
квадратных уравнений (167). 4. Распадающиеся уравнения (169). 5. Уравнение, левая часть которого алгебраическая дробь, а правая равна нулю (171). 6. Рациональные уравнения (173). 7. Искусственный способ решения рациональных уравнений (176). 8. Задачи (178).
§ 16. Системы линейных уравнений......................... 180
1. Уравнение первой степени с двумя неизвестными (180). 2. Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными (182).
3. Способ подстановки (184) .4. Способ уравнивания коэффициентов (186). 5. Равносильность уравнений и систем уравнений (188). 6. Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными (192). 7. Задачи (195).
§ 17. Линейная функция и системы двух уравнений с двумя неизвестными. 197 1. Прямая пропорциональная зависимость (197). 2. График прямой пропорциональной зависимости (197). 3. Линейная функция (202).
4. Равномерное движение (205). 5. Графический способ решения системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными (206). 6. Исследование системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными (210).
§ 18. Системы рациональных уравнений....................... 214
1. Понятие системы рациональных уравнений (214). 2. Системы уравнений первой степени (216). 3. Решение,задач при помощи систем уравнений первой степени (219). 4. Системы уравнений первой и второй степеней (220). 5. Решение задач при помощи систем уравнений первой и второй степеней (223) . 6. Решение задач при помощи систем рациональных уравнений (225).
Исторические сведения................................. 230
Глава 5. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. НЕРАВЕНСТВА............ 233
§ 19. Квадратичная функция и ее график...................... 233
1. Функция у = ахг (233). 2. Парабола у = а (х - х„)г + у„ (237). 3. График квадратичной функции (240). 4. Способы построения графика квадратичной функции (242). 5. Пример движения тела в поле земного тяготения (243).
§ 20. Производные линейной и квадратичной функций............. 245
1. Мгновенная скорость (245). 2. Производные линейной и квадратичной функций (247). 3. Первообразная для линейной функции (250).
§ 21. Линейные неравенства с одним неизвестным................ 252
1. Неравенства первой степени (252). 2. Применение графиков к решению неравенств первой степени (253). 3. Линейные неравенства (256). 4. Системы линейных неравенств с одним неизвестным (258).
§ 22. Неравенства второй степени с одним неизвестным............. 260
1. Понятие неравенства второй степени с одним неизвестным (260).
2. Неравенства второй степени с положительным дискриминантом (262). 3. Неравенства второй степени с дискриминантом, равным нулю (265). 4. Неравенства второй степени с отрицательным дискриминантом (267). 5. Неравенства, сводящиеся к неравенствам второй степени (269).
§ 23. Рациональные неравенства............................ 272
1. Метод интервалов (272). 2. Решение рациональных неравенств (274). 3. Системы рациональных неравенств (276). 4. Нестрогие рациональные неравенства (278).
Исторические сведения.................................. 280
5
Глеев б. СТЕПЕНЬ ЧИСЛА................................. 282
§ 24. Степенные функции................................ 282
1. Некоторые свойства натуральных степеней (282). 2. Принцип полной индукции (284). 3. Функция у = хп (286). 4. График функ-
1 k
и.ш у = х" (288). 5. Функция у = — (290). 6. Функция у =- (292).
х" х
§ 25. Корень и-й степени................................ 294
1. Понятие корня л-й степени (294). 2. Корни четной и нечетной степеней (296). 3. Арифметический корень (299) .4. Свойства корней n-й степени (302). 5. Корень л-й степени из натурального числа (304). 6. Функция у = $х (306).
§ 26. Степень с рациональным показателем..................... 309
1. Понятие степени с рациональным показателем (309). 2. Свойства степени с рациональным показателем (310).
§ 27. Показательная и логарифмическая функции................ 315
1. Показательная функция (315). 2. Понятие степени положительного числа (318). 3. Логарифмы (319). 4. Функция у = log^ (322).
§ 28. Десятичные логарифмы............................. 325
1. Понятие десятичного логарифма (325). 2. Вычисление десятичных логарифмов на микрокалькуляторах (325). 3. Характеристика и мантисса десятичного логарифма (326). 4. Таблица десятичных логарифмов (328) .5. Логарифмическая линейка (330).
Исторические сведения.................................. 332
Глава 7. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ...... 334
§ 29. Арифметическая прогрессия.......................... 334
§ 30. Геометрическая прогрессия........................... 336
1. Свойства геометрической прогрессии (336). 2. Убывающая геометрическая прогрессия (338). 3. Задача (339). Исторические сведения.................................. 341
Глава 8. ТРИГОНОМЕТРИЯ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ....... 343
§ 31. Синус, косинус, тангенс и котангенс угла.................. 343
1. Понятие угла (343). 2. Определение синуса и косинуса угла (348). 3. Основные формулы для sin а и cosa (353). 4. Тангенс и котангенс угла (355).
§ 32. Формулы сложения................................ 359
1. Косинус разности и косинус суммы двух углов (359). 2. Формулы для дополнительных углов. Синус суммы и синус разности двух углов (362). 3. Сумма и разность синусов и косинусов (364). 4. Формулы для двойных и половинных углов (366).
Исторические сведения.................................. 369
Глава 9. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ....................... 370
§ 33. Приближения чисел................................ 370
1. Абсолютная величина числа (370). 2. Абсолютная погрешность приближения (372). 3. Относительная погрешность приближения (375). 4. Приближения суммы, разности, произведения и частного двух чисел (378). 5. Микрокалькуляторы (380).
§ 34. Оценки приближения суммы, разности, произведения и частного
чисел......................................... 381
1. Абсолютная погрешность приближения суммы и разности (381).
2. Приближение произведения (383). 3. Приближение частного (385).
§ 35. Двоичное счисление............ 3g?
1. Понятие двоичного счисления (387)', 2.' Перевод чисел из десятичной системы в двоичную (390). 3. Понятие о действиях в двоичной системе счисления (393). «-тии
§ 36. Начала программирования....... ,„,
ммЭ«еКТК5мЩ?^е^ВЬ7С|!1ИТеЛКНЫе Машины &*>'• '2- Ввод програм^ мы в JbM (397). 3. Что происходит в ЭВМ? (400). 4. Условные команды (4U2). Исторические сведения. .
............................... 404
406
ПРЕДИСЛОВИЕ
Авторы думают, что данная книга будет полезна для самообразования. Она может быть также учебным пособием для школьников, лиц, готовящихся к поступлению в вузы и техникумы, и учителей. Ее содержание соответствует программе 7—9-х классов средней школы.
Весьма трудным вопросом с методической точки зрения является изложение эволюции понятия числа. Каким образом и когда должно вводиться понятие действительного числа?
Все согласны, что действительное число надо вводить как десятичную дробь, вообще говоря, бесконечную. Но на какой стадии обучения это понятие должно быть введено и каким образом - здесь уже имеются разные точки зрения.
Мы считаем, что чем раньше сказать, что действительное число есть бесконечная десятичная дробь, тем лучше, потому что при изучении математики рано приходится оперировать с длиной отрезка, числовой осью, системой координат, графиками, квадратными корнями. Разговоры об иррациональности и несоизмеримости с единицей значительно упрощаются, если у изучающего математику есть представление (пусть самое элементарное) о числе как бесконечной десятичной дроби.
С изложения этого вопроса мы и начинаем нашу книгу. Сначала напоминаем те сведения из арифметики, которые, надо полагать, уже знакомы и которые нам понадобятся. Дополняя эти сведения, получаем, что рациональное число представимо в виде десятичной периодической дроби и, обратно, любая периодическая дробь есть представление некоторого рационального числа.
Отметим, что нет необходимости при этом вводить понятие сходящегося ряда. Приводятся примеры непериодических дробей, которые и называются иррациональными числами.
Бесконечные десятичные дроби сравниваются так же, как конечные десятичные дроби. Что же касается арифметических действий над ними,
8
то здесь уже приходится обращаться к приближенным методам, тем более что надо изучать элементы приближенных вычислений.
Понятия многочлена, в частности многочлена стандартного вида, и ненулевого многочлена вводятся, как обычно. Однако мы придерживаемся алгебраической точки зрения: буквы у нас не обязательно числа, обозначенные буквами. Методическая выгода этой точки зрения сказывается в особенности при рассмотрении алгебраических дробей. Алгебраическая дробь определяется как отношение одного многочлена к другому, отличному от нулевого. Перечисляются правила, которым подчиняются многочлены и алгебраические дроби. В частности, одно из правил гласит, что алгебраическую дробь можно сокращать на ненулевой многочлен.
а2~Ь2
Например, выражение ----- есть алгебраическая дробь, потому что
а — b
его числитель и знаменатель - многочлены и при этом а - b есть ненулевой многочлен. 2 .2
а —о
Эту дробь можно сократить на ненулевой многочлен а — Ь: ----- =
(а -Ь)(а + Ь) а + Ь , „ . к "~Ь
= -------- = --- = а + Ь. На этой стадии объясняется также, что
а-Ъ 1
если вместо букв в подобных алгебраических равенствах подставить числа, то получатся верные числовые равенства, если только их части (правая и левая) имеют смысл. К этой теме мы еще возвратимся, когда придется решать уравнения.
Длина отрезка определяется как число а = a0^ia2a3«4 • • • , где а0 -длина его с точностью до 1 с недостатком; a0,ui — длина его с точностью до 0,1 с недостатком; a0,aia2 - длина его с точностью до 0,01 с недостатком и т.д. Мы только формулируе/;, но не считаем возможным объяснить, почему надо считать, что и, обратно, всякое число a0» «ia2 ... есть длина некоторого отрезка.
Большое внимание уделяется графикам, особенно графикам линейной функции и функции у = х2. Ведь с помощью графиков линейной функции решаются уравнения и системы уравнений первой степени, а график у = х2 помогает понять, почему корней квадратных из положительного числа два — один положительный, а другой отрицательный.
Чтобы убедиться в существовании указанных квадратных корней из положительного числа у, появляется необходимость объяснить, почему 'рафик функции у = х2 есть непрерывная кривая.
Приходится, таким образом, говорить о переменных, стремящихся к нулю, и их свойствах. Но этот разговор носит чисто описательный, интуитивный характер.
Мы вводим также понятие производной и первообразной для много-"лена. Это полезно при изучении равноускоренного движения на уроках физики в 9 классе.
Цена: 150руб.
