СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие к пятому изданию..........."... 7
Предисловие к девятому изданию............. 8
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Отдел I. Введение в анализ.............. 9
§ 1. Вещественные числа......,....... 9
§ 2. Теория последовательностей , .• . ,...... 1-4
§ 3. Понятие функции................ 26
§ 4. Графическое изображение функции ....... 33
§ 5. Предел функции................ 45
§ 6. 0-символика.................. 66
§ 7. Непрерывность функции ,........... 69
§ 8. Обратная функция. Функции, заданные-параметрически . ..................... 78
§ 9. Равномерная непрерывность функции...... 81
§ 10. Функциональные уравнения .....;..... 84
Отдел II. Дифференциальное исчисление функций одной
переменной................. 87
§ I. Производная явной функции .......... 87
§ 2. Производная обратной функции. Производная функции, заданной параметрически. Производная
функции, заданной в неявном виде...... .'102
§ 3. Геометрический смысл производной....... 104
§ 4. Дифференциал функции............. 108
§ 5. Производные и дифференциалы высших порядков 111
§ 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши....... 120
§ 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства . . 126
§ 8. Направление вогнутости. Точки перегиба .... 130
§ 9. Раскрытие неопределенностей.......... 132
§ 10. Формула Тейлора . .............. 136
§ 11. Экстремум функции; Наибольшее и .наименьшее -#-•
значения функция .............. . 140
СОДЕРЖАНИЕ
§ 12. Построение графиков функций по характерным
точкам..................... 145
§ 13. Задачи на максимум и минимум функций .... 147
§ 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта . . . 150
§ 15. Приближенное решение уравнений........ 152
Отдел III. Неопределенный интеграл..........154
§ 1. Простейшие неопределенные интегралы......154
§ 2. Интегрирование рациональных функций .....163
§ 3. Интегрирование некоторых иррациональных функций 166 § 4. Интегрирование тригонометрических функций . . . 170 § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций .......................175
§ 6. Разные примеры на интегрирование функций ... 178
Отдел IV. Определенный интеграл...........181
§ 1. Определенный-интеграл как предел суммы .... 181 § 2. Вычисление определенных интегралов с помощью
неопределенных ................185 •
§ 3. Теоремы о среднем...............196
§ 4. Несобственные интегралы............199
§ 5. Вычисление площадей .............206
§ 6. Вычисление длин дуг.............. 210
• § 7. Вычисление объемов..............212
§ 8. Вычисление площадей поверхностей вращения, . , 214 § 9. Вычисление моментов. Координаты центра тяжести 215
§ 10. Задачи из механики и физики.........217
§ 11. Приближенное вычисление определенных интегралов..................... 219
Отдел V. Ряды................'......222
§ 1. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов .................222
§ 2. Признаки сходимости знакопеременных рядов . . 234
§ 3. Действия над рядами..............239
§ 4. Функциональные ряды.............'241
§ 5. Степенные ряды................253
§ 6. Ряды Фурье.................. 264
§ 7. Суммирование рядов..............269
§ 8. Нахождение определенных интегралов с помощью
рядов.....................273
§ 9. Бесконечные произведения...........274
§ 10. Формула Стерлинга ..............280
§ П.. Приближение непрерывных функций многочленами 281
СОДЕРЖАНИЕ
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Отдел VI. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных...............284
§ 1. Предел функции. Непрерывность.........284
§ 2. Частные производные. Дифференциал функции . . 290
§ 3. Дифференцирование неявных функций...... 303
§ 4. Замена переменных.............. . 312
§ 5. Геометрические приложения...........324
§ 6. Формула Тейлора................329
§ 7. Экстремум функции нескольких переменных . . . 332
Отдел VII. Интегралы, зависящие от параметра . ... 340
§ 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра . 340 § 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.
Равномерная сходимость интегралов.......346
§ 3. Дифференцирование и интегрирование -несобственных интегралов под знаком интеграла ...... 352
§ 4. Эйлеровы интегралы...............359
§ 5. Интегральная формула Фурье..........362
Отдел VIII. Кратные и криволинейные интегралы . . . 365
§ 1. Двойные интегралы............... 365
§ 2. Вычисление площадей............. 373
§ 3. Вычисление объемов.............. 375
§ 4. Вычисление площадей поверхностей....... 377
§ 5. Приложения двойных интегралов к механике . . 379
§ 6. Тройные интегралы ............... 382
§ 7. Вычисление объемов с помощью тройных интегралов 385
§ 8. Приложения тройных интегралов к механике . . 388
§ 9. Несобственные двойные и тройные интегралы . . 392
§ 10. Многократные интегралы -,........... 396
§11. Криволинейные интегралы .'.......... 399
§ 12. Формула Грина ..........;..... 408
§ 13. Физические приложения криволинейных интегралов 412
§ 14. Поверхностные интегралы ............ 414
§ 15. Формула Стокса................ 419
§ 16. Формула Остроградского............ 421
§ 17. Элементы теории поля............. 425
Ответы..........................433
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
Пятое издание Сборника почти полностью включает задачи предыдущих изданий. Добавлено свыше 200 новых задач, главным образом теоретического характера (на доказательство формул и неравенств, на исследование сходимости итерационных процессов, на исследование равномерной непрерывности функций, на .исследование дифференцируемости функций и др.). Увеличено число примеров на гиперболические функции. Значительно пополнен отдел VIII «Кратные и криволинейные интегралы». Номера старых задач, за исключением небольшого числа их, сохранены неизменными; заменены лишь номера следующих старых задач: 149 на 149(н), 162 на 162(н), 178 на 178(н), 576 на 576.1, 627(ж) на 1373.2, 806 на 806.1, 1297 на 1393.3, 2412 на 2412(н), 2605 на 2605(н), 2606 на 2606(н). Номера новых задач оформлялись с помощью дробной десятичной нумерации, например задачи, вставленные непосредственно после № 2123, имеют номера 2123.1, 2123.2, 2123.3 и т. д.
Часть новых задач оригинальна, а часть заимствована из известных задачников и руководств. В частности, были использованы книги: D-r D. S. Mitrinovic", Zbornik mathematiekih problema, I (Beograd, 1958); R.7 В и с k, Advanced calculus (New York—Toronto—London, 1956); H. M. Гюнтер и P.O. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, ч. II, изд. 10 (Л.— М., 1933). Устранены также замеченные неточности в теоретических введениях к параграфам отделов и ошибки в ответах.
В новом издании Сборника учтены отдельные замечания работников кафедры математического анализа Московского государственного университета. Приношу им свою благодарность. Особую признательность выражаю доценту МГУ А. Ф. Филиппову за ценные советы.
Москва, 1961 г.' Б. П. Демидович
Цена: 150руб.
