Коллективная монография, содержит обстоятельное изложение теории и практического применения методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений. В ней представлен полный набор лучших из существующих алгоритмов решения, а также обзор последних достижений теории как для начальных, так и для краевых задач. Рассмотрены уравнения с запаздывающим аргументом, интегродифференциальные уравнения Вольтерра, задача Коши для жестких систем уравнений.
Книга адресована широкому кругу специалистов по вычислительной математике, интересующихся численными методами. Она будет полезна преподавателям, аспирантам и студентам по специальности прикладная математика.
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Одним из важнейших факторов происходящей в настоящее время научно-технической революции является создание быстродействующих электронных вычислительных машин, призванных расширить возможности человеческого интеллекта. Возникшая при этом необходимость «математического обеспечения» бесперебойной и эффективной работы ЭВМ привела к бурному развитию как математики в целом, так и отдельных ее разделов, особенно тех, которые связаны с проблемами управления и оптимального поиска, а также тех, которые посвящены методам дискретизации задач или методам решения дискретных задач.
В этой связи большое значение приобрели разностные методы решения многих типов задач, восходящие еще к великому Эйлеру. Важная особенность разностных методов состоит в том, что они, как правило, допускают простую алгоритмизацию, причем полученные алгоритмы могут быть эффективно реализованы на ЭВМ.
Предлагаемая вниманию читателя книга содержит краткое описание современных разностных методов решения основных задач, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. В ней в достаточной мере представлены теоретические и прикладные результаты, полученные за последние годы. Это — коллективная монография (помимо редакторов Дж. Хол-•яа и Дж. Уатта в ней приняли участие одиннадцать авторов). Однако главы, написанные различными авторами, настолько согласованы, что книга практически не содержит повторений и воспринимается как единое целое.
В первой части, посвященной решению задачи Коши, наи-польший интерес представляет описание методов с переменным
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода ................ 5
Предисловие ....................... 7
ЧАСТЬ 1. ЗАДАЧА КОШИ
Глава 1. Введение в дискретные методы............. 11
1. Введение ...................... И
2. Дискретные методы.................. 12
3. Применение к системам и к уравнениям более высокого порядка 20
4. Источники погрешностей ................ 22
Глава 2. Сходимость и устойчивость............... 27
1. Введение ...................... 27
2. Сходимость ..................... 28
3. Нуль-устойчивость .................. 31
4. Достижимый порядок нуль-устойчивых LMM......... 37
5. Устойчивость при фиксированной величине шага....... 38
6. Области абсолютной устойчивости............. 39
7. Сильная устойчивость ................. 44
8. Сравнение методов .................. 46
9. Относительная устойчивость............... 46
Глава 3. Оценка погрешности для задачи Коши.......... 48
1. Дифференциальная задача................ 48
2. Разностные аппроксимации ............... 51
3. Форма локальной погрешности дискретизации........ 55
4. Оценка локальной погрешности дискретизации одношаговых методов ........................ 59
5. Сравнение опенок погрешности для одношаговых методов ... 65
6. Оценка локальной погрешности дискретизации для предсказываю-ще-исправляющих методов................ 66
7. Локальная погрешность дискретизации гибридных методов ... 68
Глава 4. Общие вопросы реализации алгоритмов ,......... 69
1. Введение ..............,....... 69
2. Структура простейшей программы интегрирования....... 69
3. Список параметров простейшей программы интегрирования ... 71
4. Более сложные программы................ 74
5. Ошибки округления................. • 75
Глава 5. Методы Рунге *— Кутты................76
1. Введение ...................... 76
2. Вывод конкретных методов................ 77
3. Методы с оценкой погрешности.............. §Q
4. Погрешность аппроксимации..............'82
5. Оптимальный выбор шага................ gg
6. Оптимальный выбор порядка............... 84
7. Оценка качества методов................ gg
Глава 6. Реализация линейных многошаговых методов.........86
1. Введение ...................... 86
2. Почему именно методы Адамса?.............. 87
3. Пошаговые алгоритмы................. 88
4. Форма записи метода, изменение шага, оценка погрешности ... 90
5. Обобщенные алгоритмы................. 94
6. Переменный порядок, начало интегрирования......... 95
7. Теория программ с переменным шагом и переменным порядком 99
Глава 7. Методы экстраполяции................102
1. Введение ......................102
2. Экстраполяция Ричардсона ...............102
3. Рациональная экстраполяция...............104
4. Метод Грэгга — Булирша — Штёра............106
5. Реализация рекуррентных формул.............107
6. Выбор шага.....................108
Глава 8. Программы проверки и сравнения методов.........110
1. Введение . . . .................... 110
2. Проверка методов................... 111
3. Сравнение методов. Программа DETEST.......... 113
4. Заключение ..................... 115
ЧАСТЬ 2. ЖЕСТКИЕ ЗАДАЧИ Глава 9. Введение в теорию жестких задач............117
1. Жесткая задача Коши. Коэффициент жесткости........ 117
2. Устойчивость для жестких задач.............. 119
3. Неявные методы ................... 123
4. Способы выбора шага.................. 125
5. Иллюстративный пример ................ 126
Глава 10. Неявные методы Рунге—Кутты и родственные им методы . . 129
1. Ограниченность явных методов Рунге — Кутты.......129
2. Условия, обеспечивающие заданный порядок точности методов Рунге—Кутты....................130
3. Оптимальный порядок неявных методов Рунге — Кутты.....134
4. Свойства устойчивости.................137
5. Применение неявных методов Рунге —Кутты.........139
6. Полуявные методы и методы Розенброка..........140
Глава 11. Многошаговые методы для жестких задач......142
1. Неявные линейные многошаговые методы..........142
2. Формулы дифференцирования назад............«3
Оглавление
3. Обобщенные многошаговые методы.............147
4. Методы, использующие вторую производную.........149
Глава 12. Методы экстраполяции для жестких систем. Сравнение методов 151
1. Введение ......................151
2. Методы экстраполяции для жестких обыкновенных дифференциаль-
• ных уравнений....................152
3. Сравнение методов для жестких задач...........156
Глава 13. Численное интегрирование систем жестких обыкновенных дифференциальных уравнений специальной структуры...... 160
1. Введение...................... 160
2. Специальная структура................. 161
3. Блочное приближенное обращение............. 163
4. Уравнения химической кинетики............. 165
5. Свойства систем кинетических реакций ........... 166
6. Быстрые реакции, связанные с большой активностью химических веществ ...................... 167
7. Приложения .................... 169
8. Локальная сходимость метода фиксированной хорды..... 171
9. Оценка спектрального радиуса и обусловленность матрицы F' . . 173 10. Численные результаты.................174
Глава 14. Уравнения в частных производных параболического типа . . . 179
1. Введение ......................179
2. Кусочно полиномиальная аппроксимация.........180
3. Метод Галёркина ...................181
4. Сходимость метода Галёркина...............183
5. Метод коллокаций...................184
6. Метод прямых....................185
7. Заключение .....................186
ЧАСТЬ 3. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Глава 15. Конечно-разностные методы..............188
1. Введение ......................188
2. Основные методы...................189
3. Решение алгебраических уравнений.............191
1 4. Экстраполяция................... . 193
5. Метод последовательных приближений...........194
Глава 16. Метод пристрелки для краевых задач.......... 196
1. Описание основного метода................ 196
j 2. Некоторые примеры краевых задач............. 200
I 3. Решение уравнений сшивания............... 202
f 4. Методы параллельной пристрелки............. 210
5. Получение оценок граничных значений при помощи метода инвариантного погружения................. 214
Ь Глава 17. Линейные дифференциальные уравнения и дифференциальные
задачи на собственные значения...........216
1. Введение ......................216
2. Методы решения линейных краевых задач..........217
3. Линейные дифференциальные задачи на собственные значения . . 225
Глава 18. Метод продолжения и обобщенные краевые задачи.....228
1. Введение ...................... 228
2. Вычисление начальных значений.............. 229
3. Условия сходимости.................. 232
4. Дифференциальные уравнения по параметру t . . ..... 234
5. Практическое применение................ 236
6. Обобщенные параметры пристрелки............ 237
7. Особые точки и асимптотические решения.......... 241
8. Решение методом пристрелки............... 242
Глава 19. Методы разложения.................244
1. Введение ......................244
2. Линейные задачи...................245
3. Метод коллокаций...................246
4. Метод минимизации невязок...............246
5. Дискретизация; единая трактовка граничных условий.....248
6. Пример.......................249
7. Связь методов между собой...............251
8. Оценки погрешности; выбор функций hi...........251
9. Обобщения и заключения................254
ЧАСТЬ 4. ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава 20. Задача Коши для уравнений с запаздывающим аргументом . . 256
1. Введение......................256
2. Основные обозначения.................257
3. Применение численных методов..............260
4. Пошаговые формулы для уравнений с запаздыванием.....262
5. Заключительные замечания ...............267
Глава 21. Задача Коши для ингегродифференциальных уравнений Воль-
терра ......................268
1. Введение ......................268
2. Численные методы...................270
3. Методы первого класса.................271
4. Методы второго класса.................275
5. Блочные методы ...................278
6. Решение задач со слабыми особенностями..........280
Список литературы.....................282
Именной указатель.....................300
Предметный указатель....................304
Цена: 150руб.
