Излагаются основы тензорного исчисления И некоторые его приложения к геометрии, механике и физике. В качестве приложений строится общая теория • поверхностей второго порядка, изучаются тензоры инерции, напряжений; деформаций и рассматриваются некоторые - вопросы кристаллофизики. Последняя глава знакомит с элементами тензорного анализа.
Табл. 1, рис. 25, библ. — 23 назв.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие........................... 5
Глава I. Линейное пространство......•......, • • • 7 •';
§ 1. Понятие линейного пространства ,.......'.., 7
§ 2. Линейная зависимость векторов . .. .......... 10
,§ 3. Размерность и базис линейного пространства . . . . ,. 14
§ 4. Прямоугольный базис в .трехмерном пространстве.
Скалярное произведение векторов ........... 19
§ 5. Векторное и смешанное произведения векторов '.,... 25 § 6. Преобразования ортонормированного базиса. Основная
задача тензорного исчисления............. 32
§ 7. Некоторые вопросы аналитической геометрии в пространстве .......,.............".... 41
Глава II. Полилинейные формы и тензоры ......... 51 '
§ 1. Линейные формы..................... 51
§ 2. Билинейные формы................... 54
§ 3. Полилинейные формы. Общее определение тензора ... 58
§ 4. Алгебраические операции над тензорами....... 65
§ 5. Симметричные и кососимметричные тензоры...... 71
Глава III. Линейные преобразования векторного пространства и тензоры второй валентности..... '83
§ 1. Линейные преобразования '"............... 83
§ 2. Матрица линейного преобразования.......... 88 J
§ 3. Определитель матрицы линейного преобразования. Ранг " '*'
матрицы . •................''........' 95 •;<
§ 4. Линейные преобразования » билинейные формы ... 100 § 5. Умножение линейных преобразований и умножение
матриц ......'..".................. Ill J1
§ 6. Обратное линейное преобразование и обратная мат» \ >$
рица............. . ............. Ц9*?
§ 7. Группа линейных преобразований и ее подгруппы . , • 124 j!
Глава IV. Приведение к простейшему виду матрицы ли* \
нейного преобразования............ . 134. ';
§ 1. Собственные векторы и собственные значения линей- ,,'•"'3
ного преобразования.................. Г?4 '"$
"'1* '"'• • ' . . -• .,.:;; 1,
4 ОГЛАВЛЕНИЯ
§ 2. Приведение к простейшему виду матрицы линейного преобразования в случае различных собственных значений................... ....... 145
§ 3. Многочлены от матриц.и теорема Гамильтона — Кэли 150
§ 4. Свойства собственных векторов и собственных значений симметричного линейного преобразования ..... 154
§ 5. Приведение к диагональному виду матрицы симметричного линейного преобразования ....... ..... 157
§ 6. Приведение квадратичной формы к каноническому
виду........................... 165
§ 7. Представление невырожденного линейного преобразования в виде произведения симметричного и ортогонального преобразований ........ ........ 170
Глава V. Общая теория поверхностей второго порядка ... 177
§ 1. Общее уравнение поверхности второго порядка. Его
инварианты...................... . 177
§ 2. Приведение к простейшему виду общего уравнения поверхности второго порядка ............... 181
§ 3. -Определение типа поверхности второго порядка при
помощи инвариантов................... 186
§ 4. Классификация поверхностей второго порядка .... 191
§ 5. Приложение теории инвариантов к классификации но- . верхностей второго порядка................ 196
§ 6. Центральные и нецентральные поверхности второго
порядка .......................... 201
§ 7. Примеры.......................... 204
Глава VI. Приложение тензорного исчисления к некоторый
вопросам механики и физики........... 214
§ 1. Тензор инерции...................... 214
§ 2. Некоторые свойства кристаллов, связанные с тензорами
второй валентности .................... 223
§ 3. Тензоры напряжений и деформации........... 234
§ 4. Дальнейшие свойства кристаллов............ 248
Глава VII. Основы тензорного анализа........... . 262
§ 1. Тензорное поле и его дифференцирование....... 262
§ 2. Механика деформируемой среды............. 278
§ 3. Ортогональные криволинейные системы координат . . 288 § 4. Подвижной репер ортогональной криволинейной системы координат и тензорные поля........... 297
§ 5. Дифференцирование тензорного поля в криволинейных
координатах........................ 309
Ответы и указания к решению задач и упражнений...... 323
Литература................. ............ 346
Предметный указатель ..,.,,,,.,.,..,.,..,.,. 347
ПРЕДИСЛОВИЕ
Среди читаемых во втузах специальных глав высшей математики в последнее время выделился курс тензорного исчисления, который необходим для изложения основ механики сплошных сред, кристаллографии, некоторых разделов теоретической физики, физики полупроводников и многих других разделов теоретических и технических дисциплин, изучаемых во втузах. , .
Несмотря на наличие большого числа книг по тензорному исчислению (см., например, книги [И]—[16] в списке рекомендуемой литературы), студенты и аспиранты высших технических учебных заведений, так же как и инженеры, работающие в промышленности, которым необходимы первоначальные' сведения по тензорному исчислению, затрудняются в подборе руководства по этому разделу математики. Это объясняется тем, что некоторые из имеющихся руководств рассчитаны на достаточно подготовленного читателя и предполагают знакомство с основами линейной алгебры. Изложение же тензорного исчисления в других книгах оказывается сложным именно из-за/отсутствия его связи с линейной алгеброй.
В предлагаемой книге при изложении тензорного исчисления подчеркивается его связь с линейной алгеброй. Необходимые понятия и предложения линейной алгебры вводятся и доказываются в тексте книги в связи с построением аппарата тензорного исчисления и не предполагаются заранее известными читателю. •
Для простоты и наглядности все изложение ведется в трехмерном пространстве. При этом используются только ортогональные системы координат. Все введенные в книге понятия и полученные результаты иллюстрируются большим числом разобранных в тексте примеров. Каждый параграф снабжен упражнениями, назначение которых—подкрепить и углубить излагаемый материал,
Цена: 150руб.
