СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие............................• 13
Введение............................... 15
Глава 1. Аналитическая геометрия на плоскости...........19
§ I. Точки и координаты....................... 13
п° 1. Прямоугольная система координат.............. 19
п° 2. Расстояние между двумя точками.............. 21
п° 3. Середина отрезка ...................... 22
п" 4. Деление отрезка в данном отношении............ 24
п° 5. Площадь треугольника.................... 26
п° 6. Площадь многоугольника................... 27
§ 2. Линии и уравнения ....................... 29
п° 1. Второй принцип соответствия ................ 29
п° 2. Окружность.......................... 33
§ 3. Прямая линия.......................... 35
п° 1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом......... 35
п° 2. Общее уравнение прямой................... 39
п° 3. Уравнение прямой в отрезках на осях............ 41
п° 4. Угловые соотношения между прямыми............ 43
п° 5. Проведение прямой через одну или две заданные точки ... 46
п° 6. Расстояние от точки до прямой............... 51
§ 4. Эллипс.............................. 56
п° 1. Определение эллипса. Его каноническое уравнение....... 56
п° 2. Исследование формы эллипса................. 58
п° 3. Эллипс как сжатая окружность ............... 61
п° 4. Эксцентриситет эллипса.................... 62
п° 5. Взаимно сопряженные диаметры эллипса........... 62
§ 5. Парабола ............................ 65
п° 1. Определение параболы. Ее каноническое уравнение...... 65
п° 2. Исследование формы параболы................ 67
п° 3. Парабола у = ах?...................... 69
§ 6. Гипербола............................ 70
п° 1. Определение гиперболы, Ее каноническое уравнение...... 70
п° 2. Исследование формы гиперболы............... 71
пс 3. Асимптоты гиперболы..................... 72
1*
4 СОДЕРЖАНИЕ
n" 4. Эксцентриситет гиперболы................... 76
п° 5. Равнобочная гипербола ................... 77
п° 6. Сопряженная гипербола.................... 77
п° 7. Некоторые применения гиперболы............... 78
§ 7. Преобразование координат.................... 79
п° 1. Постановка вопроса ..................... 79
п° 2. Параллельный перенос системы................ 80
п° 3. Поворот системы....................... 81
п° 4. Общий случай преобразования координат........... 82
п° 5. Алгебраическая кривая и ее порядок............. 83
§ 8. Упрощение уравнений кривых 2-го порядка ............ 85
п° 1. Уравнение у — ахг + Ьх + с ................. 85
п° 2. Уравнение Ахг + Су2 + Ох + Еу + F = 0........... 87
п° 3. Общее уравнение второй степени............... 91
п° 4. Примеры. Гипербола, отнесенная к асимптотам........ 92
§ 9. Полярные координаты....................... 96
п° 1. Полярная система координат................. 96
п° 2. Расстояние между двумя точками............... 97
п° 3. Связь между полярными и прямоугольными координатами . . 98
п° 4. Спираль Архимеда...................... 99
п° 5. Гипербэлическая спираль................... 100
п° 6. Лемниската ......................... 101
Глава П. Переменная. Предел. Функция............... 103
§ 1. Переменные и их пределы
103
п° 1. Нумерованная переменная.....L............103
п° 2. Предел...........................105
п° 3. Величины бесконечно малые и бесконечно большие......107
п° 4. Основные свойства переменных величин...........111
п° 5. Неопределенные выражения.................114
п° 6. Раскрытие некоторых типов неопределенностей........115
п° 7. Число е...........................124
п° 8. Натуральные логарифмы ..................127
п° 9. Эквивалентные бесконечно малые..............129
п° 10. Три замечательных предела.................131
п° 11. Сравнение бесконечно малых величин............134
2. Функция .............................137
п° 1. Понятие функции.......................137
п° 2. Различные способы задания функции.............137
п° 3. Графики некоторых функций.................141
п° 4. Понятие о непрерывности функции..............144
п° 5. Элементарные функции....................146
п° 6. Область задания функции. Различные типы промежутков . . . 148 п° 7. Теорема о промежуточном значении непрерывной функции . . . 148 п° 8. Понятие о функциях нескольких переменных..........149
' СОДЕРЖАНИЕ 5
Глава П1- Производная и дифференциал ..............151
§ 1. Производная ...........................151
п" 1. Касательная .........................151
п° 2. Скорость...........................154
п° 3. Плотность стержня......................156
п° 4. Определение производной ..................158
§ 2. Техника дифференцирования элементарных функций........162
п° 1. Производная постоянной ..................162
п° 2. Производная независимой переменной............162
п° 3. Производная степенной функции ..............162
п° 4. Производные синуса и косинуса...............163
п° 5. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения
и частного....................'.....164
п° 6. Производные тангенса и котангенса............. 168
п° 7. Производная показательной функции ............168
п° 8. Производная логарифма ...................169
п° 9. Правило цепочки ......................171
п° 10. Обратные тригонометрические функции и их дифференцирование............................176
п° 11. Особые случаи дифференцирования.............182
§ 3. Дифференциал...........................184
п° 1. Определение дифференциала..................184
п" 2. Геометрический смысл дифференциала.............186
п° 3. Примеры нахождения дифференциала............. 187
п° 4. Об инвариантности записи дифференциала.......... . 188
пэ 5. Примеры применения дифференциала в приближенных подсчетах .............................189
§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков.........192
п° 1. Производные высших порядков................192
п° 2. Дифференциалы высших порядков...............193
§ 5. Исследование функций ......................193
п° 1. Возрастание и убывание функций...............193
п° 2. Экстремум функции......................196
п° 3. Принцип Ферма........................198
п° 4. Второй способ исследования стационарных точек.......205
п° 5. Нахождение наибольшего и наименьшего значения непрерывной
функции ............................ 206
п° 6. Задачи конкретного характера ................209
п° 7. Графики разрывных функций.................215
п° 8. Острый экстремум......................218
§ 6. Основные теоремы дифференциального исчисления.........220
п° 1. Теорема Ролля........................220
п° 2. Формула конечных приращений................220
п^ 3. Обобщенная формула конечных приращений.........221
П0 J- Признак постоянства функции.................222
п 5. Раскрытие неопределенностей.................223
п о. Оценка точности равенства Д 6 СОДЕРЖАНИЕ
§ 7. Формула Тэйлора..................•......225
п° 1. Постановка вопроса.......................225
п° 2. Формула Тэйлора для многочлена ..............226
п° 3. Формула Тэйлора для любой функции............ 228
п° 4. Некоторые другие формы формулы Тэйлора..........232
Глава IV. Некоторые вопросы дифференциальной геометрии.....233
§ 1. Касательная и нормаль................*......233
п° 1. Проведение касательной.................... 233
п" 2. Нормаль............................236
§ 2. Направление вогнутости кривой..................237
п° 1. Направление вогнутости....................237
п° 2. Точки перегиба и выпрямления................239
§ 3. Параметрическое задание кривой..................241
п° 1. Подход к вопросу......................241
п° 2. Параметрические уравнения окружности и эллипса......242
п° 3. Циклоида...........................244
п° 4. Эвольвента окружности....................246
п° 5. Параметрическое дифференцирование.............247
§ 4. Кривизна.............................250
п° 1. Средняя и истинная кривизна................250
п° 2. Формула для вычисления кривизны..............252
п° 3. Случай параметрического задания...............255
п° 4. Случай полярных координат................. 256
п° 5. Окружность, центр и радиус кривизны ............257
п° 6. Понятие об эволютах и эвольвентах..............259
п° 7. Координаты центра кривизны.................260
п° 8. Железнодорожные закругления................263
Глава V. Неопределенный интеграл.................265
§ 1. Общие приемы интегрирования..................265
п° 1. Первообразная........................: . 265
п° 2. Произвольная постоянная. Неопределенный интеграл .....266
п° 3. Таблица основных интегралов ................268
п° 4. Интегрирование суммы и вынесение постоянного множителя 270
п° 5. Способ подстановки......................272
п° 6. Линейные подстановки.............,......276
п° 7. Интегрирование по частям..................277
п° 8. Приведение интеграла к самому себе.............283
п° 9. Интегралы, не выражающиеся элементарно.......... 285
§ 2. Интегрирование рациональных функций..............288
п° 1. Постановка вопроса..................... . 288
п° 2. Некоторые сведения об алгебраических многочленах ...... 289
п° 3. Разложение рациональных дробей на простые........291
п" 4, Интегрирование рациональных дробей ... . . . ... . . ...^.295
СОДЕРЖАНИЕ
о з интегрирование некоторых иррациональностей ...... ..... 298
п° 1. Рационализация подынтегральной функции ......... .298
по 2. Интегралы / ^=±= '* ...... - - - - - - - - 301
§ 4. Интегрирование некоторых трансцендентных функций ........ 302
п° 1. Интегралы Г еахР (х) dx, f Р (х) sin ах dx. Г Р (х) cos ax dx 302 п° 2. Интегралы Г Р (х) In" х dx ..... . . . . . . ... . . . •'. 304
п° 3. Интегралы I sin" х cosm х dx ......... ...... . . 304
п° 4. Интегралы Г tg" х dx и Г ctg" х dx .......... . . 307
п° 5. Интегрирование функций, рациональных относительно sin х и
cos х .................... ....... - . 307
п° 6. Тригонометрические подстановки ... ...... ..... . . 310
Глава VI. Определенный интеграл ..... ........... .314
§ 1. Определение и важнейшие свойства определенного интеграла . . . 314
п° 1. Задача о массе стержня ................... 314
п° 2. Определенный интеграл . ................. . . 317
п° 3. Геометрический смысл интеграла .............. , 319
п° 4. Два простейших свойства интеграла ........... . . 322
п° 5. Интеграл как функция верхнего предела. Теорема Барроу . . k 323 п° 6. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона —
Лейбница ............... . ........ ... 325
п° 7. Интегрирование по частям и замена переменной в определен-
ном интеграле .............. ... ...... . 328
п° 8. Важнейшие свойства интеграла ................ 331
§ 2. Методика применения определенного интеграла к решению практи-
ческих задач ........................... 335
п° 1. Вычисление давления жидкости на вертикальную стенку .... 335
п° 2. Нахождение работы, необходимой для выкачивания воды из
сосуда ................. ......... • . v 341
п° 3. Правило применения интеграла в конкретных вопросах. . . ; 344
§ 3. Геометрические приложения определенного интеграла . . . % . . . 346
п° 1. Вычисление площадей. Декартовы координаты ..... . . . .346
п° 2. Вычисление площадей. Полярные координаты ......... 347
п 3. Выражение объема тела через площади его сечений ..... 349
п° 4. Объем тела вращения .................... 352
п° 5. Длина дуги кривой ...... ...... ........ . 354
п° 6. Площадь поверхности вращения . . ...... ... ..... 356
п° 7. Случай параметрически заданной кривой ........... 357
п 8. Длина дуги в полярных координатах ........ ..... 359
§ 4. Механические применения определенного интеграла . . . . . . ,361
По 1- Статические моменты и моменты инерции ........'... 361
по 2. Центр параллельных сил ...... '............. 366
п 3. Центр тяжести ..........;,..... ..... . 368
8 СОДЕРЖАНИЕ
§ 5. Приближенное вычисление определенных интегралов........373
п° 1. Постановка вопроса . . ;...................373
п° 2. Формула трапеций......................374
п° 3. Малая формула Симпсона ..................377
п° 4. Выражение объема тела при помощи формулы Симпсона . . . 379
п° 5. Приближенное спрямление эллипса..............379
п° 6. Большая формула Симпсона.................381
§ & -Несобственные интегралы.....................383
п° 1. Интегралы по бесконечному промежутку...........383
п° 2. Интегралы от неограниченных функций............387
Глава VII. Определители......................392
§ 1. Определители 2-го порядка ....................392
п° 1. Определения..........................392
п° 2. Шесть основных свойств определителя 2-го порядка......394
§ 2. Определители 3-го порядка....................395
п° 1. Определение. Правило Саррюса................395
п° 2. Шесть основных свойств определителя 3-го порядка.....397
п" 3. Миноры и алгебраические дополнения.............397
§ 3. Определители любого порядка...................ЗГ8
п" 1. Определение..........................398
п° 2. Основные свойства определителей. Их вычисление ......399
п° 3. Теоремы замещения и аннулирования.............402
§ 4. Решение систем линейных уравнений ...............404
п° 1. Формулы Крамера......................404
п° 2. Однородные системы.................: . . . 407
Глава VIII. Векторы.........................412
§ 1. Основные определения ......................412
п° I. Вектор............................412
п° 2. Равенство векторов .....................413
п° 3. Умножение вектора на число.................413
п° 4. Сложение векторов......................414
п° 5. Вычитание векторов......................415
п° 6. Скользящий вектор......................416
§ 2. Проекции ............................419
п° 1. Проекция вектора на ось...................419
п° 2. Важнейшие свойства проекций................420
§ 3. Координаты в пространстве...................422
п° 1. Определения и обозначения..................422
п° 2. Основная формула векторного исчисления. Длина вектора. Соотношение между направляющими косинусами. Расстояние между двумя точками. Уравнение поверхности шара ..... 424 п° 3, Деление отрезка в данном отношении......... . .... . 426
СОДЕРЖАНИЕ 9
& 4. Скалярное произведение векторов .............;... 427
п° 1. Скалярное произведение и его свойства............427
п° 2 Выражение скалярного произведения через проекции.....428
п° 3 Угол между двумя векторами. Условия перпендикулярности и
параллельности ........................ 429
п° 4. Работа.............................431
п° 5. Задачи.............................431
§ 5. Векторное произведение ..................... 433
п° 1. Определение и простейшие свойства векторного произведения 433 п° 2. Распределительное свойство. Нахождение .векторного произведения .............................436
п° 3. Процесс построения векторного произведения. Доказательство
распределительного свойства ................. 438
п° 4. Момент силы относительно точки...............440
п° 5. Смешанное произведение трех векторов............441
§ 6. Переменные векторы. Вектор-функции и их дифференцирование . • 442
п° 1. Переменный вектор. Вектор-функция. Годограф........442
п° 2. Предел вектора........................444
п" 3. Непрерывность вектор-функций. Их дифференцирование .... 447 п° 4. Формулы и правила дифференцирования вектор-функций .... 449
Глава IX. Аналитическая геометрия в пространстве.......... 452
§ 1. Плоскость............................ . 452
п° 1. Уравнение плоскости.....................452
п° 2. Уравнение плоскости в отрезках на осях...........454
п° 3. Угловые соотношения.................... 455
§ 2. Прямая линия..........................457
п° 1. Канонические уравнения прямой................457
п° 2. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки . . . 458
п° 3. Задание прямой двумя плоскостями..............458
п° 4. Параметрические уравнения прямой...............459
п° 5. Угловые соотношения между прямыми............460
п° 6. Угловые соотношения между прямой и плоскостью ....... 463
п° 7. Расстояние от точки до плоскости и до прямой........464
§ 3. Поверхности 2-го порядка ....................468
п° 1. Цилиндрические поверхности.................468
п° 2. Уравнение поверхности вращения...............469
п° 3. Сжатие и растяжение поверхностей..............470
п° 4. Эллипсоид...........................471
п° 5. Однополостный гиперболоид..................472
п° 6. Двухполостный гиперболоид..................475
п° 7. Конус.............................475
п° 8. Эллиптический параболоид . ."................476
п° 9. Гиперболический параболоид.................476
§ 4. Преобразование координат....................479
п° '• Постановка вопроса. Параллельный перенос системы .....479
п^ 2. Поворот системы ......................480
По ,3- ОбЩий случай преобразования координат...........481
п 4. Примеры ..........................482
10 СОДЕРЖАНИЕ
V / Глава X. Функции нескольких переменных..............483
§ 1. Производные функции нескольких переменных...........483
л"-1. Основные понятия . . . ...................483
п° 2. Непрерывность .......................485
л° 3. Частные производные ....................486
п° 4. Формула полного приращения ................488
п° 5. Дифференцирование сложных функций............489
п° 6. Дифференцирование неявной функции............491
п° 7. Касательная к пространственной линии и касательная плоскость
к поверхности. ........................ 493
п° 8. Производные высших порядков ...............495
§ 2. Экстремальные значения функции нескольких переменных ..... 497
п° 1. Определение экстремума. Необходимые условия экстремума . . 497
п° 2. Правило исследования стационарной точки..........498
п° 3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции . 500
п° 4. Примеры конкретного характера.............. .502
п° 5. Расстояние между двумя прямыми в пространстве......504
§ 3. Полный дифференциал.......................506
п° 1. Определение дифференциала.................506
пс 2. Применение дифференциала в тебрии ошибок.........508
п° 3. Интегрирование полных дифференциалов ...........509
Глава XI. Дифференциальные уравнения...............514
§ 1. Уравнения 1-го порядка..................... 514
п° 1. Основные определения ...................514
п° 2. Начальное условие .....................515
п° 3. Уравнения с отделенными переменными. Общий интеграл . . . 516
п° 4. Уравнения с отделяющимися переменными..........518
п° 5. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка .... 519 п° 6. Обобщенное линейное уравнение (уравнение Я.- Бернулли) . . 524 п° 7. Однородные функции и однородное дифференциальное уравнение............................525
п° 8. Уравнения в полных дифференциалах............ 528
п° 9. Геометрический смысл дифференциального уравнения и связанных с ним понятий................... 529
п° 10. Приближенное решение дифференциального уравнения методом Эйлера — Коши..................... 532
п" 11. Некоторые применения дифференциальных уравнений 1-го порядка ............................537
§ 2. Уравнения высших порядков....................543
п" 1. Простейшие дифференциальные уравнения высшего порядка . . 543
п° 2. Начальные условия .....................545
п° 3. Некоторые случаи понижения порядка дифференциального
уравнения .......................... 546
§ 3. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков .... 550
п" (.Линейное дифференциальное уравнение высшего порядка . .550 п° 2. Структура обшего решения однородного линейного дифференциального уравнения..................... .550
СОДЕРЖАНИЕ' 11
п° 3. Характеристическое уравнение .......... ... . . .553
п° 4. Случай равных корней характеристического уравнения . . . 555 п° 5. Формулы Эйлера ............ . ......... 559
п° 6. Случай мнимых корней характеристического уравнения . . . 564 if 7. Уравнение Эйлера ........... „.....'..... 566
п° 8. Структура общего решения неоднородного линейного, диффе-
ренциального уравнения .................. 567
п° 9. Нахождение частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения для некоторых видов свободного члена . .................. . .-. ..... ... 568
п° 10. Метод вариации произвольных постоянных ......... 580
§ 4. Элементы теории колебаний ................... 583
п° 1. Гармонические колебания ............... ... 583
п° 2. Свободные колебания материальной точки . . ........ 584
п° 3. Вынужденные колебания точки. Резонанс .... ....... 586
п° 4. Учет сопротивления среды. Затухающие колебания ...... 588
§ 5. Понятие о системах дифференциальных уравнений ........ 590
п° 1. Нормальные системы дифференциальных уравнений ...... 590
п° 2. Канонические системы ....... ....:.. ...... 595
Глава XII. Двойные, тройные и криволинейные интегралы ..... .. 596
§ 1. Двойной интеграл ..... ......... . .......... 596
п° 1. Задача о массе пластинки .................. 596
п° 2. Определение двойного интеграла. Его механический и геоме-
трический смысл ....................... 597
п° 3. Вычисление двойного интеграла ............. . . 600
Г sin x . n° 4. Интеграл I —j- dx
. 605
о
п° 5. Механические приложения двойных интегралов........ 607
п° 6. Геометрические приложения двойных интегралов.......608
п° 7. Площадь в криволинейных координатах...........609
п° 8. Замена переменных в двойном интеграле..........615
п° 9. Интеграл Эйлера.......................621
§ 2. Тройной интеграл............. ............623
п° 1. Определение тройного интеграла. Его механический смысл . . 623
п° 2. Вычисление тройного интеграла................ 624
п° 3. Механические приложения тройных интегралов........628
п° 4. Замена переменных в тройных интегралах..........630
§ 3. Криволинейные интегралы ....................634
п° 1. Криволинейный интеграл первого рода...........634
п° 2. Вычисление криволинейного интеграла первого рода по плоской кривой........................ 635
п° 3. Случай пространственной кривой..............636
п° 4. Применения криволинейного интеграла первого рода .... 637
п° 5. Криволинейный интеграл второго рода..........'. 638
п° 6. Вычисление интеграла второго рода............640
по 7. Связь криволинейных интегралов первого и второго рода . . 641
п° 8. Выражение работы интегралом второго рода........ 641
12 СОДЕРЖАНИЕ
п° 9. Работа силового поля....................642
п° 10. Вычисление криволинейного интеграла от полного, дифференциала .....................'• .<.....643
Глава XIII. Бесконечные ряды....................645
§ 1. Ряд Тэйлора...........................645
п° 1. Разложение функции в ряд................ . 645
п° 2. Терминология........................649
т}° 3. Теорема разложения .....................653
п° 4. Формула Эйлера ......................658
п° 5. Степенные ряды.......................659
п° 6. Разложение логарифма ...................662
п° 7. Разложение арктангенса ..................665
п° 8. Биномиальный ряд .....................666
п° 9. Приложение рядов к вычислению интегралов.........668
п° 10. Приложение рядов к решению дифференциальных уравнений . 670 п° 11. Упражнения Г.......................677
§ 2. Дальнейшие сведения из теории рядов..............678
п" 1. Основные свойства рядов ..................678
п° 2. Положительные ряды. Признаки сравнения..........681
п° 3. Признак Даламбера.....................684
п° 4. Интегральный признак сходимости..............689
п° 5. Знакочередующиеся ряды ..................691
п° 6. Абсолютная сходимость. Общий признак Даламбера......693
п° 7. Применение общего признака Даламбера к степенным рядам . 695
§ 3. Ряды Фурье...........................698
. п° 1. Вводные замечания.....................698
п° 2. Ортогональность тригонометрической системы........699
п° 3. Теорема единственности. Ряд Фурье.............701
п° 4. Теорема разложения. Примеры...............702
п° 5. Обобщение .........................706
п° 6. Разложение четных и нечетных функций...........708
п° 7. Разложение функции, заданной на части промежутка [—я, п] 710
п° 8. Сдвиг основного промежутка ................714
п° 9. Растяжение основного промежутка.............716
п° 10. Задача о колебании струны.................717
п° 11. Распространение тепла в стержне..............724
Добавление I. Гиперболические функции............, . 731
п° 1. Определения.........................731
п° 2. Аналогия с тригонометрическими функциями.........732
п° 3. Связь тригонометрических и гиперболических функций.....732
п° 4. Связь с гиперболой .....................733
Добавление П. Приближенное решение уравнений.........735
п° 1. Постановка вопроса .....................735
п° 2. Способ хорд.........................736
п° 3. Способ касательных .....................737
п° 4. Другая трактовка способа' Ньютона. Решение системы уравнений 740
Добавление III. Способ наименьших квадратов .........742
Светлой памяти своей жены Елизаветы Петровны Соколовой-Натансон посвящает эту книгу автор.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга представляет собой руководство, предназначенное для студентов высших технических учебных заведений, в которых на курс высшей математики (вместе с упражнениями) отводится 300— 400 часов. Материал, напечатанный крупным шрифтом (он независим от петита), охватывает программу подготовки инженеров-эксплуатационников. В петит вынесены вопросы, которые вместе с основным материалом соответствуют программе подготовки инженеров-конструкторов. Служить учебником для будущих инженеров-исследователей, нуждающихся в более основательной математической подготовке, книга не предназначена. Этим определился как выбор материала, содержащегося в книге, так и в еще большей степени характер его изло
Цена: 150руб.
