Книга написана на основе лекций, читавшихся автором в т сковском физико-техническом институте. Она содержит сжатое из| жение всего основного материала, входящего в объединенный кдй аналитической геометрии и линейной алгебры: векторную алгебр прямые и плоскости, линии и поверхности второго порядка, аффи ные преобразования, системы линейных уравнений, линейные проб ранства, евклидовы и унитарные пространства^ квадратичные фор»* аффинные пространства, тензорную алгебру. В настоящем издани по" сравнению с предыдущим сделаны некоторые изменения метода ческого характера.
Для студентов физико-математических, инженерно-физических инженерно-технических специальностей вузов,
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
В настоящем издании по сравнению с предыдущим переработаны некоторые доказательства. Наиболее существенные изменения сделаны в параграфах о квадратичных формах. Кроме того, исправлен ряд мелких погрешностей.
Автор глубоко благодарен всем, кто способствовал улучшению книги.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Эта книга написана на основе лекций, которые я читал в течение ряда лет на первом курсе Московского физико-технического института. Особенности подготовки студентов в МФТИ вызывают необходимость ускоренного изложения курса математики, по объему приближающегося к университетскому. В связи с этим аналитическая геометрия рассказывается так, чтобы на простом и доступном . материале подготовить студента к изучению линейной алгебры. Собственно линейной алгебре, т. е. теории линейных пространств, предпослана большая глава о системах линейных уравнений и матрицах. Ее цель —дать читателю исследование систем линейных уравнений, независимое от методов линейной алгебры. В этой же главе собраны и некоторые другие сведения, небхрдимые для дальнейшего.
Такой общий план определяет и менее значительные особенности настрящего учебника. Более подробное представление о его строении можно получить из оглавления.
Считаю своим приятным долгом отметить то влияние, которое оказали .на эту книгу доц. А.. А. Абрамов, чл.-Ropp. АН СССР Б'. Н. Делоне, проф. Л. Д. Кудрявцев, проф. В. Б. Лидский, проф. Л. В. Овсянников своим
3
.ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к пятому изданию............... 3
Из предисловия к первому изданию.............. 3
Глава I. Векторная алгебра............... S
§ 1. Векторы ........ „............... 5
1. Предварительные замечания (5). 2. Определение вектора (6). 3: О другом- определении вектора (6). 4. Линейные операции над векторами (8). 5. Линейная зависимость векторов (12).
§ 2. Система координат ;.............^ . . . . 14
1. Декартова система координат (14). 2. Деление отрезка в заданном отношении (16). 3. Декартова прямоугольная система координат (16). 4. Полярная система координат (17). 5. Цилиндрические и сферические координаты (18). '
§ 3. Скалярное и векторное произведения.......... 19
1. Скалярное произведение (19). 2. Ориентация тройки векторов (22). 3. Векторное произведение (22). 4. Смешанное произведение (23). S. Выражение векторного и смешанного произведения через компоненты сомножителей (25). 6. Детерминанты второго и третьего порядка (26). 7. Условия коллинеарности и компланарности векторов (29). 8. Площадь параллелограмма (30). 9. Объем ориентированного параллелепипеда (31). 10. Двойное векторное произведение (31). II. Взаимный базис (32). 12. О векторных величинах (32).
§ 4. Замена базиса и системы координат ............ 33
1'. Изменение базиса (33). 2. Изменение системы координат (35). 3. Преобразование декартовой прямоугольной системы координат на плоскости (35). v ,
Глава II. Прямые линия и плоскости............ 37
§ 1. Общее понятие об уравнениях............... 37
1. Определение (37). 2. Алгебраические линии и поверхности (39). 3. Параметрические уравнения линий (43). 4. Параметрические уравнения поверхностей. Конусы (43). 5. Уравнения, не содержащие одной из координат (44).
.§ 2. Уравнения прямых и плоскостей............. 45
1. Поверхности и линии первого порядка (45). 2. Параметрические уравнения прямой и плоскости (47). 3. Исключение параметра из параметрических уравнений' прямо'й (50). 4. Векторные уравнения плоскости и прямой (52). 5. Признаки параллельности плоскостей и прямых на плоскости (55). 6. Уравнения прямой в пространстве (57).
§ 3. Некоторые задачи о прямых и плоскостях ........ 59
1. Уравнение прямой, проходящей через две точки (59). 2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки (59). 3. Признаки , параллельности' прямой и плоскости (60). 4. Уравнения в отрез-ках (61). 5. Полупространство .(61). 6. Расстояние от точки до плоскости (62). 7. Расстояние от точки до прямой (63). 8. Расстояние между параллельными прямыми в простра'нстве (?4).9. Вычисление углов (85). 10. Некоторые задачи на построение (66).
31?
П. Пучок пряных. Связка и пучок плоскостей (67). 12.0 геометрическом смысле порядка алгебранческойТГинии (70).
Глава III. Линии и поверхности второго порядка . .>. . , 72
§ 1. Исследование уравнения второго порядка....... , 72
§ 2." Эллипс^ гипербола й~ парабола ............. , 77
1. Эллипс (77). 2. Гиперболе (82). 3. Парабола (87).
§ 3. Ли»ия второго порядка, заданная общим уравнением ... 90
1. Пересечение линии второго порядка и прямой (90). 2. Число асимптотических направлений. Тип линии (91). 3. Диаметр линии второго порядка (92). 4. Центр линии второго порядка (93). Б. Сопряженные направления (96). 6. Главные направления (97). 7. Касательная к линии второго -порядка (98). 8. Особые ючки (99).
§ 4. Поверхности второго порядка.............. 100
1. Поверхности вращения (101). 2. Эллипсоид (102). 3. Конус второго порядка (10.3). 4. Однололостный Гиперболоид (104). 5. Двуполостный гиперболоид (105). 6. Эллиптический параболоид (106). 7. Гиперболический параболоид (107). "
Глава IV. Преобразования плоскости............ 111
§ 1. Отображения и преобразования............. 111
Г. Определение ('111). 2. Примеры (111). 3. Произведение отображений. Обратное отображение tll3). 4. Координатная запись отображений-(114).
§2. Линейные отображения................. 115
1. Определение линейных отображений (115). 2. Произведение линейных отображений (118). 3. Образ вектора при линейном отображении (119). •
§ 3. Аффинные преобразования : .............. 121
1. Ортогональные преобразования (121). 2. Образ прямой линии (124). 3. Изменение площадей при аффинном преобразовании (126). 4. Образы линий второго порядка (128). 6. Описание всех аффинных преобразований <130).
§ 4. Понятие группы.................... 132
1. Аффинная геометрия (132). 2. Значение клейновых геометрий (133). 3, Определение группы преобразований (134). 4. Группы (134).
Глава V. Системы линейных уравнений и матрицы .... 136 § 1. Матрицы . , , ,......... .......... 136
1. Определение (136). 2. Сложение и умножение на число (137). 3. Транспонирование матриц (138). 4. Столбцы и строки (139).
§ 2. Детерминанты..................... 142
1. Символ 2 (142). 2. Определение . детерминанта (143). 3. Свойства детерминантов (145). 4. Элементарные преобразования. Вычисление детерминантов (150). 5. Миноры произвольного порядка (151). 6. Непосредственное выражение детерминанта через элементы матрицы (152).
§ 3. Системы линейных уравнений (специальный случай) ... 154
1. Постановка задачи (154). 2. Правило Крамера (155). 3, Пример (158).
§ 4. Ранг матрицы...........'........... 159
1. Базисный мшгор (159). 2. Приведение матрицы к упрощенному виду (1,61). 3. Теорема о базисном миноре (163).
§ 5. Общая теория линейных систем . . .... . . ..... 165
1. Условия совместности (165). 2. Нахождение решений (168). 3. Приведенная система (168). 4, Множество решений однородной системы (169). 5. Общее решение системы., линейных уравнений (172). в. Примеры (173).
818
|§ в. Умножение матриц .................... 174
I 1. Определение и примеры (174). 2. Свойства умножения матриц ; (176). 3. Обратная матрица (17ft). 4. Элементарные преобразова--' \. ния как умножение матриц,. Детерминант произведения (181).
§7. Комплексные числа и комплексные матрицы...... 182
1. Арифметические операции с комплексными числами (182). 2. Число l (183). 3. Модуль и аргуиеит комплексного числа (184). 4. Комплексно сопряженное число (185). 5. Комплексные матрицы (186).
Глава VI. Линейные пространства.......... . . ', 188
§ 1. Основные понятия................ . . . 188
1. Определение линейного пространства (188).' 2. Простейшие следствия (196). 3. Линейная зависимость (191). 4. Базис (192). 5. Замена базиса (195).
§ 2. Линейные подпространства ............... 196
1. Определение и примеры (196). 2. Сумма к пересечение 'подпространств (199). 3. Прямая сумма подпространств (201).
§ 3. Линейные отображения ................. 202
1. Определение (202). 2. Координатная запись линейных отображений (205). 3. Изоморфизм линейных пространств (207). 4. Изменение матрицы линейного отображения при замене базисов (208). 5. Канонический, вид матрицы линейного отображения (209). 6. Сумма и произведение отображений (209).
§4. Задача о'собственных векторах ............. 211
(.Линейные преобразования (2И). 2. Инвариантные подпространства (213). 3. Собственные векторы (214). 4. Свойства собственных векторов и собственных значений (217). 5. О приведении матрицы преобразования к диагональному виду (221).
Глава VII. Евклидовы и унитарные пространства ..... 222 § 1. Евклидовы пространства ................ 222
1. Скалярное произведение (222). 2. Длина и угол (223). 3. ОртонормированныЙ базис (225). 4. Выражение скалярного произведения через компоненты сомножителей (226). 5. Связь матриц Грама разных базисов (227). 6. Ортогональные матрицы (228). 7. Ортогональное дополнение ^подпространства (229).
§ 2. Линейные преобразования в евклидовом пространстве ... 231
1. Преобразование, сопряженное данному-(231). 2. Самосопряженные преобразования (233). 3. Изоморфизм евклидовых пространств (237). 4. Ортогональные преобразования (238).
§ 3. Понятие об унитарных пространствах ...,,..,.. 240
1. Определение (240). 2„ Свойства унитарных пространств (243). 3. Самосопряженные и унитарные преобразования (244).
Глава VIII. Функции на линейном пространстве, . . , . 245 § 1. Линейные функции.................. 245
1. Определение функции (245). 2. Линейные функции (246). 3 Сопряженное пространство (248). 4. Линейные функции на евклн-. довых пространствах (250).
§ 2. Квадратичные формы ..,........*..... 251
1. билинейные формы (251). 2. Другая точка зрения на билинейные формы (253). 3. Квадратичные формы (253). Ч. Ранг в ин-• деке квадратичной формы (258).
'§ 3. Квадратичные формы и скалярное произведение ..... 281 § 4. Эрмитовы формы ................... 265
- 319
Глава IX. Аффинные пространства .....,.,,., . , 267 § 1. Плоскости ......,..,..,,....,..,.. 267
1. Аффинное пространство (267). 2. Плоскости в аффинном"пространстве (270). 3. Линейные функции на аффинном пространстве (271). 4. Выпуклые многогранники (272). . j
§ 2. Общая теория'линий и поверхностей второго, порядка . . . 274
1. Закон преобразования коэффициентов (274). 2. Линии второго |
порядка на плоскости (277). 3. Поверхности второго порядка (280).
Глава X. Основы тензорной алгебры ,..,........ 286
§ 1. Тензоры в линейном пространстве......•..... 286
1. Геометрические объекты (286). 2. Пространственные матрицы (288). 3. Определение и примеры (290). 4. Сложение и умножение на число (293). 5. Умножение тензоров (295). 6. Свертыва- ' ние (297). 7. Транспонирование (298). '8. Симметрирование и . альтернирование (300). 9. Замечание (303).
§ 2. Тензоры в евклидовом пространстве .......... 304
1. Метрический тензор (304). 2. Поднятие и опускание индексов (305). .3. Евклидовы^.тензоры (306)! • J
§ 3. Поливекторы. Относительные инварианты ........ 308
1. р-векторы (308). 2. Относительные инварианты (310). 3. Объем n-мерного параллелепипеда (311).
Рекомендуемая литература........;......"... 313
Предметный указатель ...,,..., Г.......... 314
Цена: 150руб.
