ПРЕДИСЛОВИЕ.
В настоящее время составление полного трактата по -теории множеств . и по теории функций действительного переменного является делом преждевременным, так как ведущиеся в различных направлениях изыскания о принципах этих дисциплин легко могут заставить быстро f устареть самое добросовестное кропотливое изложение. с -
Ввиду этого, целью этой книжки является решение только чисто педагогической проблемы преподавания начал теории функций. Науч-'ная проблема, состоящая в подборе необходимого материала элементе» 1 теории функций и приведении его в стройную логическую систему, в достаточно удовлетворительной степени разрешена существующими . курсами, среди которых можно указать книгу Александрова и Колмо-; горова или мелкий шрифт курса анализа Балле Пуссена. ,, Автор предлагаемой книги ставит целью разрешение лишь педа-* : тоги ческой проблемы, состоящей в том, чтобы, не увеличивая объема > научного материалаД даваемого хотя бы Балле Пуссеном, представить его в возможно более живой форме, делающей его доступным и привлекательным для лиц, приступающих к углубленному изучению математического анализа.
Теория иррациональных чисел помещена в приложениях из педаго- " •гических соображений, так как подробное логическое ее развитие, во-* мешенное в начале книги, могло бы затруднить читателя и повлиять Ыа его интерес к дальнейшему.
s- ^ В заключение я не могу не упомянуть с глубокой признательностью -моих учителей: Б. К. Млодзеевского, выдвигавшего всегда на первый • 'план требование к художественной стороне научного изложения, и И. И. Жегалкнна, постоянно настаивающего на доведении до. сознания учащегося малейших трудностей умозаключения и предостережении его от возможных ошибок мышления. ,
-ОГЛАВЛЕНИЕ.
.'jjpedacjtoelte............
•*'л" •' " • ' -'• Стр. Г л а в а 1. Множество и мощность» i ... •, . .... 7
§ 1. Понятие множества . . . . — § 2. Актуальная бесконечность. 8 & 3. Число и мощность., .... 11 § 4. Счетные множества. . . .. 15 § 5. Арифметика счетной мощ- '
ности. ...,....,'.,. /24 § 6. Несчетные множества.: . . 26 § 7. Мощность континуума.... . 27 -§ 8. Теорема о мощности про-;: межуточного множества;. . 36 § 9. Применение критерия равенства мощностей к разысканию мощности пространств многих измерений. . . . .42 § 'Ю. Арифметика мощности континуума...... ... 46
§ 11, О существовании высших
мощностей........48
ГАава П. Множества точек. 53
§ 12. Линейные множества. ... —-
§ 13. Сегменты и интервалы. . ' 54
§ 14 Ограниченные и неограниченные множества. .... 55
§ 15. Границы множества. ... — ,§ 16. Предельные точки и точки
конденсации. ....... 58
5 17. Производное множество. Замкнутые и совершенные множества. .......60
§ В. Строение замкнутых и совершенных множеств. . . 63
§ 19. Мера замкнутых и совершенных множеств. . . .67
§ 20. Мощность замкнутых и совершенных множеств. . . 70
§ 21. Категория. ....... 8«
§ 22. Множества точек в многомерных пространствах. . . 82
Г л а в a HL Теория пределов. 92
$ 23. Необходимость обоснования х теории пределов. . . . . —
§ 24. Упорядоченные множества. 92 § 25. Последовательности. !. '. . 94,' • •' § 26. Последовательности чисел. 96, § 27., Неограниченные и. Огради-. ( .ченные числовые последовательности. ..,.'.. 97 § 28. Пределы числовой поб^едо- ,,
• вательнбсти....... . '98 ,
§ 29. Лемма Вореля-Лебе^а' и1 ее' ;
-ближайшие'следствия. . . 100 ,
§ 30: Наибольший и наименьший
пределы числовой после- *'4 довательности ...... 102 /
§ 31. Непосредственное отыска- ! ние наибольшего и нал-' ! \ меньшего пределов.'.....103 ,
,§ 32. Сходящиеся числовые йо-1 А ".
' слеДовательностн. .... 104
§ 33, Конфинальные под-прсле-
довательностн.......10S
§ 34. Критерий сходимости числовой последовательности. НО, 4 '
§ 35. Приложения критерия Ко-
ши............ Ill i
Глава IV. Функция И непре- i ' рывность. .......И9
§ 36. Понятие функции. . . , . — § 37. Геометрическое изображение функции....... 120
§ 38. Аналитическое выражение. 124 § 39. Функции неограниченные и
ограниченные......'. 12& ;
§ 40. Верхняя и нижняя границы
функции в точке. Колеба- ;
ние в точке....... 133
§ 41. Непрерывность. ..... 138,
§ 42. Непрерывность справа н ,\
слева. .........." 144 _ •
§ 43. Непрерывность и стремле- >• "
вне к пределу. , .... 146 ( § 44. Свойства непрерывных
функций. ........ 150
§ 45. Непрерывные функции »но- ,
• 1Ш. переменных. . . * . * 1Щ
* \ Ctkp.
$ 47. Пределы последовательностей непрерывных функций. 172
Глава V. Непрерывные кривые..........."184
§ 48. Кривые Жордана и кривые
Пеано......... . —
§ 49. Совершенные разрывные <• множества. ....... 194
§ 50. Кривые Пеано......204
§ 51. Кривые Жордана а Пеано в пространстве многих измерении.........212
Г я а Вт а VI. Аналитическое изображение непрерывных функций.........216
§ 52. Функциональные ряды. . . —
§ 53. Правильно сходящиеся
"ряды..........217
§ 54. усиление критерия правильной схр'димости методом ' предварительной группировки членов ряда .... 219
§ 55. Равномерная сходимость
функциональных рядов. . 221
§ 56, Равномерно сходящиеся по-' .' следовательности функций. 225
§ 67. Исследование равномерной сходимости. . . , . 229
§ 58. Исследование неравномерной сходимости......236
§ 59. Обобщенная равномерная,
сходимость.......г 240
§ 60. Квазиравномерная сходимость............243
§ 61. Теорема Вейерштрасса. . . 247
§ 62. Следствия теорем.ы Вейерштрасса.........•. 257
§ 63, Исследования Чебышева
и Бореля......... 258
§ 64. Основная теорема интегрального исчисления. . '. 268.
Приложение I. Теория иррациональных чисел......277
§ 65. Сечения рациональной сети. — § 66. Иррациональные числа.. . 281 § 67. Рациональные приближения ...........288
§ 68. Положительные и отрицательные действительные
числа.......... —
§ 69. Действия над иррациональными числами...... 289
§ 70. Принцип стягивающихся отрезков........ . . 291
Приложение И. Классификация
Бэра...........292
Цена: 300руб.
