ОГЛАВЛЕНИЕ
От редакторов серии.......................'.......... 8
/
Предисловие....................................... 9
Введение ................................... ...... Ц
Глава 1. Комплексная переменная и функции комплексной переменной........................................ 12
§ 1. Комплексное число и действия над комплексными числами.... 12 1. Понятие комплексного числа (12). 2. Действия над комплексными числами (12). 3. Геометрическая интерпретация комплексных чисел (14). 4. Извлечение корня из комплексного числа (16).
§ 2. Предел последовательности комплексных чисел.......... . 18
1. Определение сходящейся последовательности (18). 2. Критерий Коши (19). 3. Бесконечно удаленная точка (20).
§ 3. Понятие функции комплексной переменной. Непрерывность . . . 2-1 1. Основные определения (21). 2. Непрерывность (24). 3. Примеры (26).
§ 4. Дифференцирование функции комплексной переменной...... 31
1. Определение. Условия Коши—Римана (31). 2. Свойства аналитических функций (34). 3. Геометрический смысл производ-. ной функции^ комплексной переменной (35). 4. Примеры (S7).
§ 3. Интеграл по комплексной переменной . ; . .............. 38
1. Основные свойства (38). 2. Теорема Коши (41). 3. Неопределенный интеграл (44).
§ 6. Интеграл Коши................................ 46
1. Вывод формулы Коши (46). 2. Следствия из формулы К'оши (48). 3. Принцип максимума модуля аналитической функции (49). -'..'••'.
§ 7. Интегралы, зависящие от параметра.................. 51
1. Аналитическая зависимость от параметра (51). 2. Существование производных всех порядков у аналитической функции (53),
Гл.ава 2. Ряды аналитических функций......... . . ....... 56
§ 1. Равномерно сходящиеся ряды функций комплексной переменной........................................ 56
1. Числовые ряды (56). 2. Функциональные ряды. Равномерная сходимость (57). 3. Свойства равномерно сходящихся рядов. Теоремы Вейерштрасса (60).
§ 2. Степенные ряды. Ряд Тейлора........... . . . ......... 64
1. Теорема Абеля (64). 2. Ряд Тейлора (69).
.... ..,,,,.,..,:,;• -:,^:^::,г<^^,:. Г ^•••.«^^.^^••%-^:'''"-';^Wf?
'6'--.'/L',''-v'.,:'';'••- •.••''••%.' ..;?.;;-"-..'.г..ЯГЯАВЛБНЙВ •••/ ' г • • ••'•', "-:•. '•:-;• ^Ь^
:§ З^БдйнСтввннбсть'определения аналитической функции. . . . . . ,
h Дуян зяалнтическбй функции (72). 2. Теорема единстве
;,'•-. НОСТИ (I8)i '- •'.• . . : ' . ' ''•" "..••;''•'''-^ .' ' ..'.
Г л а в а 3. Аналитическое продолжение. Элементарные фун
;?:,,к|^вде.к^нв11,иервмеинв*'... . : л... .:.., ......... ...•. . . .,;к;Ш;3
s;. § 1. 9*ём*н|а(11ные функции комплексной переменной. Продолжений^ •>:; ••?'t*. ;,-с дейст|8игеаывой оси,;.'. .-;,'., V. . .'. .'.. ; •...•.,.-........ ..:-.^%'„!
|« ' t.: Продолжение с действительной^ оси (76). 2. Продолжение со»;|;
•- ' отношений (80). 3. Свойства элементарных функций (83). 4. Отф5'*
; бражения 'элементарных функций (87). '••'••-••:"
."§2. Аналитическое продолжение. Понятие римановой поверхности i
Ь Основные принципы. Понятие римановой поверхности (92). , . "ч ^.Аналитическое продолжение через границу (94). 3. Примеры.' построения аналитического продолжения. Продолжение черезг' границу (96). 4. Примеры построения аналитического продол-; ; женйя^Продолжение с помощью степенных рядов (100). 5. Пра?. . вильные и особые точки аналитической функции (103). 6. Пон^ тие полной аналитическЬй функции (106). . -;'
'дав а- 4. Ряд Лорана и изолированные особые точки. . . . ... . .10
§ 1. Ряд Лорана............... . .................. 101
1. Область сходимости ряда Лорана (108). 2. Разложение ана- • литйческой функции в ряд Лорана (ПО).
§ 2. Классификация изолированных особых точек однозначной аналитической функции.........................'.... li;
лава 5. Теорий вычетов и их приложения ............... 12(
-§ 1. Вычет аналитической функции в изолированной особой точке. ... Ш 1. Определение и формулы вычисления вычета (120). 2. Основная теорема 'теории вычетов (122). § 2. Вы числение-определенных интегралов.с помощью вычетов. . . . 124
2it
1. Интегралы вида j •/? (cos в, sin в) affl (125). 2. Интегралы
вида
(126). 3. Интегралы вида j eiaxf(x)dx. Лемма
. - _оо
Жордана (128). 4. Случай многозначных функций (134).
•§ 3. Логарифмический вычет......................',... 140
1. Понятие логарифмического вычета (140). 2. Подсчет числа : нулей аналитической функции (141).
пава 6. Конформное отображение......................145
§ 1. Общие свойства................................145
1, Определение конформного отображения (145). 2. Простей-'_ щие примеры (149). 3. Основные принципы (152). 4. Теорема Римана (157). .
§ 2. Дробно-линейная функция........................ . 161
§ 3. Функция Жуковского ............................ 170
§4. Интеграл Шварца—Кристоффеля. Отображение многоугольников, ,,,,.,,. i ..,.,,,........,.,.,,..,.,.,,. 173
-ОГЛАВЛЕНИЕ
Г а а в а 7. Применение аналитических функций к решению краевых задач. . . . . . .-... .,.......>...... -.-'".. . . .'.........
§ 1. Общие положения > ,............................
1. Связь аналитических и гармонических функций (182). 2. Сохранение оператора Лапласа"при конформном отображении (183). 3. Задача Дирихле (185), 4. Построение функции источника (188).
§ 2. Приложения к задачам механики и физики............, . 190
1. Плоское .установившееся движение жидкости (190). Z Пдо- х-ское электростатическое поде (201).
Глава '8. Основные понятия операционного исчисления......ОД
§ 1, Основные свойства преобразования Лапласа............» 211 -
„• 1. Определение преобразования Лапласа (211). 2. Изображение --'элементарных функций (215). 3. Свойства изображения (217,). 4. Таблица свойств изображений (225). 5. Таблица изображе-- ний ^ (225). : § 2. Определение оригинала по изображению ............... 227- -
1. Формула Меллина (227). 2. Условия существования оригина-• . ла (230). 3. Вычисление интеграла Меллина (233). 4. Случай
регулярной на бесконечности функции (237), § 3. Решение задач для линейных дифференциальных уравнений one-'
рационным методом............................. 240
.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения (240). 2. Урав- '-некие теплопроводности (245). 3, Краевая задача для уравнения в частных производных (247).
Приложение 1. Метод перевала......................250
1. Вводные замечания (250). 2. Метод Лапласа (253). 3. Метод перевала (260). ,
Приложение 2. Метод Винера—Хопфа . . ...............289
1. Вводные замечания (269). 2. Аналитические свойства преобразования Фурье (273).))3, Интегральные уравнения с ядрон, за.вися-щим от- разности аргументов (276). 4. Общая схема метода Винера—Хопфа (281). 5. Задачи, приводящие к интегральным 1 уравнениям с ядром, зависящим от разности аргументов (285). -'. 5,1. Вывод уравнения Милна (285). 5.2. Иссяедова'ние решения • , •- уравления Милва (289). 5.3. Дифракция на плоском экра-Г не (293). 6. Решение краевых задач для уравнений в частных
производных методом Винера-^Хопфа (294).. . 4,
Литература....................................t . . 2JJ9
Предметный указатель, . ^......................^..........300
ОТ РЕДАКТОРОВ СЕРИИ
Настоящая книга представляет собой четвертый выпуск серии «Курс высшей математики и математической физики» и посвящена изложению основ теории функций комплексной переменной и операционного исчисления. В книге также даны примеры применения методов теории функций комплексной переменной к задачам гидродинамики и электростатики и разобраны некоторые вопросы метода перевала и метода Винера—Хопфа.
\ ПРЕДИСЛОВИЕ
Содержание этого въТпуска в основном соответствует курсу лекций по теории функций комплексной переменной, читавшемуся авторами в течение ряда лет на физическом факультете МГУ.
Изложение основного материала достаточно близко к традиционному. Однако мы не проводим специального рассмотрения элементарных функций комплексной переменной в самом начале курса, как это делается в большинстве учебников, а вводим элементарные функции комплексной переменной как непосредственное аналитическое продолжение элементарных функций действительной переменной. Теоремы об аналитическом продолжении соотношений позволяют единообразно перенести в комплексную область известные свойства элементарных функций действительной переменной.
Естественно, что стремление к цельности изложения заставило рассмотреть отдельные вопросы несколько подробнее, чем обычно удается в рамках сжатой лекционной программы. В первую очередь это относится к общим принципам конформного отображения и применениям методов теории функций комплексной переменной к решению краевых задач гидродинамики и электростатики. Кроме того, в книге имеются два приложения, порвящен-ные изложению метода перевала и метода Винера—Хопфа, которыми физики обычно весьма широко пользуются^
При работе над книгой мы пользовались советами многих наших товарищей по кафедре, в первую очередь
Цена: 150руб.
