[37 Линейная алгебра: Учеб. пособие. — 2-е изд. исп. и доп. — М.: Гардарики, 1999. — 360 с. ISBN 5-8297-0013-1 (в пер.)
Приведены методические разъяснения и даны практические советы к решению задач по основным разделам линейной алгебры. Значительное внимание уделено построению часто встречающихся в вычислительной практике мультипликативных разложений матриц, обращению прямоугольных матриц, решению систем линейных уравнений обычными и итерационными методами, а также по методу наименьших квадратов, практическому применению симметрических (эрмитовых) и ортогональных (унитарных) преобразований, и т.п.
Предназначено для студентов, обучающихся по специальностям «экономика», «экономическая кибернетика», «инженерная технология», «информатика», «физика», «математика», «прикладная математика» и др., а также для специалистов, применяющих в своей практической деятельности идеи и методы линейной алгебры.
Оглавление
Предисловие 7
Глава 1. Первоначальные сведения 9
1.1. Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).......................... 9
1.2. Начальные сведения о матрицах. Действия с матрицами 16
1.3. Определители......................... 20
1.4. Крамеровские системы линейных уравнений ...... 26
1.5. Обратная матрица...................... 27
1.6. Разложение квадратной матрицы на треугольные множители ............................ 30
1.7. Алгебраические операции, группы, кольца, поля .... 33
1.8. Упражнения....................•, . . . . 38
Глава 2. Линейные пространства 41
2.1. Определение линейного пространства .......... 41
2.2. Линейная зависимость векторов ...... ....... 43
2.3. Ранг матрицы........................ 46
2.4. Базис, координаты векторов, изоморфизм линейных пространств . . . :..................... 49
2.5. Преобразование координат вектораЪри переходе от базиса к базису......................... 52
2.6. Системы линейных уравнений.............. . 56
2.7. Линейные подпространства................ 61
2.8. Упражнения..............."......... . 68
Глава 3. Линейные операторы в линейных пространствах 73
3.1. Определение и примеры линейных операторов ..... 73
3.2. Матрица линейного оператора.............. 74
3.3. Связь между координатами вектора-образа и вектора-прообраза . .......................... 78
3.4. Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах ............................. 80
3.5. Действия с линейными операторами........... 81
3.6. Характеристический и минимальный многочлены ... 83
3.7. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора........................ 89
3.8. Линейные операторы простой структуры........ 93
3.9. Упражнения ......................... 99
Глава 4. Каноническая жорданова форма матриц 103
4.1. Предварительные замечания................ 103
4.2. Построение жорданова'базиса, жордановой и трансформирующей матриц...................... 110
4.3. Второй способ построения жордановой и трансформирующей матриц ....................... 120
4.4. Третий способ построения жордановой и трансформирующей матриц........... '............ 124
4.5. К построению минимального многочлена....... . 129
4.6. Упражнения.....................' . i . . 131
Глава 5. Функции от матриц 132
5.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра . 132
5.2. Функции от матриц.................... . . 134
5.3. Спектральное разложение матрицы f(A) ........ 136
, 5.4. Представление функций от матриц рядами....... 140
5.5. Некоторые приложения функций от матриц....... 140
Глава 6. Евклидовы и унитарные пространства 146
6.1. Определение евклидова пространства. Матрица Грама 146
6.2. Длины и углы. Ортогональность. Процесс ортогонали-зации............................. 148
6.3. Ортонормированные базисы................ 152
6.4. Ортогональное дополнение. Ортогональная проекция вектора на подпространство................ 153
6.5. Изоморфизм евклидовых пространств.......... 156
6.6. Понятие об унитарном пространстве........... 157
6.7. Линейные операторы в евклидовом пространстве . . .161
6.8. Линейные операторы в унитарном пространстве .... 182
6.9. QR — разложение матри- цы ............... 192
6.10. Сингулярное разложение матрицы . . . ......... 197
6.11. Полярное разложение матрицы.............. 206
6.12. Скелетное разложение матрицы.............. 209
6.13. Псевдообратная матрица.................. 211
6.14. Решение систем линейных уравнений по методу наименьших квадратов .............. ....... 218
6.15. Метод регуляризации для систем линейных уравнений 229
6.16. Нормы векторов и матриц................. 232
6.17. Оценка погрешности решения системы линейных уравнений............................. 235
6.18. Отыскание устойчивого решения системы линейных уравнений................• • •........ 238
6.19. Рекомендации к решению систем линейных уравнений
на ЭВМ............................ 243
6.20. Упражнения ......................... 250
Глава 7. Квадратичные формы 259
7.1. Определение квадратичной формы............ 259
7.2. Линейное преобразование переменных.......... 260
7.3. Преобразование квадратичной формы при линейном преобразовании переменных................ 261
7.4. Приведение квадратичной формы к каноническому виду 263
7.5. Закон инерции квадратичных форм........... 268
7.6. Знакоопределенные квадратичные формы........ 270
7.7. Распадающиеся квадратические формы........ . 272
7.8. Квадратичные формы в евклидовом пространстве ... 273
7.9. Пары квадратичных форм................. 276
7.10. Квадратичные формы в комплексном пространстве . . 280 7.И. Упражнения...............•.'•••...... 287
Глава 8. Итерационные методы решения систем линейных уравнении 291
8.1. Метод итераций....................... 291
8.2. Метод Зейделя......................... 295
8.3. Приведение линейной системы к виду, удобному для итераций........................... 297
8.4. Упражнения......................... 301
1 •
Глава 9. Итерационные методы отыскания собственных
значении и србственных векторов 302
9.1. Метод итераций........................ 302
9.2. Метод вращений (метод Якоби).............. 307
9.3. фЛ-алгоритм........................ 316
9.4. Степенной метод...................... 320
9.5. Метод скалярных произведений.............. 325
9.6. Упражнения......................... 327
Глава 10. Элементы n-мерной аналитической геометрииЗЗО
10.1. Аффинные пространства.................. 330
10.2. Координаты в конечномерном аффинном пространстве 331
10.3. Плоскости в конечномерном аффинном пространстве . 333
10.4. Гиперповерхности второго порядка в аффинном про- . странстве . . . :....................... 336
10.5. Точечно-векторное евклидово пространство....... 342
10.6. Гиперплоскости второго порядка в евклидовом пространстве........................... 344
10.7. Упражнения......................... 358
Литература 359
Предисловие
Линейная алгебра занимает важное место в вузовском образований математиков, физиков, инженеров, экономистов и многих других специалисток Опыт преподавания этой дисциплины показывает, что у студентов возникает много затруднений при изучении этого предмета и особенно при выполнении ими лабораторных и практических заданий. Этим можно объяснить тот факт, что первое издание пособия (Пермь: Пермский гос. ун-т, 1996) быстро разошлось и успешно используется в учебном процессе во многих вузах.
Предлагаемое учебное пособие посвящено практическим вопросам линейной алгебры. Оно обобщает многолетний опыт работы автора со студентами, обучающимися по специальностям «экономическая кибернетика», «математическое моделирование экономических процессов», «информатика», «математика», «физика», «механика».
Цель пособия — оказать помощь студентам в выполнении лабораторных работ и практических заданий, помочь им глубже усвоить идеи и методы предмета, наказать их важность для решения прикладных задач, которые встречаются при анализе больших массивов информации в экономике, социологии, техническом мониторинге и других исследованиях. В пособии приводятся методические разъяснения и даются практические советы по решению задач всех основных разделов линейной алгебры.
Значительное внимание уделено практическому применению ортогональных (унитарных) преобразований, построению часто встречающихся в вычислительной практике разложений матриц, обращению прямоугольных матриц, функциям от матриц, квадратичным формам, решению систем линейных уравнений обычными методами, итерационными методами и по методу наименьших квадратов, решению полной и частичной проблем собственных значений и собственных векторов, элементам n-мерной геометрии. Обсуждаемые вопросы, понятия и методы поясняются на многочисленных примерах с подробными решениями; при этом показывается как применять эти методы
Цена: 150руб.
