Алгебра: Пособие для самообразования.— М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы 1984— 288 с. '
Содержание книги соответствует программе по алгебре для 6-8 классов средней школы.
Для школьников, лиц, готовящихся к поступлению в вузы и техникумы. Особенно полезной книга может быть для учителей как возможный вариант построения курса алгебры в о—8 классах средней школы .
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие...............•......
Глава 1. Натуральные числа................ 9
§ 1. Простые и составные числа................ 9
§ 2. Степень числа.................... '"
§ 3. Делители натуралмюго. числа............... II
Г л а в а 2. Дроби.................... '2
$ I. Обыкновенные и конечные десятичные дроби.......... 12
§ 2. Разложение обыкновенной дробя в конечную десятичную дробь ... 14
§ 3. Понятие периодической десятичной дроби........... 16
§ 4. Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби .... 19
Г л я па 3. Действительные числа............... 22
§ 1. Рациональные числа................... 22
§ 2. Непериодические бесконечные десятичные дроби. Иррациональные
числа....................... 23
§ 3. Сравнение действительных чисел.............. 26
§ 4. Приближенные значении чисел............... 27
§ 5. Свойства действительных чисел.............. 29
§ 6. Числовые неравенства.................. 30
§ 7. Длина отрезка.................... 33
§ 8. Числовая прямая. Координатная ось............. 36
§ 9. Отрезок. Интервал................... 38
Г л а в а 4. Степень с целым показателем............ 39
§ 1. Степень с натуральным показателем............. 39
§ 2. Понятие степени с целым показателем............ 41
§ 3. Свойства степени с целым показателем............ 44
Глава 5. Одночлены................... 40
§ 1. Числовые выражения.................. 46
§ 2. Буквенные выраи;ен;>я................. 48
§ 3. Понятие одночлена................... 50
§ 4. Произведение одночленов................ 51
$ 5. Свойства одночленов.................. 52
S 6. Стандартный вид одночлена............... 54
§ 7. Подобные одночлены.................. 56
Глава 6. Многочлены.................. 53
§ !. Понятие многочле:;.'!.................. 58
§ 2. Свойства многочлене'».................. 59
§ 3. Многочлен стандартного вида............... 60
§ 4. Сумма и разность многочленов............... 62
§ 5. Произведение одночлена нл многочлен............ 63
§ 6. Произведение многочленов................ gg
§ 7. Целые выражения................... 67
§ 8. Числовое значение целого выражения............ 68
§ 9. Тождественное равенство целых выражений.......... 69
Глава 7. Формулы сокращенного умножения.......... 70
§ 1. Квадрат суммы.................... 70
§ 2. Квадрат разности................... 71
§ 3. Выделение полного квадрата............... 72
§ 4. Куб суммы...................... 73
§ 5. Куб разности..................... 74
§ 6. Разность квадратов.................. 74
§ 7. Сумма кубов..................... 75
§ 8. Разность кубов.................... 75
§ 9. Применение формул сокращенного умножения......... 75
§ 10. Разложение многочлена на множители........... 76
Глава 8. Алгебраические дроби............... 77
§ 1. Понятие алгебраической дроби.............. 77
§ 2. Арифметические действия над алгебраическими дробями...... 79
§ 3. Свойства алгебраических дробей.............. 81
§ 4. Рациональные выражения................ 83
§ 5. Числовое значение рационального выражения......... 84
§ 6. Тождественное равенство рациональных выражений....... 86
Г л а в а 9. Линейные уравнения с одним неизвестным........ 87
§ 1. Уравнения первой степени с одним неизвестным......... 87
§ 2. Линейные уравнения с одним неизвестным........... 89
§3. Решение линейных уравнений с одним неизвестным........ 92
§ 4. Решение задач с помощью линейных уравнений......... 94
Глава 10. Функция у=х2................. 95
§ 1. Декартова система координат на плоскости.......... 95
§ 2. Координатные углы. Координаты симметричных точек....... 97
§ 3. Понятие функции................... 99
§ 4. График функции у — х.................. 101
§ 5. Таблицы функции у=х2................. 102
§ 6. Непрерывность функции у = х2............... 104
§ 7. Свойства функции у = х2................. 106
§ 8. График функции у — х2................. 108
Глава 11. Квадратные корни................ ПО
§ 1. Понятие квадратного корня................ ПО
§ 2. Арифметический квадратный корень............. П2
§3. Квадратный корень из натурального числа........... 114
§ 4. Приближенное вычисление квадратных корней ......... 115
§ 5. Свойства арифметических квадратных корней......... 117
Глава 12. Квадратные уравнения.............. 119
§ 1. Понятие квадратного уравнения.............. 119
§ 2. Неполные квадратные уравнения.............. 120
§ 3. Решение общего квадратного уравнения........... 122
§ 4. Приведенное квадратное уравнение............. 126
§ 5. Применение квадратных уравнений к решению задач....... 127
Глава 13. Рациональные уравнения............. 129
§ I. Биквадратные уравнения................ 129
§ 2. Распадающиеся уравнения................ 131
§ 3. Простейшие рациональные уравнения............ 133
§ 4. Рациональные уравнения................ 135
§ 5. Задачи....................... 137
Глава 14. Системы линейных уравнений............ 139
§ "l. Линейное уран-тине с двумл неизвестными.......... 139
? 2 Система дв; \ линейных уравнений с диумя н::.,;-; .-.тиыми..... 14!
§ 3. Способ подстан'м-.кн................... 143
§ 4. Способ сложения................... 147
§ 5. Равносильность уравнений и систем уравнении......... 150
§ 6. Задачи . . Л.................... 151
Глава 15. Линейные функции............... 153
§ 1. График прямой пропорциональной зависимости......... 153
§ 2. Линейная функция................... 156
§ 3. Равномерное движение................. 158
§ 4. Графический способ решения системы линейных уравнений..... 160
§ 5. Исследование системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными ................. .... 162
Глава 16. Системы рациональных уравнений.......... 163
§ 1. Системы уравнений первой степени............. 163
§ 2. Решение задач при помощи систем уравнений первой степени .... [66
§ 3. Системы уравнений первой и второй степеней.......... 167
§ 4. Решение задач при помощи систем уравнении первой и второй степени ....................... 170
§ 5. Решение задач при помощи систем рациональных уравнений .... 172
Глава 17. Квадратный трехчлен............... 176
§ 1. Разложение квадратного трехчлена на множители........ 176
§ 2. Теорема Виета.................... 179
§ 3. Функция у = ах2 (а> 0)................. 181
§ 4. Функция у = ах~ (а=И=0)................. 183
§ 5. Функция y = a(x — x0'f + ya................. 184
§ 6. График квадратного трехчлена............. . 186
Глава 18. Производная многочлена............. 188
§ 1. Мгновенная скорость.................. 188
§ 2. Производная...................' . . 190
§ 3. Первообразная.................... 193
§ 4. Примеры из физики.................. 194
Глава 19. Линейные неравенства с одним неизвестным....... 196
§ 1. Неравенства первой степени............... 19S
§ 2. Применение графиков к решению неравенств первой степени .... 198
§ 3. Линейные неравенства................. 199
§ 4. Системы линейных неравенств с одним неизвестным....... 202
Глава 20. Неравенства второй степени с одним неизвестным . . . . . 204
§ 1. Понятие неравенства второй степени с одним неизвестным..... 204
§ 2. Неравенства второй степени с положительным дискриминантом . . . 206
§ 3. Неравенства второй степени с дискриминантом, равным нулю .... 208
§ 4. Неравенства второй степени с отрицательным дискриминантом . . . 209
§ 5. Применение графиков к решению неравенств второй степени .... 211
Глава 21. Рациональные неравенства............. 214
§ 1. Метод интервалов................... 214
§ 2. Решение рациональных неравенств............. 216
§ 3. Системы рациональных неравенств............. 218
§ 4. Нестрогие рациональные неравенства ............ 219
Глава 22. Степенные функции............... 222
§ 1. Некоторые свойства натуральных степеней.......... 222
§ 2. Принцип полной индукции ................ 224
f 5 3. Свойства функций у = .\"................. 226
§ 1. Графики функции у = х'................. 227
Глава 23. Корень л-й степени ............... 229
§ 1. Понятие корня п-л степени............... 229
§ 2. Корень нечетной степени . . .... ......... 231
§ 3. Корень четной степени........ ......... 234
§ 4. Арифметический корень /г-й степени...... ...... 237
§ 5. Корень л-й степени из натурального числа . ......... 240
§ 6. Функции у = "\х.................... 242
Глава 24. Функция (/ = —:................. 244
§ 1. Свойства функции (/ = -•.... ............ 244
§ 2. График функции у = - ... .......... . . 246
§ 3. Функции у = -г,.................. 249
Глава 25. Арифметическая и геометрическая прогрессии ...... 251
§ 1. Арифметическая прогрессия............... 251
§ 2. Геометрическая прогрессия................ 253
§ 3. Задача....................... 255
Глава 26. Двоичное счисление................ "57
§ 1. Понятие двоичного счисления............... 257
§ 2. Перевод чисел из десятичной системы в двоичную........ 259
§ 3. Понятие о действиях в двоичном счислении.......... 261
Глава 27. Приближенные вычисления............ 263
§ 1. Абсолютная величина числа............... 263
§ 2. Приближенное равенство................ 265
§ 3. Абсолютная погрешность приближения........... 268
§ 4. Абсолютная погрешность приближения суммы нескольких слагаемых . 271
§ 5. Относительная погрешность приближения........... 273
§ 6. Приближение произведения................ 275
§ 7. Приближение частного................. 277
Ответы...................... 28°
ПРЕДИСЛОВИЕ
Авторы думают, что данная книга полезна длл самообразова ния, но она может быть также учебным пособием для школьников, лиц, готовящихся к поступлению в вузы, и учителей. Ее содержание соответствует программе 6—8 классов средней школы.
Весьма трудным вопросом с методической точки зрения является изложение эволюции понятия числа. Каким образом и когда должно вводиться понятие действительного числа?
Все согласны, что действительное число надо вводить как десятичную дробь, вообще говоря, бесконечную. Но на какой стадии обучения это понятие должно быть введено и как — здесь уже имеются разные точки зрения.
Мы считаем, что чем раньше сказать, что действительное число есть бесконечная десятичная дробь, тем лучше, потому что при изучении математики рано приходится опсрнров-ать .с длиной отрезка, числовой осью, системой координат, графиками, квадратными корнями. Разговоры об иррациональности и несоизмеримости с единицей значительно упрощаются, если у изучающего математику есть представление, пусть самое элементарное, о числе как бесконечной десятичной дроби.
С изложения этого вопроса мы и начинаем нашу книгу. Сначала мы напоминаем те сведения из арифметики, которые, надо полагать, уже знакомы читателю и которые нам НУЖНЫ. Дополняя эти сведения, получаем, что рациональное число представпмо в виде десятичной периодической дроби и, обратно, любая периодическая дробь есть представление некоторого рационального числа.
Отметим, что нет необходимости при этом вводить понятие сходящегося ряда. Приводятся примеры непериодические дробей, которые и называются иррациональными числами.
Бесконечные десятичные дроби сравниваются так же, как конечные десятичные дроби. Что же касается арифметических действий над ними, то здесь уже приходится обращаться к приближенным методам, тем более, что надо изучать элементы приближенных вычислений.
Понятие многочлена, в частности многочлена стандартного вида, и ненулевого многочлена вводится как обычно. Однако мы придерживаемся алгебраической точки зрения — буквы у нас не ооязательно числа, которые обозначены буквами. Методическая
Цена: 150руб.
