В книге в минимальном необходимом объеме рассмотрены основные вопросы численных методов—приближение функций, Численное интегрирование, численные методы линейной алгебры, численные методы решения дифференциальных уравнений.
Учебное пособие полностью соответствует программе раздела численных методов курса высшей математики технических вузов. По методике изложения книга близко примыкает к учебникам Я. С. Бугрова и С. М. Никольского «Высшая математика».
Для студентов инженерно-технических специальностей вузов.
Рис. 27. Табл. 10. Библ. 23 назв.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие........................... 5
Введение............................. 7
Глава 1. Приближение функций многочленами...... -18
§ 1. Приближенные числа и действия с ними..... 19
§ 2. Вычисление значений многочлена. Схема Торшера 27
§ ,3. Многочлены Тейлора................. 29
§ 4. Интерполяционный многочлен Лагранжа...... 31
§ 5. Линейная интерполяция............... 37
§ 6. Минимизация оценки погрешности интерполяции.
Многочлены Чебышева................ 38
§ 7. Интерполяция с равноотстоящими узлами..... 44
§ 8. Конечные и разделенные разности......... 48
§ 9. Интерполяционный многочлен Ньютона...... 52
§ 10. Численное дифференцирование............ 56
§ 11. Сплайны........................ 65
§ 12. .Равномерные приближения функций ......'.. 70
§ 13. Метод наименьших квадратов ............ 76
§ 14. Исследование ошибок среднеквадратичных приближений. Сглаживание наблюдений .......... 93
Глава 2. Численное интегрирование.........., . 105
§ 15. Квадратурные формулы................ 105
§ 16. Правило Рунге практической оценки погрешности 120
§ 17. Метод Монте-Карло.................. 125
§ 18. Численные методы решения задачи Коши для
обыкновенных дифференциальных уравнений ... 129
Глава 3. Численные методы линейной алгебры...... 140
§ 19. Метод Гаусса . ...............'..... 141
§ 20. Нормы и обусловленность матриц.......... 153
§ 21. Метод простых итераций и метод Зейделя .... 158
§ 22. Метод прогонки.................... 163
§ 23. Частичные проблемы собственных значений .... 169
Глава 4. Методы решения нелинейных уравнений н
систем............................. 176
г
§ 24. Метод итераций.................... 176
§ 25. Метод Ньютона....................t 189
§ 26. Метод деления отрезка пополам...........,.' 194
§ 27. Метод наискорейшего (градиентного) спуска . . .- 196 1*
Глава 5. Методы решения краевой задачи для линейного обыкновенного дифференциального уравнения вто-
рого порядка .........................
§ 28. Методы минимизации невязки и метод Галеркина 197 § 29. Разностный метод. Основные понятия теории раз-ностных схем .....................
Глава 6. Разностные схемы для уравнений с частным* производными........................•
§ 30. Линейное уравнение с частными производными
первого порядка.................... ?>„
•§ 31. Смешанная задача для уравнения теплопроводности ^»
§ 32. Волновое уравнение .................
§ 33. Уравнение теплопроводности с двумя простран-
ственными переменными.............• • ?.)•
§ 34. Задача Дирихле для уравнения Пуассона..... ш^
248 Литература.........................• • •
Предметный указатель ......,.,..,........•
ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящей книге излагаются основы численных методов. Книга содержит материал, предусмотренный программой курса «Высшая математика для инженерно-технических специальностей высших учебных заведений». Для понимания почти всего содержания книги достаточно знания общего курса математики по указанной программе в объеме трех учебников Я. С. Бугрова и С. М. Никольского: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.—М.: Наука, 1980; Дифференциальное и интегральное исчисление.— М.: Наука, 1980; Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного.— М.: Наука, 1981.
При чтении § 14, 17 потребуются сведения о случайных величинах из Элементарного курса теории ве-роятностей. Некоторые дополнительные понятия, используемые в тексте, разъясняются во введении и по мере необходимости.
Глава 1 посвящена численным методам приближения функций одной переменной. Здесь, кроме многочленов Тейлора, интерполяционных многочленов и многочленов наилучшего равномерного приближения, рассматриваются аппроксимации кубическими сплайнами, значительное место уделяется важному в инженерно-технических приложениях методу наименьших квадратов в непериодическом и периодическом случаях с анализом погрешности самого метода и случайной ошибки, возникающей за счет ошибок наблюдений. В главу 1 включен также параграф, относящийся к численному дифференцированию, используемому при построении сплайнов, и вводный § 1 о приближенных числах.
В главе 2 представлены численные методы интегрирования. Наряду с традиционными квадратурными формулами кратко изложен метод Монте-Карло вычисления определенных интегралов, В § 16 обосновыч
Цена: 150руб.
