Эта книга представляет собой существенно переработанный и сильно расширенный вариант «Элементов теории функций и функционального анализа» тех же авторов, вышедших двумя отдельными выпусками в 1954 и 1960 годах. Настоящее издание соответствует, в основном, той программе курса «Анализ III», которая "принята в МГУ и в ряде других университетов. Книга рассчитана в первую очередь на студентов механико-математических и физико-математических факультетов университетов. Для ее чтения необходимо владение основами математического - анализа и линейной алгебры. Первая глава содержит основные теоретико-множественные понятия. В главах II—IV изложена теория линейных пространств, включающая элементы теории обобщенных функций. Эти главы, а также примыкающая к ним глава X, посвященная некоторым вопросам нелинейного функционального анализа, не предполагают знакомства с понятием меры и лебеговской теорией интегрирования. Теория меры, измеримые функции, интеграл Лебега, а также лебеговская теория дифференцирования и линейные пространства, состоящие из измеримых функций (Z-i, L^), излагаются в главах V—VII. Глава VIII содержит ряды Фурье и интеграл Фурье. В гл. IX изложены основные факты из теории интегральных уравнений. -
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............................. Ю
Г Л А В А 1
Элементы теории множеств..................... И
§ 1. Понятие множества. Операции над множествами......... 11
1. Основные определения (11). 2. Операции над множествами (11).
§ 2. Эквивалентность множеств. Понятие мощности множества .... 14
1 Конечные и бесконечные множества (14). 2. Счетные множества (15). 3. Эквивалентность множеств (17). 4. Несчетность множества действительных чисел (19). 5. Понятие мощности множества (20). 6. Теорема Кантора — Бернштейна (23).
§ 3. Отображения. Разбиения на классы..............• • 24
1. Отображения множеств. Общее понятие функции (24). 2. Разбиение на классы. Отношения эквивалентности (26).
§ 4. Упорядоченные множества. Трансфинитные числа......... 29
1. Частично упорядоченные множества (29). 2. Отображения, сохраняющие порядок (30). 3. Упорядоченные множества. Порядковые типы (31). 4. Упорядоченная сумма упорядоченных множеств (32). 5. Вполне упорядоченные множества. Трансфинитные числа (32). 6. Сравнение порядковых чисел (34). 7. Аксиома выбора, теорема Цермело и другие эквивалентные им утверждения (36). 8. Трансфинитная индукция (38).
§ 5. Системы множеств................•....... 39
1.
кольцом (42). 4. Борелевские алгебры (43),
Кольцо множеств (39). 2. Полукольцо множеств (40). 3. Кольцо, порожденное полу-льцом (42). 4. Борелевские алгебры (43). 5. Системы множеств и отображения (45).
Г Л А В А II
Метрические и топологические пространства............ 46
§ 1. Понятие метрического пространства............• • • 46
1. Определение и основные примеры (46). 2. Непрерывные отображения метрических пространств. Изометрия (53).
§ 2. Сходимость. Открытые и замкнутые множества.......... 55
1. Предельные точки. Замыкание (55). 2. Сходимость (56J. 3. Плотные подмножества (57). 4. Открытые и замкнутые множества (58). 5. Открытые* и замкнутые множества на прямой (60).
§ 3. Полные метрические пространства................ 64
1. Определение и примеры полных метрических пространств (64). 2. Принцип вложенных шаров (67). 3. Теорема Бэра (68). 4. Пополнение пространства (69).
1*
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 4. Принцип сжатых отображений и его применения......... 72
1. Принцип сжатых отображений (72). 2. Простейшие применения принципа сжатых отображений (74). 3. Теоремы существования и единственности для дифференциальных уравнений (76). 4. Применение принципа сжатых отображений к интегральным уравнениям (79). г
§ 5. Топологические пространства................... 82
1. Определение и примеры топологических пространств (82). 2. Сравнение топологий (84). 3. Определяющие системы окрестностей. База. Аксиомы счетности (85). 4. Сходящиеся последовательности в Т (88). 5. Аксиомы отделимости (89). 6. Непрерывные отображения. Гомеоморфизм (92). 7. Различные способы задания топологии в пространстве. Метри- ——-зуемость (94).
§ 6. Компактность.......................... 95
1. Понятие компактности (95). 2. Непрерывные отображения компактных пространств (97;. 3. Счетная компактность (98). 4. Относительно компактные множества (100).
§ 7. Компактность в метрических пространствах...........101
1. Полная ограниченность (101). 2. Компактность и полная ограниченность (103). 3. Относительная компактность подмножеств в метрическом пространстве (104). 4. Теорема Ар-цела (105). 5. Теорема Пеано (108). 6. Обобщенная теорема Арцела (ПО).
§ 8. Действительные функции на метрических и топологических пространствах..............................111
1. Непрерывные и равномерно непрерывные функции и функционалы (111). 2. Непрерыв. ные и полунепрерывные функции на компактных пространствах (113).
§ 9. Непрерывные кривые в метрических пространствах........115
ГЛАВ А III
Нормированные и топологические линейные пространства.....120
§ 1. Линейные пространства.....................120
1. Определение и примеры линейных пространств (120). 2. Линейная зависимость (122). 3. Подпространства (123). 4. Факторпространства (124). 5. Линейные функционалы (125). 6. Геометрический смысл линейного функционала (127).
§ 2. Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Теорема Хана — Банаха.....................................129
1. Выпуклые множества -и выпуклые тела (129). 2. Выпуклые функционалы (132). 3. Функционал Минковского (132). 4. Теорема Хана —Банаха (133). 5. Отделимость выпуклых множеств в линейном пространстве (137).
§ 3. Нормированные пространства...................138
1. Определение и примеры" нормированных пространств (138). 2. Подпространства нор-.мированного пространства (149).
§ 4. Эвклидовы пространства.....................142
1. Определение эвклидовых пространств (142). 2. Примеры (143). 3. Существование ортогональных базисов, ортогонализация (145). 4. Неравенство Бесселя. Замкнутые ортогональные системы-(148)- 5. Полные эвклидовы пространства. Теорема Рисса —Фишера (151). Ь. Гильбертово пространство. Теорема об изоморфизме (153). 7. Подпространства, ортогональные дополнении прямая сумма (156). 8. Характеристическое свойство эвклидовых пространств (160). 9. Комплексные эвклидовы пространства (162).
§ 5. Топологические линейные пространства..............165
" прбмерь| (165)- 2i Локальная выпуклость (167). 3. Счетно-нормирован
ОГЛАВЛЕНИЕ _ 5
ГЛАВА IV
Линейные функционалы и линейные операторы..........172
§ 1. Непрерывные линейные функционалы...............172
1 Непрерывные линейные функционалы в топологических линейных пространствах (172). 2* Связь между непрерывностью линейного функционала и его ограниченностью на ограниченных множествах (173). 3. Непрерывные линейные функционалы в нормированных пространствах (174). 4. Теорема Хана —Банаха в нормированном пространстве (177). 5. Линейные функционалы в счетно-нормированных пространствах (178). 6. Существование достаточного множества непрерывных линейных функционалов (179).
§ 2. Сопряженное пространство....................180
1. Определение сопряженного пространства (180). 2. Пространство, сопряженное к нормированному (181). 3. Примеры сопряженных пространств (183). 4. Структура пространства, сопряженного к счетно-нормированному (186). 5. Топология в сопряженном пространстве (188). 6. Второе сопряженное пространство (189).
§ 3. Слабая топология и слабая сходимость .".............192
1. Слабая топология в линейном топологическом пространстве (192). 2. Слабая сходимость (192). 3. Слабая топология и слабая сходимость в сопряженном пространстве (197).
4. *-слабая топология в ограниченных множествах (199).
§ 4. Обобщенные функции......................202
1. Расширение понятия функции (202). 2. Пространство основных функций (204). 3. Обобщенные функции (205). 4. Действия над обобщенными функциями (206). 5. Достаточность запаса основных функций (210). 6. Восстановление функции по производной. Дифференциальные уравнения в классе обобщенных функций (211). 7. Неко-Tjpbii обобщения (214).
§ 5. Линейные операторы........................217
1. Определение и примеры линейных операторов (217). 2. Непрерывность и ограниченность (221). 3. Сумма и произведение операторов (223). 4. Обратный оператор. Обратимость (224). 5. Сопряженные операторы (229). 6. Сопряженный оператор в эвклидовом пространстве. Самосопряженные операторы (231). 7. Спектр оператора. Резольвента (232).
§ 6. Вполне непрерывные операторы.................235
1. Определение и примеры вполне непрерывных операторов (235). 2. Основные свойства вполне непрерывных операторов (239). 3. Собственные значения вполне непрерывного оператора (242). 4. Вполне непрерывные операторы в гильбертовом пространстве (244).
5. Самосопряженные вполне непрерывные операторы в Я (2^4).
ГЛАВА V
Мера, измеримые функции, интеграл................249
§ 1. Мера плоских множеств.....................249
1. Мера элементарных множеств (249). 2. Лебеговская мера плоских множеств (253). 3. Основные свойства меры Лебега и измеримых множеств (254). 4. Некоторые дополнения и обобщения (261).
§ 2. Общее понятие меры. Продолжение меры с полукольца на кольцо. Аддитивность и а-аддитивность................' • 264
1- Определение меры (264).- 2. Продолжение меры с полукольца на порожденное им кольцо (265). 3. Счетная аддитивность (267).
§ 3. Лебеговское продолжение меры.................270
1. Лебеговское продолжение меры, определенной на полукольце с единицей (270). 2. Продолжение меры, заданной на полукольце без единицы (274). 3. Продолжение меры по ^ордану (276). 4. Однозначность продолжения меры (277).
6 . ОГЛАВЛЕНИЕ
»
§ 4. Измеримые функции........................ 279
1. Определение и основные свойства измеримых функций (279). 2. Простые функции (280). 3. Арифметические действия над измеримыми функциями (281). 4. Эквивалентность (282). 5. Сходимость почти всюду (283). 6. Теорема Егорова (284). 7. Сходимость по мере (235). 8. Теорема Лузина. С-свойство (288).
§ 5. Интеграл Лебега.........................288
1. Интеграл Лебега для простых функций (288). 2. Интеграл Лебега на множестве конечной меры (299). 3. о-аддитивность и абсолютная непрерывность интеграла Лебега (293). 4. Предельный переход под знаком интеграла Лебега (298). 5. Интеграл Лебега по множеству бесконечной меры (301). 6. Сравнение интеграла Лебега с интегралом^ Римана (303). ^~~~
§ 6. Прямые произведения систем множеств и мер. Теорема Фубини 306
1. Произведения систем множеств (306). 2. Произведения мер (308). 3. Выражение плоской меры через интеграл линейной меры сечений и геометрическое определение интеграла Лебега (309). 4. Теорема Фубини (313).
ГЛАВ А VI
Неопределенный интеграл Лебега. Теория дифференцирования 316
§ 1. Монотонные функции. Дифференцируемость интеграла по верхнему пределу...............................317
1. Основные свойства монотонных функций (317). 2. Дифференцируемость монотонной функции (320). 3. Производная интеграла по верхнему пределу (325).
§ 2. Функции с ограниченным изменением..............326
§ 3. Производная неопределенного интеграла Лебега......... 330
§ 4. Восстановление функции по ее производной. Абсолютно непрерывные функции.............................332
§ 5. Интеграл Лебега как функция множества. Теорема Радона — Нико-дима.................................342
1. Заряды. Разложение Хана и разложение Жордана (342). 2. Основные типы зарядов (345.). 3. Абсолютно непрерывные заряды. Теорема Радона — Никодима (346).
§ 6. Интеграл Стилтьеса.......................349
S
1. Меры Стилтьеса (349). 2. Интеграл Лебега —Стилтьеса (351). 3. Некоторые применения интеграла Лебега — Стилтьеса в теории вероятностей (353). 4. Интеграл Римана—Стилтьеса (355). 5. Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса (358). 6. Общий вид линейных непрерывных функционалов в пространстве непрерывных функ-
Г Л А В А VII
Пространства суммируемых функций ................366
§ 1. Пространство L{.........................366
1. Определение и основные свойства пространства I, (366). 2. Всюду плотные множества в ?, (368).
§ 2. Пространство ?2...........• •............ 372
1. Определение и основные свойства (372). 2. Случай бесконечной меры (375). 3. Всюду плотные множества в i2. Теорема об изоморфизме (377). 4. Комплексное пространство Z.j (378). 5. Сходимость в среднем квадратичном и ее связь с другими типами сходимости функциональных последовательностей (378).
ОГЛАВЛЕНИЕ 7
§ 3. Ортогональные системы функций в Lv Ряды по ортогональным ^ системам................
1 тригонометрическая система. Тригонометрический ряд Фурье (381). 2. Тригонометри-РР системы на отрезке [0, я] (384). 3. Ряды Фурье в комплексной форме (335). ГТнпгочлены Лежанада (386 . 5. Ортогональные системы в произведениях. Кратные t™ Фурье ЪззГ 6. Многочлены, ортогональные относительно данного веса (393). ? Ортогональный базис в пространстве i, (-co, со). Функции Эрмита (392). 8. Ортогональные многочлены с дискретным весом (393).
ГЛАВА VIII
Тригонометрические ряды. Преобразование Фурье.........396
§ 1. Условия сходимости ряда Фурье.................396
1. Достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке (396). 2. Условия равномерной сходимости ряда Фурье (402).
§ 2. Теорема Фейера.........................- 405
1. Теорема Фейера (405). 2. Полнота тригонометрической системы. Теорема Вейер-штрасса (408). 3. Теорема Фейера для пространства ?, (409).
§ 3. Интеграл Фурье . . . "......................409
1. Основная теорема (409). 2. Интеграл Фурье в комплексной форме (413).
§ 4. Преобразование Фурье, его свойства и применения........413
1. Преобразование Фурье и формула обращения (413). 2. Основные свойства преобразот вания Фурье (417). 3. Полнота функций Эрмита и Лагерра (420). 4. Преобразование Фурье быстро убывающих бесконечно дифференцируемых функций (421). 5. Преобразование Фурье и свертка функций (422). 6. Применение преобразования Фурье к решению уравнения теплопроводности (423). 7. Преобразование Фурье функций нескольких переменных (425).
§ 5. Преобразование Фурье в пространстве L2 (—зо, оо)........428
1. Теорема Планшереля (428). 2. функции Эрмита (431).
§ 6. Преобразование Лапласа.............•..........434
1. Определение и основные свойства преобразования Лапласа (431). 2. Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений (операторный метод) (436).
§ 7. Преобразование Фурье — Стилтьеса...............438
1. Определение преобразования Фурье—Стилтьеса (438). 2. Применения преобразования Фурье — Стилтьеса в теории вероятностей (440).
§ 8. Преобразование Фурье обобщенных функций...........442
г л А в A ix
Линейные интегральные уравнения.................445
§ 1. Основные определения. Некоторые задачи, приводящие к интегральным уравнениям...........................445
1. Типы интегральных уравнений (445). 2. Примеры задач, приводящих к интегральным
VDaBHPUUau /ЛЛЛ\ \ / Г Г Г г
8 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 2. Интегральные уравнения Фредгольма...............449
1. Интегральный оператор Фредгольма (449). 2. Уравнения с симметрическим ядром (452). 3. Теоремы Фредгольма. Случай вырожденных ядер> (454). 4.'Теоремы Фредгольма для уравнений с невырожденными ядрами (456). 5. Уравнения Вольтерра (461). 6. Интегральные уравнения первого рода (461).
§ 3. Интегральные уравнения, содержащие параметр. Метод Фредгольма 463
1. Спектр вполне непрерывного оператора в Н (463). 2. Отыскание решения в виде ряда ' по степеням К. Детерминанты Фредгольма (464).
ГЛАВА X
Элементы дифференциального исчисления в линейных пространствах ................................
§ 1. Дифференцирование в линейных пространствах..........469
1. Сильный дифференциал (дифференциал Фреше) (469). 2. Слабый дифференциал (дифференциал Гато) (471). 3. Формула конечных приращений (472). 4. Связь между слабой и сильной дифференцируемостью (473). 5. Дифференцируемые функционалы (475). 6. Абстрактные функции (475). 7. Интеграл (475). 8. Производные высших порядков (478). 9. Дифференциалы высших порядков (480). 10. Формула Тейлора (480).
§ 2. Экстремальные задачи......................482
1. Необходимое условие экстремума (483). 2. Второй дифференциал. Достаточные условия экстремума функционала (487).
§ 3. Метод Ньютона......................... 488
Литература.....................;....... 492
Распределение литературы по главам................. 493
Предметный указатель....................... 494
ПРЕДИСЛОВИЕ
Первое издание «Элементов теории функций и функционального анализа» вышло двумя отдельными выпусками в 1954 и 1960 годах. Появление этих выпусков было связано с включением в конце 40-х годов в программу механико-математического факультета МГУ курса «Анализ III», объединявшего элементы теории меры и теории функций, интегральные уравнения, сведения из функционального анализа, а позже и вариационное исчисление. Этот курс, читавшийся в МГУ сперва А. Н. Колмогоровым, а потом и другими лекторами, в том числе С. В. Фоминым, вошел в дальнейшем и в программы других университетов. Вместе с тем выпущенная в свет небольшим тиражом наша книга быстро разошлась и уже давно возник вопрос о ее переиздании.
В свое время замена в МГУ отдельных курсов теории функций действительного переменного, интегральных уравнений и вариационного исчисления единым курсом «Анализ III» вызвала большие споры. Перед курсом была поставлена задача приучить студентов к двойному зрению: с одной стороны, следить за внутренней логикой развития теории множеств, общей теории непрерывных отображений .метрических и топологических пространств, линейных пространств и функционалов и операторов на них, чистой теории меры и интегрирования в общих «пространствах с мерой», с другой — не упускать из виду обслуживаемую этими более абстрактными областями математики проблематику классического и даже прикладного анализа.
При решении этой задачи мы в планировке книги отдаем предпочтение абстрактной линии построения курса. От общей теории множеств (глава I) можно перейти либо SK метрическим и топологическим пространствам и их непрерывным отображениям (глава II), либо непосредственно к пространствам с мерой (без топологии) и интегрированию в них (глава V). В главах III и IV изучаются линейные пространства и линейные функционалы и операторы в них. От этих глав возможен прямой переход к главе X (нелинейные дифференцируемые операторы и функционалы). В главе VII изучаются линейные пространства суммируемых функций. Лишь в главах VI и VIII внимание, по существу, сосредоточено на функциях действительного переменного.
Цена: 150руб.
