VV79 Математический анализ: Учеб. для техникумов. — М.: Высш. шк., 1990.— 416 с.: ил. ISBN 5-06-001008-2
Учебник написан в соответствии с программой курса «Математический анализ» для техникумов по специальности «Прикладная математика». Он отличается высоким научно-методическим уровнем изложения материала. Помимо математического анализа, учебник включает такие разделы, как элементы математической логики, теории функций комплексной переменной. Изложение иллюстрируется большим количеством примеров.
Оглавление
Предисловие..................... 5
Глава 1. Элементы математической логики.......... 7
§ 1. Высказывания 7
§ 2. Операции над высказываниями 8
§ 3. Формулы алгебры высказываний 11
§ 4. Применение алгебры высказываний в математических рассуждениях 15
§ 5. Нормальные формы для формул алгебры высказываний 19
§ 6. Предикаты 23
§ 7. Кванторные операции' над предикатами 27
Глава 2. Действительные числа............... 29
§ 8. Положительные действительные числа 29 § 9. Действительные числа любого знака 33 § 10. Числовая прямая. Границы числовых множеств. Раз-чделяющие числа 37
Глава 3. Числовые последовательности и их пределы....... 41
§ 11. Метод математической индукции 41
§ 12. Основные понятия, связанные с последовательностями.
Прогрессии 43 § 13. Предел числовой последовательности 47
Глава 4. Функции одной переменной............. 61
§ 14. Свойства функций 61 § 15. Предел функции на бесконечности 71 § 16. Предел функции в точке 7,9 § 17. Непрерывные функции 85 ;
§ 18. Свойства функций, непрерывных на промежутках 88 § 19. Степенная функция с рациональным показателем 93 § 20. Показательная функция 96 § 21. Логарифмическая функция 102 § 22. Тригонометрические функции 113 § 23. Обратные тригонометрические функции 120 § 24. Тригонометрические уравнения 124 § 25. Построение графиков функций с помощью геометрических преобразоваий известных графиков 130 § 26. Непрерывность элементарных функций 133 § 27. Техника вычисления пределов функций 136
Глава 5. Производная и ее приложения............ 141
§ 28. Производная 141 § 29. Дифференциал 145 § 30. Правила дифференцирования 148 § 31. Формулы дифференцирования 152 §32. Производные и дифференциалы высших порядков 159 § 33. Основные теоремы дифференциального исчисления 162 § 34. Применение производной к исследованию функций 170 § 35. Раскрытие неопределенностей при вычислении пределов по правилу Лопиталя 186
Глава 6. Определенный интеграл и его приложения.......
189
§ 36. Неопределенный интеграл и его свойства § 37. Методы интегрирования 193
189
§ 38. Интегрирование некоторых классов функций 197 § 39. Определённый интеграл 200 § 40. Формула Ньютона — Лейбница 208 § 41. Геометрические приложения определенного интеграла 213 § 42. Несобственные интегралы 222
Глава 7. Функции нескольких переменных...........227
§ 43. Основные понятия 227
§ 44. Предел и непрерывность функции нескольких переменных 230
§ 45. Дифференцируемость функции нескольких переменных, частные производные, дифференциал 239
§ 46. Исследование функций нескольких переменных на экстремум 249
§ 47. Двойной интеграл 254
§ 48. Криволинейный интеграл 260
§ 49. Формула Грина и ее применения 260
Глава 8. Числовые и функциональные ряды..........272
§ 50. Числовые ряды. Сходимость ряда 272
§ 51. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости 276
§ 52. Свойства рядов с положительными членами 281
§ 53. Знакопеременные ряды 283
§ 54. Функциональные ряды 287
§ 55. Степенные ряды 292
§ 56. Разложение функций в степенные ряды 297
§ 57. Степенные ряды с произвольным центром 301
§ 58. Приложения степенных рядов к приближенным вычислениям 302
§ 59. Тригонометрические ряды (ряды Фурье) 304
Глава 9. Элементы теории функций'комплексной переменной .... 314
§ 60. Построение системы комплексных чисел 314
§ 61. Тригонометрическая форма комплексного числа и ее
применения 321
§ 62. Многочлены в комплексной области 329 § 63. Многочлены с действительными коэффициентами 332 § 64. Функции комплексной переменной. Предел, непрерывность, Дифференцируемость 334 § 65. Степенные ряды в комплексной области 342 § 66. Аналитические функции 347
§ 67. Элементарные аналитические функции комплексной переменной 350
§ 68. Интеграл от функции комплексной переменной 360 § 69. Совпадение понятий аналитической и непрерывно дифференцируемой функции 367 § 70. Полюсы и вычеты аналитической функции 369
Глава 10. Дифференциальные уравнения...........373
§ 71. Основные понятия 373
§ 72. Дифференциальные уравнения первого порядка 374
§ 73. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли 385
§ 74. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка 387
§ 75. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 394
§ 76. Упругие колебания материальной точки 398
§ 77. Системы дифференциальных уравнений 400
Основные формулы...................406
Предметный указатель..................410
Предисловие
Настоящий учебник написан в соответствии с программой курса математического анализа для учащихся техникумов по специальности «Прикладная математика». Этот курс, согласно программе, включает не только традиционные разделы, такие, как введение в анализ, дифференциальное исчисление, интегральное исчисление и т. д., но и два других раздела — элементы математической логики и элементы теории функций комплексной переменной. Включение в курс математического анализа первого из них объясняется тем, что он дает учащемуся более полное представление о логических средствах, используемых в математических рассуждениях; кроме того, математическая логика используется в теории вычислительных машин, теории автоматов, в некоторых вопросах экономики. Вместе с тем учебник содержит также ряд тем школьного курса алгебры и начал анализа (прогрессии, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические функции, тригонометрические уравнения, показательные и логарифмические уравнения и неравенства, преобразования графиков элементарных функций). Это, естественно, связано с особенностями программы курса, ориентированной на лиц, имеющих неполное среднее образование.
Методика изложения материала в учебнике определяется прежде всего тем, что книга предназначена для учащихся, не имеющих пока среднего образования, а потому не готовых к полноценному усвоению математического анализа в традиционном изложении. Поэтому авторы стремились к более тщательной проработке ведущих понятий, основанной на неформальных содержательных рассуждениях, активно использовали геометрические иллюстрации (их существенно больше, чем в традиционных курсах). Кроме того, авторы не ставили своей целью доказать абсолютно все утверждения: наиболее важные, принципиальные результаты доказаны подробно и обстоятельно, но опущен ряд доказательств, не содержащих новых, по сравнению с уже использованными, идей и отличающихся от ранее проведенных доказательств лишь техническими сложностями (например, доказано, что предел произведения равен произведению пределов, но опущено аналогичное дока-
Цена: 150руб.
