(9 Алгебра и начала анализа: 500 способов и методов решения задач по математике для школьников и поступающих в вузы. — М.: Дрофа, 2001. — 480 с.: ил. — (Большая библиотека «Дрофы»).
ISBN 5—7107—3539—6
Справочник является полезным руководством к теории и практике решения задач, помогающим школьнику понять основные разделы курса школьной математики, а также познакомиться с теми из них, которые рассматриваются на дополнительных факультативных занятиях и занятиях математических кружков.
Книга предназначена для учащихся 7—11 классов общеобразовательной школы, абитуриентов, учителей математики, репетиторов, студентов педагогических вузов и родителей учащихся.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий справочник предназначен для учащихся школ, абитуриентов, студентов педагогических вузов, начинающих учителей, а также для родителей, желающих помочь своим детям выполнить домашние задания по математике или разобраться в теоретическом материале. Книга содержит около 200 статей, в которых разобраны более 500 задач по всем разделам математики, изучаемым как в обычных общеобразовательных классах, так и в классах с углубленным изучением математики. Справочник поможет без помощи преподавателя организовать планомерное повторение материала — не только основных понятий и положений теории, но и основных приемов и методов решения задач. Язык книги и стиль изложения материала выбирались так, чтобы они были похожи на язык и стиль учителя, объясняющего новую тему на уроке в школе. В справочник включен также некоторый дополнительный материал, который по тем или иным причинам не содержится в школьных учебниках и руководствах по решению задач.
Справочник состоит из пяти разделов: «Алгебраические выражения и многочлены», «Уравнения, системы, совокупности», «Неравенства», «Функции и графики», «Элементы математического анализа» и приложений «Числовые последовательности» и «Прогрессии».
Каждый раздел содержит достаточно подробные статьи, которые посвящены конкретному математическому понятию, вынесенному в заголовок. Статьи внутри разделов расположены не в алфавитном порядке. При их расположении мы придерживались правила: «от простого— к более сложному», т.е. первые статьи разделов относятся к основным простейшим понятиям, а последующие — к более сложным. Это же. правило определило уровень изложения внутри статьи, который не остается постоянным. Начало большинства статей справочника содержит поясняющий и иллюстративный материал, затем приведена строгая формулировка понятия и разобраны основные типы задач, которые, по мере возможности, систематизированы по методам их решения. Для удобства • пользования справочник снабжен подробным предметным указателем. Наиболее важный материал отмечен в тексте точкой • или выделен курсивом. Особое внимание следует обратить на замечания, которые даны в виде практических советов.
Предлагаемый справочник не является учебником, не заменяет его, а служит полезным дополнением к школьным учебникам, руководством к теории и практике решения задач, помогающим, с точки зрения авторов, школьнику вспомнить, повторить, понять основные разделы курса школьной математики, а также позна-
Содержание
Предисловие ........................
РАЗДЕЛ 1
Алгебраические выражения и многочлены Алгебраические выражения •
1.1. Буквенное выражение................................... 5
1.2. Алгебраические выражения .............................. 10
1.3. Противоположные выражения. Обратные выражения ......... 10
1.4. Неалгебраические (трансцендентные) выражения............. 11
1.5. Тождество ...............................; I........... 12
1.6. Основные алгебраические формулы............ ,............ 12
1.7. Преобразования целых выражений......................... 16
1.8. Преобразование дробно-рациональных выражений............ 18
1.9. Преобразовавание иррациональных выражений.............. 19
1.10. Основные тригонометрические формулы................... 20
1.11. Преобразование тригонометрических выражений ............ 23
1.12. Логарифмирование ........................L............ 30
1.13. Преобразование выражений, содержащих логарифмы......... 32
Многочлены '
1.14. Одночлены........................................... 37
1.15. Степень одночлена..................................... 37
1.16. Стандартный вид одночлена............................. 38
1.17. Подобные одночлены................................... 38
1.18. Многочлены..............................4........... 38
1.19. Степень многочлена........................'.-........... 39
1.20. Стандартный вид многочлена............................ 39
1.21. Операции с многочленами............................... 40
1.22. Однородные многочлены................................ 41
1.23. Симметрические многочлены ............................ 43
1.24. Многочлены с одним неизвестным ........................ 44
1.25. Сложение и вычитание многочленов....................... 45
Содержание 473
1.26. Умножение многочленов................................ 46
1.27. Деление многочленов................................... 46
1.28. Деление многочленов с остатком.......................... 47
1.29. Деление многочленов «уголком».......................... 47
1.30. Деление многочленов методом неопределенных коэффициентов . 49
1.31. Наибольший общий делитель двух многочленов.............. 51
1.32. Взаимно простые многочлены............................ 52
1.33. Наименьшее общее кратное двух многочленов............... 53
1.34. Теорема Безу......................................... 54
1.35. Схема Горнера........................................ 55
1.36. Корни многочлена..................................... 59
1.37. Кратные корни многочлена.............................. 60
1.38. Разложение многочлена на множители..................... 61
1.39. Теорема Виета для квадратного трехчлена................... 62
1.40. Теорема, обратная теореме Виета.......................... 64
1.41. Теорема Виета для произвольного многочлена............... 66
1.42. Эскиз графика многочлена .............................. 67
РАЗДЕЛ 2
Уравнения, системы, совокупности Основные понятия и определения
2.1. Числовые равенства..................................... 69
2.2. Уравнения............................................ 70
2.3. Корень уравнения...................................... 70
2.4. Уравнения с параметрами................................ 71
2.5. Равносильные уравнения ................................ 72
2.6. Уравнение-следствие.................................... 73
2.7. Системы уравнений..................................... 74
2.8. Совокупности уравнений и систем уравнений................. 77
Методы решения уравнений и систем
2.9. Алгебраическое уравнение первой степени (линейное уравнение) . 78
2.10. График линейного уравнения с двумя переменными.......... 82
2.11. Алгебраическое уравнение второй степени (квадратное уравнение) 83
2.12. График уравнения второй степени с двумя переменными...... 86
2.13. Выделение полного квадрата из квадратного трехчлена ....... 88
2.14. Квадратные уравнения с двумя переменными ............... 92
2.15. Свойства корней квадратного трехчлена (квадратного уравнения) 94
2.16. Алгебраические уравнения высших степеней................ 98
2.17. Нахождение рациональных корней многочлена (уравнения) с рациональными коэффициентами............................. 98
2.18. Возвратные уравнения.................................. 103
2.19. Метод приведения к однородному уравнению................ 104
2.20. Использование монотонности функции..................... 105
2.21. Метод разложения на множители......................... 105
2.22. Уравнение вида (х - а)(х - Ь)(х - с)(х - d) = q ................ 107
2.23. Уравнение вида (х - а)(х - Ъ)(х - с)(х - d) = qx2............... 107
2.24. Уравнение вида (а^х2 + Ь±х + с1)(а2х2 + Ъ2х + с2) = qx2......... 109
2.25. Дробно-рациональные уравнения......................... 110
2.26. Уравнения, содержащие знак модуля...................... 113
2.27. Методы решения иррациональных уравнений............... 124
2.28. Уравнения и неравенства, связанные со степенной функцией ... 128
2.29. Показательные уравнения............................... 130
2.30. Логарифмические уравнения............................ 134
2.31. Тригонометрические уравнения.......................... 141
2.32. Уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции ........................... 160
2.33. Графический способ решения уравнений ................... 175
2.34. Неопределенное уравнение.............................. 176
2.35. Линейное уравнение в целых числах ...................... 177
Системы и совокупности уравнений
2.36. Системы линейных алгебраических уравнений .............. 184
Методы решения и исследования систем линейных алгебраических уравнений
2.37. Метод подстановки..................................... 185
2.38. Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса) 185
2.39. Систем двух линейных уравнений
с двумя неизвестными . . ................................ 187
2.40. Системы двух линейных уравнений с тремя неизвестными ..... 188
2.41. Основные методы решения нелинейных систем алгебраических уравнений........................................... 189
2.42. Системы иррациональных уравнений...................... 197
2.43. Системы тригонометрических уравнений................... 204
2.44. Системы показательных и логарифмических уравнений....... 210
2.45. Графический способ решения систем уравнений............. 217
Задачи на составление уравнений, неравенств и их систем
2.46. Часть числа.......................................... 219
2.47. Процент.................................'............ 221
2.48. Задачи на части и проценты ............................. 223
2.49. Пропорции........................................... 226
2.50. Прямо и обратно пропорциональные величины .............. 231
2.51. Задачи, связанные с прямой и обратно пропорциональными величинами.......................................... 234
2.52. Задачи на составление уравнений, неравенств и их систем..... 237
Содержание 475
РАЗДЕЛ 3
Неравенства Основные понятия и определения
3.1. Числовые неравенства................................... 248
3.2. Двойное неравенство.................................... 250
3.3. Неравенства с неременными.............................. 251
3.4. Равносильные неравенства............................... 252
3.5. Неравенство-следствие . . . ............................... 253
3.6. Системы неравенств с одним неизвестным ................... 254
3.7. Совокупности неравенств с одним неизвестным............... 255
3.8. Среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее
гармоническое, среднее квадратичное ..................... 256
Методы решения неравенств
3.9. Линейные неравенства .................................. 260
3.10. Дробно-рациональные неравенства. Метод интервалов........ 261
3.11. Квадратные неравенства................................ 269
3.12. Решение квадратных неравенств графически................ 270
3.13. Неравенства с двумя переменными........................ 272
3.14. Неравенства, содержащие знак модуля^.................... 274
3.15. Методы решения иррациональных неравенств............... 276
3.16. Показательные неравенства . ............................ 281
3.17. Логарифмические неравенства........................... 287
3.18. Тригонометрические неравенства......................... 295
РАЗДЕЛ 4
Функции и графики
4.1. Переменные и постоянные величины....................... 301
4.2. Числовая функция .....,............................... 302
4.3. Способы задания функций ............................... 303
4.4. График функции....................................... 308
4.5. Операции над функциями................................ 309
4.6. Обратная функция...................................... 312
4.7. Монотонные и немонотонные функции...................... 316
4.8. Четные и нечетные функции.............................. 319
4.9. Периодические и непериодические функции................. 321
4.10. Основные элементарные функции. Класс элементарных функций 325
4.11. График и свойства линейной функции..................... 326
4.12. График квадратичной функции .......................... 327
п
4.13. Свойства квадратичной функции у = ах + Ьх + с, а * 0........ 329
4.14. График и свойства дробно-линейной функции ............... 329
Цена: 150руб.
