В справочнике излагаются основные вопросы аналитической геометрии на плоскости, дифференциального и интегрального исчисления, теории степенных рядов и их приложения к решению нелинейных и линейных дифференциальных уравнений, а также теории функций комплексного переменного.
Весь материал иллюстрируется большим количеством рисунков и графиков, а также многочисленными примерами, доведенными до числовых решений. Кроме того, в каждом из основных разделов приведены краткие исторические сведения.
Справочник рассчитан на студентов, преподавателей, инженеров и аспирантов, а также на лиц, желающих самообразованием пополнить свои знания по высшей математике.
ПРЕДИСЛОВИЕ
В предлагаемой вниманию читателей книге излагаются основные вопросы аналитической геометрии на плоскости, дифференциального и интегрального исчисления, а также теории функций комплексного переменного, т. е. тот круг вопросов высшей математики, который необходим для студентов и аспирантов технических профилей. К сожалению, в настоящее время все эти вопросы рассредоточены по многим источникам, что существенно затрудняет их изучение.
Более подробно, чем в распространенной учебной литературе, рассматриваются рекуррентные формулы для выполнения алгебраических действий над степенными рядами и формулы численных квадратур, которые позволяют с любой наперед заданной степенью точности определять .числовые значения интегралов, включая и те случаи, когда рассматриваемый интеграл не выражается в явном виде через элементарные функции, а также методы решения нелинейных конечных систем алгебраических и трансцендентных уравнений как в действительной области, так и в области комплексной. Учитывая ту роль, кото- • рую играют дифференциальные уравнения в самых различных теоретических и прикладных вопросах, в девятой главе; после краткого изложения простейших типов дифференциальных уравнений, более подробно освещены вопросы применения степенных рядов к интегрированию обыкновенных нелинейных и линейных дифференциальных уравнений и их систем. При этом рассматриваются задача Коши (т. е. задача с начальными условиями), краевые задачи и задачи по определению собственных значений.
В связи с переходом в ближайшие годы средней школы к новым программам, в справочнике предпринята попытка устранить существующий разрыв между элементарной и высшей математикой, что будет представлять интерес для учителей, студентов и аспирантов пединститутов, а также для учеников старших классов.
Наряду с этим часть материала, а именно: решение конечных систем алгебраических и трансцендентных уравнений, алгебраические действия над степенными рядами, применения рядов к решению нелинейных дифференциальных уравнений и т. д., выходит за рамки существующих программ технических вузов, так .что он будет полезен для аспирантов и научных сотрудников, интересующихся прикладной математикой.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие.............................. 3
Часть первая
ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Глава 1. Уравнение прямой...................... 6
§ 1. Основные понятия. Метод координат................ 6
§ 2. Задачи^усвязанные с точкой..........'..........* 9
§ 3. График функцш» у = ах + Ь .'................... 13
§ 4. Уравнение прямой линии..................... 15
§ 5. Уравнение с угловым коэффициентом. Формулы параллельного переноса координат........................... 16
§ 6. Общее уравнение прямой..................... 19
§ 7. Уравнение прямой в отрезках ................... 21
§ 8. Уравнение пучка прямых. Уравнение прямой, проходящей яерез две
данные точки..........................• 23
§ 9. Угол между двумя прямыми.................... 25
§ 10. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых .... 26
§ 11. Пересечение двух прямых..................... 28
§ 12. Некоторые задачи, решаемые при помощи уравнения прямой линии . 31
Контрольные упражнения........... . . . »......... 34k
Глава II. Кривые второго порядка ..................- 36
§ 13. Алгебраические линии и их порядок................ 36
§ 14. Окружность .-.......................... 38
§ 15. Эллипс, его вершины, оси симметрии, фокусы и эксцентриситет , . 45
f 16. Построение эллипса. Применение эллипса в технике......> « 52
§ 17. Гипербола и ее асимптоты...................• < 56
§ 18. Общее преобразование координат. Равносторонняя гипербола . . . . 64
§ 19. График квадратичной функции................... 70
§ 20. Парабола и ее директриса..................... 74
§ 21. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения. Полярные
координаты и единое уравнение конических сечений ........:. 80-\
§ 22. Исследование общего уравнения второй степени........... 89
§ 23. Заключительные замечания.................... 90
Контрольные упражнения.....\................... 91
Частьвторая
I ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Глава III. Элементы дифференциального исчислении......... . 94
• j 24. Функциональная зависимость................... 94
i | 25. Предельный переход ................^ ...... 98
« § 26.'Предел функции непрерывного аргумента.....+-*,...... 103
§ 27. Бесконечно малые и бесконечно большие величины ......... JQQ
§ 28. Непрерывность функций. Разрывы первого и второго рода и устранимые разрывы...........1................ Ц5
§ 29. Свойства непрерывных функций .................. 12[
§ 30. Обратная функция и ее непрерывность. Сложная функция..... 127
§ 31. Производная и ее вычисление................... 13д
.$ 32. Геометрическое значение производной ...... ......... 135
§ 33. Дифференцируемость функций................... 13§
§ 34. Основные формулы и правила дифференцирования........ 14Q
§ 35. Производная степенной функции.................. 147
§ 36. Производные тригонометрических и обратных тригонометрических
функций ............................. 152
§ 37. Натуральные логарифмы. Число е ................ 15д
Jj 38. Производные логарифмической и показательной функций ...... к;з
-§ 39. Таблица основных формул и правил дифференцирования ...... Ifif,
§ 40. Графическое дифференцирование..............-.-.. His
Контрольные упражнения........................ 170
Глава IV. Исследование функций с помощью производных....... 171
41. Возрастание и убывание функции................. 171
42. Максимум и минимум функции. Экстремальные точки кривой ... 174 Производные высших порядков. Выпуклость и вогнутость кривой.
"; Точки перегиба......................... 180
§ 44. Второй способ разыскания экстремумов функции ......... 186
§ 45. Задачи на максимум и минимум функции............. 189
'•$'46. Уравнение касательной и нормали к кривой. Дифференцирование
Г неявных функций ....:..................... 195
Vii 47. Кривизна и соприкасающаяся окружность ............. 199
:$ 48. Асимптоты............................ '.04
"•§'49. Построение графиков....................... ^07
§ 50. Раскрытие неопределенностей...............Г ... 214
§ 51. Приращение и дифференциал функции. Аппроксимация любой диффе-
..'••'. ренцируемой функции отрезками прямых............. 218
Контрольные упражнения........................ 223
''Глава V. Элементы интегрального исчисления............ . 225
§ 52. Отыскание функции по ее производной. Первообразная и неопреде-
;?,'!•: ленный интеграл......................... 225
г§";53. Геометрическая интерпретация неопределенного интеграла. Определение произвольной постоянной по начальным данным....... 227
. '§'54. Обращение формул дифференцирования. Таблица простейших интег-
'"'•:•' ралов.............................. 229
§ 65. Основные свойства неопределенного интеграла ........... 231
§56. Простейшие способы интегрирования. Непосредственное интегрирование. Интегрирование подстановкой............... 233
;.в;67. Интегрирование по частям . .-.•................. 23S
Щ,| 58. Определенный интеграл и его связь с неопределенным интегралом.
*,;•, Формула Ньютона—Лейбница ...-..'............. ?;'
;'!$'59. Основные свойства определенного интеграла............ 24
':'•. $60. Вычисление определенного интеграла подстановкой и интегрирова-
:'' нием по частям......................... ^rg
61. Формула Ввллиса ........................ ^0
V- ж!62. Определенный интеграл как предел суммы ............ ^
* 63. Численное интегрирование. Формула трапеций и формула Симпсона • *'•' 64. Понятие о Математичееком моделировании. Определение численного
значения интеграла взвешиванием. ..,.•...'........ . . •
Й5. Исследование функций при помощи интеграла. Круговые и гипербо- ^
*•' лические функции............. . ..........
66. Об интегралах, которые не выражаются через элементарные функции. Эллиптические интегралы.................. 285
i 67. Вычисление площади произвольной фигуры............ 290
I,;; 68. Длина дуги кривой....................... 292
hj 69. Вычисление объема тела по его поперечным сечениям....... 297
Р' 70. Путь, пройденный телом..................... 301
71. Заключительные замечания.................... 302
Контрольные упражнения ..........•.............. 308
Часть третья
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
лава VI. Основные понятия..................... 311
72. Вводные замечания....................... 311
73. Приближенные числа....................... 314
74. Абсолютная и относительная погрешности............^ 317
75. Сложение и вычитание приближенных чисел............ 319
76. Умножение и деление приближенных чисел. Погрешность при вычислении заданной функции.................. 322
77. Приближенное извлечение корня................. 326
78. Оформление вычислений них контроль.............. 330
79. Табулирование и интерполяция.................. 332
80. Уплотнение таблиц, или субтабулирование............. 338
81. Прямая и обратная табличные задачи.............. Я47
on v----- —
. личные задачи ............... 347
82. Конечные разности. Вычисление таблиц полиномов ........ 350 -
............... ........... 357
Контрольные упражнения
. . ние талиц полиномов
83. О точности полиномиальной интерполяции. Проверка и овк
ояции. роверка и корректировка таблиц
362
Глава VII. Приближенные методы решения конечных уравнений и их
систем .......... .......... ; . ....... 364
| 84. Численное решение уравнений с одним неизвестным. Графический
метод отделения корней ..... ................ 364
\ 85. Метод Ньютона, или метод1 касательных ............. 370
\ 86. Метод линейной аппроксимации, или метод хорд ......... 377
L 87. Метод итераций ............. , ........... 379
f 88. Решение систем двух уравнений ........... . ..... 383 ',•
?,, 89. Решение систем нелинейных уравнений в общем случае. Метод ^ .
Ч вариации параметров ........ ..... ........ . 396
[, 90. Решение нелинейных уравнений и их систем в комплексной области 409
г 91. Заключительные замечания .................... 421
Контрольные упражнения ....................... 427
i
1ллва VIII. Степенные ряды ......... ............ 429
^92. Краткая историческая справка. Основные понятия . . ........ 429
I 93. Функциональные ряды; Равномерная сходимость .......... 438
; 94. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница ........... 441
... 95. Степенные ряды. Радиус сходимости . . . . ... ..... „. . , .' 442
96. Разложение в степенные ряды функций In (1 + г) и arctg г ...... 447
!< 97. Вычисление таблиц логарифмов
&98, Ряд Тейлоа . . . '
___..„,, .ciu«nu jiui аиишмов.................. 452
Тейлора .... . . . .......- '*'
браи> улы
I"' ЙЁЗйГ5""' Де*СТВИЯ НЗД сте™м* 'Радами.' Рекуррентные ***
Метод
• '......• • • •':'.'.'::;~Г."~'. '. 471
№..-•.•• . .'.••.: ?<;••'"' '
ШУ- , •
Глава IX. Дифференциальные уравнения.................^
............. 472
474
ними. Однородное уравнение.................. 476
§ 104. Линейное уравнение первого порядка ............... 479
§ 105. -Уравнение Бернулли....... . '............... 483
§ 106. Линейное уравнение второго порядка............... 484
§ 107. Линейное однородное уравнение я-го порядка с постоянными коэффициентами ..............,........... 487
§ 108. Неоднородное линейное уравнение высшего порядка........ 492
§ 109. Геометрический смысл уравнения первого порядка......... 495
§ ПО. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов. Задача Коши.................... 498
§ 111. Выделение из решений особенностей............... 508
§ 112. Уравнение Риккати....................... 518
113. Системы уравнений....................... 532
114. Краевые задачи......................... 539
115. Определение собственных значений. Задача Штурма — Лиувилля . . 546
116. Уравнение Дуффинга....................... 560
117. Примеры простейших задач, приводящихся к дифференциальным уравнениям........................... 569
$ 118. Заключительные замечания.................... 577
Контрольные упражнения........................ 585
Глава X. Введение в теорию функций комплексного переменного .... 587
§119. Комплексные числа....................... 587
| 120. Основные определения...................... 590
§ 121. Алгебраические действия над комплексными числами........ 592
§ 122. Возведение в степень и извлечение корня............. 597
§ 123. Основные геометрические понятия ................ 600
§ 124. Функция комплексного .аргумента ............•. . . . 603
§ 125. Обратная функция. Непрерывность функции............ 606
§ 126. Производная. Условия дифференцируемости............ 607
§ 127. Аналитические функции...................... 612
§ 128. Интеграл от функции комплексного аргумента........... 614
§ 129. Рациональные функции. Нули и полюсы............. fi!6
j 130. Простейшие иррациональные функции. Точки разветвления..... 618 J
. ji 131. Показательная функция и ее периодичность............ 621 ]
' < 132. Тригонометрические функции. Формулы Эйлера.......... 626 (
§ 133. Другой вывод теоремы сложения. Эффективные формулы для вычисления тригонометрических функций................ 631
§ 134. Вычисление it с любой наперед заданной точностью. Формулы при- i
ведения............................ 634 ••
§ 135. Графики тригонометрических функций. Составление таблиц..... 640
§ 136. Геодезическая съемка. Триангуляция............... 646
'../ $ 137. Гиперболические функции и их связь с показательной и тригонометрическими функциями...................... 651
138. Логарифмическая функция.................... 654
139. Общая степенная' и общая показательная функции......... 657
140. Обратные тригонометрические и гиперболические функции..... 658
141. Эллиптические функции Якоби.................. 662
142. Двоякопериодичность эллиптических функций Якоби........ 665
,, 143. Дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют эллиптические функции Якоби ...................... 672
|_144. Заключительные замечания ................... 681
•.;; Контрольные упражнения....................... °91
^Й:;,:в||№ты'.и умваяя*............................ "2
ПРИЛОЖЕНИЕ
атинский и греческий алфавиты .................... 711
лица I. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции . ,712
лица II. Показательная и гиперболические функции . ......... 714
пица III. Коэффициенты для непосредственного интерполирования по
узловым точкам......................... 716
пица IV. Полные эллиптические интегралы первого рода....... 720
аца V. Некоторые часто встречающиеся постоянные......... 721
[Литература .............................. 722
Алфавитный указатель......................... 729
Цена: 300руб.
