Курс математического анализа: Учеб. для студентов университетов и вузов. В 3 т. Т. 3.— 2-е изд., перераб. и доп.—М.: Высш. шк., 1989.—352 с.: ил.
ISBN 5—06—001516—5 (т. 3)
В третьем томе излагаются элементы гармонического анализа: сначала основы теории тригонометрических рядов и преобразование Фурье абсолютно интегрируемых функций, а затем теории разложений по ортонормированным системам в гильбертовых пространствах и преобразования Фурье обобщенных функций. Ряд теорем классического анализа обобщается на случай различных пространств: метрических, нормированных и линейных со скалярным произведением.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие......................................................................................................... 5
ГЛАВА VII
РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
§ 55. Тригонометрические ряды Фурье ......................................................... 6
55.1. Определение ряда Фурье. Постановка основных задач....... 6
55.2. Стремление коэффициентов Фурье к нулю .......................... 11
55.3. Интеграл Дирихле. Принцип локализации ........................... 16
55.4. Сходимость рядов Фурье в точке ......................................... 22
55.5*. Сходимость рядов Фурье для функций, удовлетворяющих
условию Гёльдера ...................................................................... 35
55.6. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических ............................................................................................ 38
55.7. Приближение непрерывных функций многочленами ........... 44
55.8. Полнота тригонометрической системы и системы неотрицательных целых степеней х в пространстве непрерывных функций ......................................................................................... 47
55.9. Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля .............................................. 50
55.10. Характер сходимости рядов Фурье. Почленное дифференцирование рядов Фурье ................................................................ 54
55.11. Почленное интегрирование рядов Фурье .............................. 58
55.12. Ряды Фурье в случае произвольного интервала ................ 62
55.13. Комплексная запись рядов Фурье .......................................... 63
55.14. Разложение логарифма в степенной ряд в комплексной области ......................................................................................... 65
55.15. Суммирование тригонометрических рядов ............................ 66
§ 56. Интеграл Фурье и преобразование Фурье ......................................... 69
56.1. Представление функций в виде интеграла Фурье .............. 69
56.2. Различные виды записи формулы Фурье ............................. 78
56.3. Главное значение интеграла .................................................... 79
56.4. Комплексная запись интеграла Фурье ................................... 81
56.5. Преобразование Фурье .............................................................. 81
56.6. Интегралы Лапласа ................................................................... 84
56.7. Свойства преобразования Фурье абсолютно интегрируемых функций ......................................................................................... 86
56.8. Преобразование Фурье производных ...................................... 88
56.9. Свертка и преобразование Фурье ........................................... 90
56.10. Производная преобразования Фурье функции ..................... 93
ГЛАВА VIII
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 57. Метрические пространства ..................................................................... 96
57.1. Определения и примеры ............................................................. 96
57.2. Полные пространства .................................................................. 101
57.3. Отображения метрических пространств ................................... 107
57.4. Принцип сжимающих отображений ......................................... 111
57.5. Пополнение метрических пространств ..................................... 116
57.6. Компакты ....................................................................................... 120
57.7. Непрерывные отображения множеств ...................................... 132
57.8. Связные множества ...................................................................... 133
57.9. Критерий Арцела компактности систем функций ................ 134
§ 58. Линейные нормированные и полунормированные пространства 137
58.1. Линейные пространства ............................................................. 137
58.2. Норма и полунорма .................................................................. 148
58.3. Примеры нормированных и полунормированных пространств 150
3
58.4. Свойства полунормированных пространств .......................... 156
58.5. Свойства нормированных пространств .................................. 161
58.6. Линейные операторы ................................................................. 168
58.7. Билинейные отображения нормированных пространств ... 176
58.8. Дифференцируемые отображения линейных нормированных пространств .................................................................................. 181
58.9. Формула конечных приращений .............................................. 185
58.10. Производные высших порядков .............................................. 187
58.11. Формула Тейлора ....................................................................... 189
§ 59. Линейные пространства со скалярным произведением ..................... 191
59.1. Скалярное и почти скалярное произведения ......................... 191
59.2. Примеры линейных пространств со скалярным произведением 195
59.3. Свойства линейных пространств со скалярным произведением.
~ Тильбертовы пространства ....................................................... 197
59.4. Пространство L2 .......................................................................... 202
§ 60. Op i (нормированные базисы и разложения по ним .......................... 220
60.1. Ортонормированные системы ................................................... 220
60.2. Ортогонализация ......................................................................... 224
60.3. Полные системы. Полнота тригонометрической системы и системы полиномов Лежандра ................................................ 226
60.4. Ряды Фурье ................................................................................. 230
60.5. Существование базиса в сепарабельных гильбертовых пространствах. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространств ........................................................................................ 240
60.6. Разложение функций с интегрируемым квадратом в ряд Фурье ............................................................................................. 244
60.7. Ортогональные разложения гильбертовых пространств в
прямую сумму ............................................................................ 249
Функционалы гильбертовых пространств .............................. 255
Преобразование Фурье интегрируемых в квадрате функций.
Теорема Планшереля ................................................................. 258
§ 61. Обобщенные функции ............................................................................. 268
61.1. Общие соображения ..................................................................... 268
61.2. Линейные пространства со сходимостью. Функционалы. Со-
пряженные пространства ........................................................... 275
61.3. Определение обобщенных функций. Пространства D и D' 279
61.4. Дифференцирование обобщенных функций ............................. 285
61.5. Пространство основных функций S и пространство обобщен-
ных функций S" ......................................................................... 289
61.6. Преобразование Фурье в пространстве S .............................. 292
61.7. Преобразование Фурье обобщенных функций ....................... 295
ДОПОЛНЕНИЕ
§ 62. Некоторые вопросы приближенных вычислений ................................ 305
62.1. Применение формулы Тейлора для приближенного вычисле-
ния значений функций и интегралов .................................. 305
62.2. Решение уравнений ....................................................................... 309
62.3. Интерполяция функций ............................................................... 316
62.4. Квадратурные формулы .............................................................. 318
62.5. Погрешность квадратурных формул ........................................ 321
62.6. Приближенное вычисление производных ................................. 326
§ 63. Разбиение множества на классы эквивалентных элементов ........... 329
§ 64. Предел по фильтру ................................................................................ 331
64.1. Топологические пространства ..................................................... 331
64.2. Фильтры ......................................................................................... 333
64.3. Предел фильтра ............................................................................ 337
64.4. Предел отображения по фильтру ............................................. 338
Предметно-именной указатель ....................................................................... 344
Указатель основных обозначений ................................................................. 351
ПРЕДИСЛОВИЕ
В первой половине третьего тома «Курса математического анализа» излагается теория тригонометрических рядов Фурье: сначала изучается их поточечная сходимость и сходимость в среднем, а затем классическая теория преобразования Фурье абсолютно интегрируемых функций. Изложена также теория интегралов, зависящих от параметра (собственных и несобственных) и рассматривается вопрос о вычислении определенных интегралов с помощью дифференцирования и интегрирования интегралов по параметру.
Во второй половине третьего тома изучаются некоторые вопросы теории метрических, нормированных, гильбертовых пространств и пространств обобщенных функций, идейно связанные с задачами классического анализа. Эта часть курса существенно расширена по сравнению с первым изданием «Курса». В ней, в частности, установлен ряд свойств отображений метрических пространств, обобщающих свойства числовых функций, получена формула Тейлора для отображений нормированных пространств, изложены основы теории разложений элементов гильбертовых пространств в ряды Фурье по ортогональным системам и дана теория преобразования Фурье обобщенных функций.
В конце тома имеется «Дополнение», в котором рассмотрены некоторые вопросы численных методов анализа (приближенное вычисление значений функции, ее производной и интеграла от нее, приближенное решение уравнений) и теория предела отображения по фильтру, которая включает в себя как частный случай пределы, изучавшиеся в «Курсе» ранее.
Нумерация глав, параграфов и рисунков продолжает нумерацию первых двух томов курса.
Цена: 150руб.
