Учебник вместе сг двумя другими книгами тех же авторов «Элементы линейной алгебры-ни аналитической геометрии», и-«Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного» соответствует новой программе по высшейП математике для инженерно-технических специальностей вузов.
Книга содержит следующие разделы: Введение в анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, Ряды. 1-е издание выходило в 1980 г.
Для студентов инженерно-технических специальностей вузов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию.............. 7
Предисловие к первому изданию.............. 7
Глава 1. Введение.................... 9
§ 1.1. Предмет математики. 'Переменные и постоянные величины, множества............... 9
§ 1.2. Операции над множествами............ II
§ 1.3. 'Символика математической логики........ 12
§ 1.4. Действительные числа.............. 13
§ 1.5. Определение равенства и неравенства...... . 17
§ 1.6. Определение арифметических действий...... 18
§ 1.7. Основные свойства действительных чисел ...... 23
§ 1.8. Аксиоматический подход к понятию действительного числа................... 25
§ 1.9. Неравенства для абсолютных величин...... 27
§ 1.10. Отрезок, интервал, ограниченное множество ... 28 § 1.11. Счетное множество. Счетность множества рациональных чисел. Несчетность множества действительных чисел.................. 29
Глава 2. Предел'последовательности . .......... 32
§ 2.1. Понятие предела последовательности....... 32
§ 2.2. Арифметические действия с переменными, имеющими предел.................. 39
§2.3. Бесконечно малая и бесконечно большая величины 42
§ 2.4. Неопределенные выражения ........... 43
§ 2.5. Монотонные последовательности......... 45
§ 2.6. Число е..................... 48
§ 2.7. Принцип вложенных отрезков.......... 50
§2.8. Точные верхняя и нижняя грани множества ... 51
§ 2.9. Теорема Больцано—Вейерштрасса . . •..... 55
§ 2.10. Верхний и нижний пределы........... S6
§ 2.11. Условие Коши сходимости последовательности . . 59 § 2.12. Полнота и непрерывность множества.действительных чисел.................... 61
Глава 3. Функция. Предел функции.......... 63
§ 3.1. Функция.................... 63
§ 3.2 Предел функция................. 74
§ 3.3. Непрерывность функции............. 84
§ 3.4. Разрывы первого и второго рода......... 90
§ 3.5. Функции, непрерывные на отрезке........ 94
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3.6. Обратная непрерывная функция......... 98
§ 3.7. Равномерная непрерывность функции...... . 101
§ 3.8. Элементарные функции............. 103
§ 3.9. Замечательные пределы............. 116
§ 3.10. Порядок переменной. Эквивалентность...... 119
Глава 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.................... 123
§ 4.1. Производная.................. 123
§ 4.2. Геометрический смысл производной....... 127
§ 4.3. Производные элементарных функций....... 133
§ 4.4. Производная сложной функции......... 13б
§ 4.5. Производная обратной функции ......... 137
§ 4.6. Производные элементарных функций (продолжение) 138
§ 4.7. Дифференциал функции............. 140
§ 4.8. Другое определение касательной......... 144
§ 4.9. Производная высшего порядка.......... 145
§ 4.10. Дифференциал высшего порядка. Инвариантное
свойство дифференциала первого порядка..... 146
§ 4.11. Дифференцирование параметрически заданных функций ....................... 149
§ 4.12. Теоремы о среднем значении........... 149
§ 4.13. Раскрытие неопределенностей.......... 156
§ 4.14. Формула Тейлора................ 159
§ 4.15. Ряд Тейлора.................. 164
§ 4.16. Формулы и ряды Тейлора элементарных функций 167
§ 4.17. Локальный экстремум функции.......... 171
§ 4.18. Экстремальные значения функции на отрезке . . . 176
§ 4.19. Выпуклость кривой. Точка перегиба....... 177
§ 4.20. Асимптота графика функции........... 181
§ 4.21. Непрерывная и гладкая кривая......... 184
§ 4.22. Схема построения графика функции ....... 186
§ 4.23. Вектор-функция. Векторы касательной и нормали . 190
Глава 5. Неопределенные интегралы........... 195
§ 5.1. Неопределенный интеграл. Таблица интегралов . . 195
§ 5.2. Методы интегрирования............. 199
§ 5.3. Комплексные числа............... 205
§ 5.4. Теория многочлена n-й степени......... 209
§ 5.5. Действительный многочлен я-й степени ...... 212
§ 5.6. Интегрирование рациональных выражений .... 214
§ 5.7. Интегрирование иррациональных функций .... 217
Глава 6. Определенный интеграл............ 222
§ 6.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла, и его определение............ 222
§6.2. Свойства определенных .интегралов........ 229
§ 6.3. Интеграл как функция верхнего предела..... 235
§ 6.4. Формула Ньютона—Лейбница.......... 238
§ 6.5. Остаток формулы Тейлора в интегральной форме . 244 § 6.6. Суммы Дарбу. Условия существования интеграла 245 § 6.7. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций ....................... 248
§ 6.8. Несобственные интегралы............ 249
ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 6.9. Несобственные интегралы от неотрицательных
функций..................... 254
§ 6.10. Интегрирование по частям несобственных интегралов ....................... 257
§ 6.11. Несобственный интеграл с особенностями в нескольких точках................... 260
Глава 7. Приложения интегралов. Приближенные методы . 263
§ 7.1. Площадь в полярных координатах........ 263
§ 7.2. Объем тела вращения.............. 264
§ 7.3. Гладкая кривая в пространстве. Длина дуги ... 265 § 7.4. Кривизна и радиус кривизны кривой. Эволюта и
эвольвента..................... 273
§ 7.5. Площадь поверхности вращения......... 277
§ 7.6. Интерполяционная формула Лагранжа...... 279
§ 7.7. Квадратурные формулы прямоугольников и трапеций ................ ...... 282
§ 7.8. Формула Симпсона................ 285
Глава 8. Дифференциальное исчисление функций многих
переменных.................. 290
§ 8.1. Предварительные сведения............ 290
§ 8.2. Предел функции................. 292
§ 8.3. Непрерывная функция.............. 298
§ 8.4. Частные производные и производная по направлению 302
§ 8.5. Дифференцируемые функции........... 307
§ 8.6. Применение дифференциала в приближенных вычислениях ................... . . 311
§ 8.7. Касательная плоскость. Геометрический смысл дифференциала................... 314
§ 8.8. Производная сложной функции. Производная по направлению. Градиент............... 316
§ 8.9. Дифференциал функции. Дифференциал высшего
порядка.................-. . . . 321
§ 8.10. Формула Тейлора................ 326
§ 8.11. Замкнутое множество.............. 328
§ 8.12. Непрерывная функция на замкнутом ограниченном
множестве.................... 333
§ 8.13. Экстремумы................... 336
§ 8.14. Нахождение наибольших и наименьших значении
функции.................... 342
§ 8.15. Теорема существования неявной функции..... 343
§ 8.16. Касательная плоскость и нормаль........ 347
§ 8.17. Системы функций, заданных неявно....... 350
§ 8.18. Отображения.................. 356
§ 8.19. Условный (относительный) экстремум...... 357
Глава 9. Ряды..................... 365
§ 9.1. Понятие ряда.................. 365
§ 9-2- Несобственный интеграл и ряд......... 367
§ 9-3. Действия с рядами............... 370
§ 9.4. Ряды с неотрицательными членами........ 371
§ 9.5. Ряд Лейбница...........'....... 376
§ 9.6. Абсолютно сходящиеся ряды........... 377
6 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 9.7, Условно сходящиеся ряды с действительными
членами..................... 378
§ 9.8, Последовательности и ряды функций. Равномерная
сходимость ................... 379
§ 9.9, Интегрирование и дифференцирование равномерно
сходящихся рядов................ 386
§ 9.10. Перемножение абсолютно сходящихся рядов . . . 391
§ 9.11. Степенные ряды................ 394
§ 9.12. Дифференцирование и интегрирование степенных
рядов . . . . •................. 399
§ 9.13. Функции ezt sin г, cos г от комплексного переменного......................• 404
§ 9.14. Ряды в приближенных вычислениях....... 407
§ 9.15. Понятие кратного ряда............. 414
§ 9.16. Суммирование рядов и последовательностей . . . 421
Предметный указатель................... 426
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Второе издание отличается от первого рядом изменений и дополнений.
Более подробно изложен вопрос о применении понятия дифференциала в приближенных вычислениях. Приведены доказательства свойств непрерывных функций многих переменных на замкнутых множествах. Введен пункт об однородных функциях. В главе 9 добавлен материал по теории кратных рядов и теории суммируемости.
Выражаем благодарность секции технических Вузов Научно-методического Совета по математике при Минвузе СССР под руководством профессора Кудрявцева Л. Д., коллективу кафедры высшей математики № 2 Ленинградского политехнического института за обсуждение наших учебников и ценные замечания и предложения, которые, несомненно, способствовали улучшению содержания учебников.
Мы также выражаем благодарность Волкову Ю. И., Коссу М. Ш., Полосуеву А. М., Тобольцеву Я. М. и ряду других читателей за ценные конструктивные предложения, которые мы старались учесть при работе над вторым изданием.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Эта книга входит в серию под названием «Высшая математика», состоящую из трех книг:
а) Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
б) Дифференциальное и интегральное исчисление.
в) Дифференциальные уравнения. Краткие интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного.
Авторы думают, что эта серия1) может быть учебником для студентов втузов, изучающих математику по
) Однако серия не охватывает раздел этой программы «Теория вероятностей» и не полностью охватывает раздел «Численные методы». v
Цена: 150руб.
