Как и предыдущие книги того же автора — «Математиче--; сквй анализ (конечномерные линейные пространства)» (М., 1969) и «Математический анализ (функция одного, переменного)» (чч. 1—2 —М., 1969, ч. 3 —М., 19?0), — эта книга представляет собою учебное пособие по курсу; математического анализа. Она не является учебником и не следует официальным, программам курса; она рассчитана в первую очередь на студентов, знакомых уже с элементами дифференциального и интегрального исчисления и желающих углубить свои знания. В гл. 1 строится теория дифференцирований для функций от конечного или даже бесконечного множества независимых переменных. В гл. 2 рассматриваются высшие производные. В гл. 3 строится теория интегрирования для функций несколь» ких переменных. На основе построенного аппарата в гл. 4 излагается классический векторный анализ, -к гл. 5—'Классическая дифференциальная геометрия, которая развивается э гл. 6 в риманову геометрию. В гл. 7 излагаются избранные; вопросы анализа на дифференцируемых многообразиях, в част- ; ности теория дифференциальных антисимметричных форм; с соответствующими интегральными теоремами. ^ '
ОГЛАВЛЕНИЕ
• ...... з
Предисловие ........... . • '
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ . ' >
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНЯе
Глава 1. Производные первого порядка „...,..» И
§ 1.1. Непрерывные функции , • . • ..... ' "' и
s 1 2. Дифференцируемые фувщда ....... * *•}
§ 1.3. Общие теоремы о Дифферёнциру«мйх функциях 40
§ 1.4. Теорема о среднем . ...... ''*'**' te«
§ 1.5. Теорема о неявной функции ........ '• яа
S 1.6. Дифференциальные уравнения .....,.• -*»
§ 1.7. Локальная d-руктура дифференцируемой функции 92
§ 1.8. Стационарные значенияРчисловых функции « . . jw
~
Задачи
Историческая справка
1
Глава 2. Высшие производные .,....»••••• "1
§ 2.1. Высшие производные числовой функции ft пере-
менных . . ...... ..... ' ' ' ' !оа
§ 2.2. Общее определение высших производных . » , . »оа § 2.3. Свойства высших производных ,...,».. 14/ § 2.4. Теорема Тейлора и ее обращение ...... »|6
§ 2.5. Теорема Фробениуса ........ . , . . 1Ъ7
§ 2.6. Системы уравнений с частными производными и
геометрические приложения . , ..... « . • '75
Задачи ....... ...... .... . • »«6
Историческая справка ...... .......»• io°
V - *
Глава^З. Интегрирование в многомерных пространствах . . 189
§ 3.1. Интеграл Римана' на нагруженном пространстве 189 § 3.2. Теоремы существования ...... ..... 201
§ 3.3. Жордановы множества .......,»» .«'йй*
§ 3.4. Отображения нагруженных пространств , ч » ».*2| § 3.5. Интеграл Римана в "евклидовом пространстве « 4 228 § 3.6. Интеграл по поверхности . ... • • • • • • *б!
§ 3.7. Несобственные интегралы ......... • 285
Задачи ... ..... -. . . ....... ' J?
Историческая справка •' ......... ..... . >3и
4 ОГЛАВЛЕНИЕ •; ••-••-.,-•..;.-:: -.т
Глава 4. Связь между интегрированием и дифференцированием................ . 316
§ -4.1. Формула Остроградского . . ........316
§ 4.2. Вихрь векторного поля...........331
§ 4.3. Оператор Гамильтона........... 344
§ 4.4. Некоторые типы векторных полей......353
§ 4.5. Гармонические поля и функции........ 365
§ 4.6. Построение векторного поля в Кз по его вихрю и
расходимости .............. 379
Задачи.................... 383
Историческая справка ......... .... 384
ЧАСТЬВТОРАЯ
ОТ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ К МНОГООБРАЗИЯМ
Глава 5. Классическая дифференциальная .геометрия . . .389
§ 5.1. Первая квадратичная форма......... 389
§ 5.2. Вторая квадратичная форма......... 399
§ 5.3. Связь первой и второй квадратичных форм . . .417 § 5,4. Геодезические линии и связанные с ними координатные системы .............. 432
§ 5.5. Двумерные поверхности постоянной кривизны . . 446 § 5.6. Параллельное перенесение векторов и теорема
- Леви-Чивита............... 456
Задачи.................... 464
Историческая справка............ . 467
Глава 6. Риманова геометрия.............468
§6.1. Алгебраическая теория тензоров ........468
§ 6.2. Элементарное дифференцируемое многообразие . . 484
§ 6.3. 'Элементарное риманово пространство....., 492
§ 6.4. Пространство с аффинной связностью.....499
§ 6.5. Кривизна................517
§ 6.6. Римановы пространства постоянной кривизны . . 532
Задачи '.-.'. . . . . . . . . . '..........540
Историческая справка ....... ...... 541
Глава 7. Дифференцирование и интегрирование, на многооб-
; разиях ..................542
§ 7.1. Антисимметричные формы . . . . ... . . . 542
§ 7.2. Дифференциальные формы ......... 556
§ 7.3. Интегральные теоремы . . ... ... . . . 570
§ 7.4. Кодифференцирование........... 593
Задачи............... ..... 60б;
Историческая справка ............. 608
Указания и ответы к задачам....... . .... .609
Алфавитный указатель , . . ... . . . ... . . . , 6f&
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эту книгу можно рассматривать как продолжение книги того же автора «Математический анализ (Функ-ции одного переменного)» (части 1 и 2 —М., 1969, часть 3 —М„ 1970, изд-во «Наука»). Основные принципы построения материала остаются прежними: в соответствии с современными взглядами на строение математики математический анализ представляется как высокоорганизованная система структур, различных ступеней абстракции, тесно связанных разнообразными нитями между собой и с конкретными приложениями. В научных сочинениях типа «Элементов математики» Н. Бур-баки последовательное проведение этого принципа приводит к строго дедуктивному изложению теории; в книгах педагогического направления во многих случаях более целесообразно индуктивное построение, .позволяющее читателю проследить за формированием все более и более общих концепций, убеждаясь на конкретном материале в необходимости соответствующих обобще- . ний. Такая система изложения принята и в нашей книге. Формально говоря, главы «Связь между интегрированием и дифференцированием» и «Классическая дифференциальная геометрия» не необходимы в курсе — ОС: новные результаты этих глав можно получить как частные следствия более общих теорий (что и делается в дальнейшем в книге); однако мы сочли нужным ввести эти главы и предпослать их дальнейшим теориям именно для того, чтобы читатель был подведен к необходимости введения таких общих понятий, как, например, риманово пространство или дифференциальная •форма на многообразии, и был готов к применению этих общих понятий в нужных направлениях. Поэтому . ;И расположение материала подчинено дальнейшим
Цена: 150руб.
