ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга написана для учащихся, желающих углубить и несколько расширить свои знания, с тем чтобы лучше подготовиться к вступительным экзаменам в вузы. Она может помочь и тем, кто уже окончил школу, но продолжает изучать математику самостоятельно или на подготовительных курсах и отделениях. Авторы надеются, что учителя средних школ, преподаватели профтехучилищ и техникумов, руководители математических кружков и студенты педагогических вузов найдут в книге материал, который смогут использовать в своей работе. Наконец, книга может представлять интерес как сборник, содержащий более 2000 задач, из которых треть задач приведены с решениями. Значительная часть задач предлагалась на вступительных экзаменах в различных вузах.
Книга написана в соответствии с программой по математике для средних школ, и в ней используются терминология и обозначения, принятые сейчас в школе. Пособие не содержит систематического изложения школьного курса математики и не может заменить школьные учебники. Тем не менее все основные и важные, по мнению авторов, вопросы освещены достаточно подробно. В некоторых случаях добавлен материал, несколько выходящий за рамки ныне действующей программы для поступающих в вузы. Авторы считают, что изучение этого материала будет способствовать развитию математической культуры учащихся, а также принесет пользу при дальнейшем обучении в вузах.
Книга состоит из 17 глав. Каждая глава содержит теоретический материал и задачи. Изложение теории сопровождается разбором большого числа примеров различной трудности. Задачи в каждой главе разбиты на два раздела: задачи первого раздела даны с решениями, задачи второго раздела — только с ответами. Авторы настоятельно советуют учащимся обращаться к приведенным в книге решениям задач 1-го раздела только после настойчивых попыток решить задачу самостоятельно. Самостоятельное решение одной задачи часто приносит больше пользы, чем разбор готовых решений нескольких задач. Учащимся, которые желают поступить в вузы с повышенными требованиями по математике, следует изучать материал более глубоко" с непременным решением достаточного количества задач.
В конце книги в «Приложении» даны образцы вариантов письменных экзаменационных работ по математике, предлагавшихся в 1977—1979 гг. Они дают представление о степени трудности задач на приемных экзаменах в различных вузах страны.
В заключение отметим, что пособие написано на основе опыта заочного обучения математике школьников 8 — 10 классов в заочной физико-технической школе при Московском физико-техническом институте. Авторы благодарят директора ЗФТШ, заслуженного учителя РСФСР Т. А. Чугунову за помощь в работе. Авторы выражают также глубокую благодарность профессору Г. Н. Яковлеву, советами и рекомендациями которого они постоянно пользовались.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . ,........................ .6
Глава I. Множества. Понятие функции и обратной функции......... . 7
§ 1. Множество. Подмножество. Объединение и пересечение множеств. Числовые множества....................... 7
§ 2. Понятие функции...................... 14
§ 3. Координатная плоскость. График функции............ 16
' § 4. Обратная функция..................... 17
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I.......................... 19
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА il.......................... 20
Глава II. Элементы логики. Взаимно обратные и взаимно противоположные теоремы.
Метод математической индукции................ 23
§ 1. Высказывания. Операции над высказываниями........... 23
§ 2. Предложения, зависящие от переменной............. 29
§ 3. Взаимно обратные и взаимно противоположные теоремы. Необходимые
и достаточные условия................... 32
§ 4. Метод математической индукции,................ 36
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I.......................... 40
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II.......................... 42
Глава III. Уравнения и системы уравнений................ 45
§ 1. Уравнения с одним и несколькими переменными.......... 45
§ 2. Системы уравнений.......... . •'.......... 49
§ 3. Системы линейных уравнений................. 52
§ 4. Задачи на составление уравнений................ 56
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I.......................... 59
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II.......................... 60
Глава IV. Алгебраические неравенства................. 53
§ 1. Функциональные неравенства. Понятие равносильности неравенств ... 53
§ 2. Рациональные неравенства. Метод интервалов........... 55
§ 3. Иррациональные неравенства................. 57
§ 4. Неравенства с модулем.................... 59
§ 5. Неравенства с параметрами.................. 70
§ 6. Доказательство неравенств.................. 73
§ 7. Приложение неравенств к задачам на наибольшие и наименьшие значения........................... 76
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I . . i •....... . . ,............. 78
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II...............; . . . -....... У
Глава V. Последовательности. Предел последовательности. Предел функции. Производная ......................... 83
§ 1. Бесконечные последовательности. Последовательности ограниченные и неограниченные ....................... 83
§ 2. Предел последовательности. Теоремы о сходящихся последовательностях 84
§ 3. Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса....... 87
§ 4. Арифметическая прогрессия.................. 89
§ 5. Геометрическая прогрессия.................. 91
§ 6. Предел функции. Непрерывность функции............ 93
§ 7. Производная, ее геометрический смысл............. 96
§ 8. Предел функции на бесконечности.........'...... 99
§ 9. Односторонние пределы. Бесконечные пределы........... 100
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I......, . ,
ЗАДАЧИ РАЗТЬЛ'Л il ..--.,
Глава VI. Исследование функций и построение их графиков......... ю§
§ 1, Четные и нечетные функции................... 108
§ 2. Периодические функции................... ЦО
§ 3. Асимптоты........................ 111
§ 4. Преобразования .графиков функций............... 114
§ 5. Элементарные функции и их графики.............. 116
§ 6. Построение графиков функций................. 121
§ 7. Применение производной к исследованию функций и построению их графиков....................... • . . . 123
§ 8. Наибольшее и наименьшее значения функции........... 126
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛ •'• I ..... ........ . , . . ! ''К
ЗАДАЧИ РАЗЛЬЛЛ !!.,..
Глава VII. Векторы ........................ 130
§ 1. Некоторые необходимые определения и обозначения ........ 130
§ 2. Векторы, их обозначение и изображение. Коллинеарные и компланарные
векторы ......................... 131
§ 3. Сумма векторов. Противоположный вектор. Разность векторов .... 133
§ 4. Умножение вектора на число. Признак коллинеарности ....... 135
§ 5. Условие компланарности векторов. Разложение вектора по трем некомпла-
нарным векторам ................. .... 136
§ 6. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов ...... 138
§ 7. Базис. Координаты вектора. Действия над векторами, заданными своими
координатами .......... ............. 139
§ 8. Прямоугольная система координат. Уравнение плоскости ....... 141
1АДАЧИ iW:rt!.'.:!A I . . ..... . . . . . i;
ЗАДАЧИ Pvui-лл r: . . ... . . :-
Глава VIII. Комплексные числа .................... 148
§ 1. Определение комплексных чисел ................ 148
§ 2. Свойства операций сложения и умножения ........ .... 149
§ 3. Алгебраическая форма записи комплексных чисел. Правила действий
с комплексными числами, записанными в алгебраической форме .... 150 § 4. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргументы
комплексного числа .............. . ........ 152
§ 5. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Умножение и де-
ление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме ... 156
§ 6. Возведение в степень и извлечение корня ............ 159
§ 7. Алгебраические уравнения ................ . . 161
Глава IX. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства ........ 167
§ 1. Тригонометрические уравнения ...... ........... 167
§ 2. Системы тригонометрических уравнений ............. 179
§ 3. Тригонометрические неравенства ................ 186
ЗАДЛЧИ РЛЧДРЛ \ !..,....
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I! ....... . , - . . .
ГлаваХ. Показательные • логарифмические уравнения, системы и неравенства . . . 197
§ 1. Показательные уравнения ................... 198
• § 2. Логарифмические уравнения .......... . ....... 200
§ 3. Разные примеры уравнений ... ............... 203
§ 4. Системы показательных и логарифмических уравнений . . ...... 205
§ 5.. Показательные и логарифмические неравенства ........... 206
ЗАДАЧИ РАЗДг-1/i 1 ............ ' . .
ЗАЛАМИ РАЗДЬЛА II ,. . . .
Глава XI. Комбинаторика. Формула Ньютона для степени бинома. Случайные собы-
тия и их вероятности ..... .......... ..... 216
§ 1. Размещения, перестановки, сочетания .............. 216
§ 2. Формула Ньютона ....... . ............. 222
§ 3. Случайные события и их вероятности .......... .... 226
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I.......................... 228
1АДАЧИ РАЗДЕЛА II.......................... 229
Глава XII. Интеграл........................ 231
§ 1. Первообразная и неопределенный интеграл........... . . 231
§ 2. Интеграл и формула Ньютона — Лейбница............ 236
§ 3. Площадь криволинейной трапеции............... 240
§ 4. Применение интеграла к вычислению объемов тел......... 244
§ 5. Применение интеграла при решении физических задач........ 247
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА !.......................... 24 ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II.......................... 250
Глава XIII. Решение планиметрических задач .'.............. 2S3
§ 1. Разные задачи....................... 254
§ 2. Подобие треугольников. Теоремы синусов и косинусов....... 260
§ 3. Свойства хорд, секущих и касательных............. 264
§ 4. Алгебраические и тригонометрические методы решения. Применение векторной алгебры...................... 267
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I.......................... 270
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II.......................... 27!
Глава XIV. Множества точек на плоскости и в пространстве. Задачи на построение.......................... 276
§ 1. Множества точек, обладающих заданным свойством........ 276
§ 2. Применение метода координат................. 280
§ 3. Задачи на построение.................... 282
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I.......................... 287
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II.......................... 287
Глава XV. Стереометрия (часть I)................... 290
§ 1. Сечения многогранников................... 290
§ 2. Применение критериев коллинеарности и компланарности векторов в решении задач........................ 300
§ 3. Угол между прямыми в пространстве.............. 305
§ 4. Применение скалярного произведения векторов в решении задач .... 307
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I..........................
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II..........................
Глава XVI. Стереометрия (часть II).................. 315
§ 1. Перпендикулярные прямые и плоскости............ . 315
§ 2. Об изображении на рисунках перпендикулярных прямых и плоскостей.
Построение сечений, перпендикулярных прямой или плоскости..... 318
§ 3. Угол между прямой и плоскостью..........'..... 321
§ 4. Расстояние от точки до плоскости, расстояние между прямыми и плоскостями.......................... 323
§ 5. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Биссектор. Трехгранный
угол.......................... 326
§ 6. О вычислении объемов многогранников и их частей......... 331
§ 7. Задачи на комбинации многогранников.............. 333
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I.......................... 33?
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II..........................об
Глава XVII. Фигуры вращения.................... 342
§ 1. Цилиндр......................... 342
§ 2. Конус . . ........................ 345
§ 3. Сфера.......................... 348
§ 4. Комбинации сферы, конуса и цилиндра............. 355
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА )................... ....... ..^S
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II................ ......... <5Г
Приложение. Образцы вариантов, предлагавшихся в 1977—1979 гг. на письменных
вступительных экзаменах по математике.......... 364
Решения задач раздела I....................... 372
Ответы к задачам раздела II и приложения................ 454
Список формул.......................... 475
Цена: 150руб.
