Книга посвящена одному из методов прикладной математики — методу квазилинеаризации.
На простом примере уравнения Риккати авторы показывают характерные свойства вычислительного процесса, основанного на применении идей квазилинеаризации. Эти свойства в дальнейшем прослеживаются при исследовании более сложных случаев. В заключение рассматриваются нелинейные эллиптические и параболические уравнения и различные конкретные задачи физики, техники, механики и биологии.
Книга представляет интерес не только для математиков, но и для научных работников других специальностей и инженеров, имеющих дело с методами вычислительной математики. Она доступна студентам и аспирантам соответствующих специальностей.
Предисловие редактора перевода
Предлагаемая читателям книга известных американских математиков Р. Беллмана и Р. Калабы посвящена разработанному ими методу квазилинеаризации и его разнообразным приложениям. Метод квазилинеаризации, с помощью которого решение нелинейной задачи сводится к решению последовательности линейных задач, представляет собой по существу дальнейшую разработку известного метода Ньютона и его обобщенного варианта, предложенного Л. В. Канторовичем. Авторы приводят ряд результатов по сходимости метода; при этом широко используется аппарат дифференциальных неравенств, основные идеи которого принадлежат С. А. Чаплыгину.
Круг проблем, затронутых в этой небольшой книге, чрезвычайно широк. Авторы рассматривают различные математические задачи, к которым применяется аппарат квазилинеаризации: двухточечные и многоточечные краевые задачи для линейных и нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, краевые задачи для эллиптических и параболических уравнений в частных производных, вариационные задачи, дифференциально-разностные и функционально-дифференциальные уравнения и др. Большое внимание в книге уделяется не только вопросам сходимости методов, но и реализации их на вычислительных машинах. Авторы приводят много числовых примеров, а в конце книги даны программы на языке ФОРТРАН для решения некоторых рассмотренных в тексте задач1).
Широко представлены и приложения метода квазилинеаризации к некоторым техническим, физическим и биологическим задачам (вопросы управления и идентификации систем, определение орбит, задачи переноса излучения, вопросы кардиологии).
') Ссылки на программы имеются в соответствующих главах и параграфах книги. В тексте самих программ есть комментарии, поясняющие смысл используемых в них обозначений и ход работы программ. В русском издании программы воспроизведены с английского оригинала полностью, английский текст внутри программ сохранен. Мы надеемся, что это не помешает читателю пользоваться программами.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода ............... 5
Введение ........................ '
Глава I. Уравнение Риккати................. 13
1. Введение ................... |3
2. Метод Ньютона — Рафсона............... 13
3. Многомерный вариант................. 16
4. Квадратные корни.......... ....... 17
5. Квазилинеаризация ................. 18
6. Уравнение Риккати.................. 19
7. Линейное уравнение первого порядка.......... 19
8. Решение уравнения Риккати с помощью операции взятия максимума ...................... 20
9. Оценки сверху и снизу................ "
10. Последовательные приближения с помощью квазилинеаризацин 23
11. Монотонность ................... 24
12. Обсуждение .................... 25
13. Основная лемма................... 26
Комментарии и библиография..........-..... 26
Глава II. Двухточечные краевые задачи для дифференциальных уравнений второго порядка ................. 29
1. Введение ..................... 29
2. Двухточечные краевые задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка .............. 30
3. Йеоднородное уравнение................ 31
4. Матричный подход.................. 33
5. Функции Грина ................... 35
6. Выпуклость .................... 36
7. Квазилинеаризация ................. 37
8. Обсуждение .................... 38
9. Существование и ограниченность............. 38
10. Сходимость .................... 39
11. Сходимость алгоритма Пикара............. 41
12. Числовой пример .................. 42
13. Нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка общего вида...................... 43
14. Числовой пример................... 43
15. Вариационное исчисление ............... 44
16. Квазилинеаризация................. 46
17. Оценки сверху и снизу с помощью квази.пинеаризаннп .... 47
18. Решение внутренней задачи .............. 49
19. Дальнейшие применения квазилинеаризации........ 50
20. Динамическое программирование............. 50
21. Инвариантное погружение.......... . . .52
22. Сочетание динамического программирования и квазилинеаризации 52 Комментарии и библиография . . ....... ... 53
Глава III. Монотонное поведение и дифференциальные неравенства . . 55
1. Монотонность ... .............. 55
2. Элементарный подход.................56
3. Связи между решениями и коэффициентами уравнения .... 57
4. Факторизация линейного дифференциального оператора второго порядка ..................... 58
5. Свойство положительности........... ... 60
6. Сопутствующее параболическое дифференциальное уравнение в ча-
стных производных . ............... 61
7. Еще о собственных значениях.............. 63
8. Вариационный подход................. 64
9. Обсуждение .................... 65
10. Улучшение оценок сходимости..............67
11. Обсуждение ....................68
Комментарии и библиография...............68
Глава IV. Системы дифференциальных уравнений, память и дифференциальная аппроксимация ... ........... 71
1. Введение ..................... 71
2. Приложение квазилипеаризации к системам........ 72
3. Решение линейной системы .............. 73
4. Числовой пример .................. 74
5. Многоточечные краевые задачи............. 75
6. Последовательные приближения и память......... 75
7. Совместный расчет приближений ............ 76
8. Обсуждение ................... 78
9. Прямое и обратное интегрирование............ 79
10. Дифференциально-разностные уравнения .........80
11. Редукция к дифференциальным уравнениям........80
12 Функционально-дифференциальные уравнения .......81
13. Дифференциальная аппроксимация............ 82
14. Простой вариант дифференциальной аппроксимации..... 83
15. Уравнение восстановления............... 85
16. Обсуждение ........... ........ 87
17. Запоминание и память............... 88
18. Свойство монотонности для систем..... ...... 89
19. Свойство монотонности для линейных дифференциальных урав-
нений N го порядка................. 90
20. Обсуждение .................... 91
21. Использование метода ортогонализации Грама—Шмидта для численного решения линейных краевых задач......... 91
22. Динамическое программирование ............ 95
23. Инвариантное погружение...............97
Комментарии и библиография...............98
Глава V. Дифференциальные уравнения в частных производных . . . 102
1. Введение ..................... 102
2. Параболические уравнения............... 103
3. Конкретное уравнение................. 103
4. Разностная аппроксимация............... 104
5. Сравнение метода Пикара с квазилинеаризацией...... 104
6. Градиентные методы ................. 105
'i Я *}
Оглавление 10°
7. Эллиптическое уравнение .............
8. Вычислительные аспекты ............. 1^7
9. Положительность и монотонность............ 41
10. Уравнение Хопфа — Лакса ............. И2
Комментарии и библиография............... ИЗ
Глава VI. Приложения к физике, технике и биологии........115
1. Введение .......... .........115
2. Оптимальное проектирование и управление ......... 115
3. Пример......................117
4. Численные результаты................119
5. Обратная задача переноса излучения...........120
6. Аналитическая формулировка..............121
7. Численные результаты ...............122
8. Уравнение Ван-дер-Поля ..............123
9. Определение орбиты как многоточечная краевая задача .... 126
10. Численные результаты ...... ........127
11. Анализ периодических зависимостей...........128
12. Численные результаты ... ............129
13. Обсуждение ..... ............132
14. Периодические вынуждающие члены...........132
15. Оценка параметров сердца...............133
16. Основные предположения ...............134
17. Обратная задача...................135
18. Численные эксперименты................136
Комментарии и библиография...............137
Глава VII. Динамическое программирование и квазилннеаризация . . 140
1. Введение . . . .....140
2. Основное функциональное уравнение . ......140
3. Приближение в пространстве политик ..........141
4. Динамическое программирование и квазилинеаризация .... 142
5. Функциональные уравнения...............144
6. Обсуждение . ..................144
7. Динамическое программирование и дифференциальная аппроксима-
ция ..... ....... ......... 145
8. Динамическое программирование и идентификация систем . . . 145
9. Обсуждение .................... 147
Комментарии и библиография............... 147
Приложения .......................149
Приложение 1. Программа минимизации времени.......149
Приложение 2. Программа для задач управления и проектирования. 152 Приложение 3. Программа для обратной задачи переноса излучения
(два слоя, три константы)...............156
Приложение 4. Программа для уравнения Ван-дер-Поля.....166
Приложение 5. Программа для определения орбиты ...... 169
Приложение 6. Программа для решения задач кардиологии . . . 172
Цена: 150руб.
