Хемминг Р. В.
Книга посвящена численным методам математического анализа, используемым на современных электронных вычислительных машинах. Она состоит из четырех частей.
Часть I, Дискретное исчисление конечных разностей (гл. 1-6), излагает основные понятия конечных разностей, суммирования конечных числовых рядов и конечных рядов Фурье.
Часть II, Приближение многочленами (гл. 7-20), содержит изложение классических численных методов интерполяции, численного интегрирования и численного решения дифференциальных уравнений, основанных на аппроксимации функции обычными алгебраическими многочленами. При этом рассматриваются приближения в смысле точного совпадения в узлах, в смысле наименьших квадратов и в смысле наименьшего отклонения по Чебышеву.
Часть III, Немногочленные приближения (гл. 21-27), посвящена аппроксимации функций с помощью экспоненциальных, а также с помощью рядов и интеграла Фурье.
Часть IV, Алгоритмы и эвристические методы (гл. 28-32), кроме некоторых известных алгоритмов для отыскания корней функции и для ряда задач линейной алгебры, рассматривает примеры моделирования, применения метода Монте-Карло и некоторые игровые задачи. Отдельная заключительная глава посвящена вопросам организации вычислительной работы.
Третья и четвертая части книги содержат ряд новых задач и методов. Изложение всех численных методов сопровождается разбором примеров из вычислительной практики автора.
Таблиц 32, рисунков 43, библиографических ссылок 44.
Второе издание печатается с матриц предыдущего, исправлены лишь замеченные опечатки.
Предисловие редактора перевода ......................... .12
Из предисловия автора ................................ 14
ЧАСТЬ I
ДИСКРЕТНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Глава 1. Исчисление разностей........................ 17
.1. Введение и система обозначений.................. 17
.2. Разностный оператор......................... 19
.3. Повторные разности.......................... 21
.4. Таблицы разностей........................... 23
.5. Факториалы............................... 27
.6. Деление многочленов......................... 29
.7. Числа Стирлинга первого рода................... 32
§ 1.8. Числа Стирлинга второго рода................... 34
§ 1.9. Пример.................................. 35
§ 1.10. Альтернативные замечания..................... 36
§ 1.11. Общие замечания и справки.................... 37
Глава 2. Погрешности округления ..................... 37
§ 2.1. Введение................................. 37
§ 2.2. Область ответа............................. 38
§ 2.3. Двойная точность........................... 39
§ 2.4. Счет со значащими разрядами................... 39
§ 2.5. Статистический подход........................ 40
§ 2.6. Случайное округление......................... 41
§ 2.7. Переменная точность......................... 41
§ 2.8. Оценка шума в таблице....................... 41
§ 2.9. Теория «младшего значащего разряда».............. 47
§ 2.10. Теория «старшего значащего разряла»............. 49
§ 2.11. Анализ распространения ошибки при небольшом вычислении .................................... 52
§ 2.12. Общие замечания и библиография................ 53
Глава 3. Исчисление сумм........................... 53
§ 3.1. Введение и система обозначений.................. 53
§ 3.2. Формулы суммирования....................... 56
§ 3.3. Суммирование по частям....................... 58
§ 3.4. Общие замечания ........................... 59
Глава 4. Вычисление бесконечных рядов................. 59
§ 4.1. Введение................................. 59
§ 4.2. Метод Куммера............................. 61
§ 4.3. Некоторые специальные суммы.................. 62
§ 4.4. Метод Эйлера.............................. 62
§ 4.5. Нелинейное преобразование..................... 66
§ 4.6. Степенные ряды ............................ 67
§ 4.7. Разложение по специальным функциям.............. 68
§ 4.8. Интегралы как приближения сумм ................ 68
§ 4.9. Дигамма-функция............................ 69
Глава 5. Уравнения в конечных разностях............... 71
§ 5.1. Система обозначений......................... 71
§ 5.2. Пример разностного уравнения первого порядка........ 72
§ 5.3. Пример уравнения второго порядка................ 74
§ 5.4. Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами ................................. 75
§ 5.5. Пример.................................. 76
Глава 6. Конечные ряды Фурье...................... . 78
§ 6.1. Введение................................. 78
§ 6.2. Ортогональность на дискретном множестве точек....... 79
§ 6.3. Точность разложения......................... 81
§ 6.4. Вычисление коэффициентов..................... 83
§ 6.5. Метод двенадцати ординат...................... 85
§ 6.6. Методы с минимумом умножений................. 87
§ 6.7. Разложение по косинусам...................... 87
§ 6.8. Локальные ряды Фурье........................ 88
ЧАСТЬ II
ПРИБЛИЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНАМИ - КЛАССИЧЕСКИЙ ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ
Глава 7. Введение в многочленные приближения........... 90
§ 7.1. Ориентация............................... 90
§ 7.2. Альтернативные формулировки................... 92 •
§ 7.3. Узловые точки, информация..................... 95
§ 7.4. Класс функций............................. 96
§ 7.5. Согласие................................. 97
§ 7.6. Точность . ................................ 98
Глава 8. Интерполяция многочленами. Данные, с произвольными
промежутками............................. 99
§ 8.1. Философия................................ 99
§ 8.2. Интерполяционные многочлены................... 99
§ 8.3. Метод интерполяции Лагранжа................... 103
§ 8.4. Интерполяционная формула Ньютона............... 106
§ 8.5. Другая форма для таблицы разделенных разностей...... 109
§ 8.6. Погрешность многочленной аппроксимации........... ПО
§ 8.7. Трудности приближения многочленом............... 113
§ 8.8. О выборе узловых точек....................... 116
Глава 9. Интерполяция многочленами. Равноотстоящие узлы... 117
§ 9.1. Формула Ньютона для интерполирования............ 117
§ 9.2. Интерполирование в таблицах................... 118
§ 9.3. Ромбовидная диаграмма....................... 119
§ 9.4. Замечания к выведенным формулам................ 123
§ 9.5. Смешанные интерполяционные формулы ............. 124
Глава 10. Единый метод нахождения интерполяционных формул 125
§ 10.1. Введение................................ }25
§ 10.2. Несколько типичных формул интегрирования......... 1*'
§ 10.3. Фиксированные узлы......................... 132
§ 10.4. Некоторые примеры формул.................... 135
§ 10.5. Значения функции и производной в фиксированных точках 137
§ 10.6. Свободные узлы; квадратура Гаусса............... 139
§ 10.7. Смешанный случай.......................... 141
§ 10.8. Замечания................................ I42
§ 10.9. Линейные ограничения на веса.................. 144
§ 10.10. Формула Грегори.......................... 147
§ 10.11. Выводы................................. 150
Глава 11. О нахождении остаточного члена формулы........152
§ 11.1. Потребность в остаточном члене................. 152
§ 11.2. Порядок остаточного члена..................... 152
§ 11.3. Функция влияния........................... 153
§ 11.4. Случай, когда G(s) имеет постоянный знак.......... 156
§ 11.5. Случай, когда функция влияния меняет знак......... 158
§ 11.6. Слабое место в методе рядов Тейлора............. 160
Глава 12. Формулы для определенных интегралов..........161
§ 12.1. Введение................................. 161
§ 12.2. Формулы Ньютона—Котеса..................... 164
§ 12.3. Использование формулы Грегори................. 166
§ 12.4. Открытые формулы......................... 168
§ 12.5. Квадратура Гаусса........................... 169
§ 12.6. Формулы интегрирования смешанного гауссового типа ... 170
§ 12.7. Суммирование рядов......................... 171
§ 12.8. Эффекты замены переменной................... 172
§ 12.9. Интегралы с параметром...................... 173
Глава 13. Неопределенные интегралы................... 173
§ 13.1. Описание содержания главы и система обозначений .... 173 § 13.2. Несколько простых формул для неопределенных интегралов .................................... 175
§ 13.3. Общий метод ............................. 177
§ 13.4. Ошибка вследствие отбрасывания членов.......... . 178
§ 13.5. Устойчивость.............................. 181
§ 13.6. Шум округления........................... 184
§ 13.7. Итоги .................................. 186
§ 13.8. Некоторые общие замечания.................... 187
§ 13.9. Экспериментальная проверка устойчивости.......... 189
§ 13.10. Пример интеграла свертки, иллюстрирующий идею устойчивости ................................. 189
Глава 14. Введение в дифференциальные уравнения........191
§ 14.1. Природа и смысл дифференциальных уравнений....... 191
§ 14.2. Поле направлений.......................... 192
§ 14.3. Численное решение.......................... 193
§ 14.4. Пример................................. 195
§ 14.5. Устойчивость метода простого прогноза........... . 197
§ 14.6. Устойчивость коррекции..........,........... 198
§ 14.7. Несколько общих замечаний.................... 200
§ 14.8. Системы уравнений.......................... 201
Глава 15. Общая теория методов прогноза и коррекции......202
§ 15.1. Введение ................................ 202
§ 15.2. Ошибка от отбрасывания членов................. 204
§ 15.3. Устойчивость.............................. 205
§ 15.4. Помехи округления.......................... 209
§ 15.5. Прогноз по трем точкам...................... 209
§ 15.6. Прогнозы типа Милна........................ 210
§ 15.7. Прогнозы типа Адамса—Башфорта................ 212
§ 15.8. Общие замечания о выборе метода............... 213
§ 15.9. Выбор прогноза............................ 214
§ 15.10. Некоторые формулы........................ 215
§ 15.11. Выбор шага и оценка точности................. 216
§ 15.12. Экспериментальная проверка................... 219
Глава 16. Специальные методы интегрирования обыкновенных
дифференциальных уравнений.................220
§ 16.1. Введение и общее описание.................... 220
§ 16.2. Методы Рунге—Кутта........................ 221
§ 16.3. Методы для уравнения второго порядка, когда отсутствует у'.................................. 222
§ 16.4. Линейные уравнения......................... 224
§ 16.5. Метод, который использует значения у, у' ч у"....... 225
§ 16.6. Случай, когда решение трудно аппроксимировать многочленом .................................. 226
§ 16.7. Краевые задачи............................ 229
Глава 17. Метод наименьших квадратов. Теория...........232
§ 17.1. Введение ................................ 232
§ 17.2. Метод наименьших квадратов................... 232
§ 17.3. Другие критерии........................... 234
§ 17.4. Ошибки с нормальным распределением............. 234
§ 17.5. Проведение подходящего многочлена.............. 237
§ 17.6. Ортогональные функции...................... 240
§ 17.7. Общие свойства ортогональных функций ........... 242
§ 17.8. Неравенство Бесселя и полнота.................. 244
§ 17.9. Метод наименьших квадратов и коэффициенты Фурье . . . 245
§ 17.10. Ортогональные многочлены.................... 247
§ 17.11. Классические ортогональные многочлены........... 249
§ 17.12. Сравнение метода наименьших квадратов и разложения в
степенные ряды........................... 250
§ 17.13. Метод наименьших квадратов с ограничениями; продолжение примера из § 1.9....................... 251
§ 17.14. Последние замечания о методе наименьших квадратов . . 252
Глава 18. Метод наименьших квадратов. Практика..........252
§ 18.1. Общие замечания о многочленном случае........... 252
§ 18.2. Трехчленное рекуррентное соотношение............ 253
§ 18.3. Построение квазиортогональных многочленов......... 255
§ 18.4. Немногочленный случай....................... 255
§ 18.5. Нелинейные параметры....................... 256
Глава 19. Многочлены Чебышева......................257
§ 19.1. Введение................................ 257
§ 19.2. Некоторые тождества........................ 259
§ 19.3. Критерий Чебышева......................... 260
§ 19.4. Экономизация............................. 262
ОГЛАВЛЕНИЕ 9
§ 19.5. Механизация процесса экономизаиии..............263
§ 19.6. Смещенные многочлены Чебышева................265
§ 19.7. т-процесс Ланцоша..........................266
§ 19.8. Видоизменение т-метода.......................268
§ 19.9. Несколько замечаний о чебышевском приближении.....270
§ 19.10. Критерий совпадения моментов.................270
Глава 20. Рациональные функции...................... 272
§ 20.1. Введение................................ 272
§ 20.2. Непосредственный подход...................... 273
§ 20.3. Чебышевское приближение рациональными функциями. . . 274
§ 20.4. Обратные разности (симметричные)............... 275
§ 20.5. Пример................-................ 278
ЧАСТЬ III
НЕМНОГОЧЛЕННЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
Глава 21. Периодические функции. Аппроксимация Фурье.....280
§ 21.1. Цель этой теории........................... 280
§ 21.2. Замена переменных и выбор узлов................ 281
§ 21.3. Ряды Фурье; периодические явления.............. 282
§ 21.4. Интерполяция периодических функций............. 285
§ 21.5. Интегрирование............................ 288
§ 21.6. Метод общего оператора....._............... 290
§ 21.7. Несколько замечаний относительно общего метода..... 293
Глава 22. Сходимость рядов Фурье.....................294
§ 22.1. Сходимость степенных рядов и рядов Фурье......... 294
§ 22.2. Функции с простым разрывом . .................. 295
§ 22.3. Функция, имеющая непрерывные производные более высокого порядка............................ 297
§ 22.4. Улучшение сходимости ряда Фурь»е............... 298
§ 22.5. Спектр мощности.........._ ... 299
§ 22.6. Явление Гиббса............ '.'.'.'.'.'.'.'.'.'.'...... 300
§ 22.7. Сигма-множители Ланцоша.... ,................ 301
§ 22.8. Сравнение методов сходимости .................. 303
§ 22.9. Техника дифференцирования по Ланцошу........... 304
Г л а в а 23. Непериодические функции. Инт-еграл Фурье....... 305
§ 23.1. Цель главы............................... 305
§ 23.2. Обозначения и краткое изложение результатов....... 306
§ 23.3. Интеграл Фурье............................ 310
§ 23.4. Преобразование Фурье некоторых: функций.......... 311
§ 23.5. Функции с ограниченным спектром и теорема выборки . . 313
§ 23.6. Теорема свертки ..........,................ 315
§ 23.7. Эффект конечного суммирования . ' ' ............. 316
Глава 24. Линейные фильтры. Сглаживание и дифференцирование.........................77.........317
§ 24.1. Введение...............„................317
§ 24.2. Пример простого сглаживающего "фильтра! !!!!!!!!!! 318 § 24.3. Пример построения фильтра ....................319
§ 24.4. Фильтры вообще...........!!!!!!!!!!!!!!!. 320
§ 24.5. Анализ простых формул для диф«фёренциров'ания' '.'.'.'... 321 § ^4.о. Как избежать вычисления произв одных?............ 322
§ 24.7. Метод Филона.............................323
§ 24.8. Заключительные замечания.....................325
Глава 25. Интегралы и дифференциальные уравнения.......326
§ 25.1. Содержание главы..........................326
§ 25.2. Метод передаточной функции для интегрирования......327
§ 25.3. Общие формулы интегрирования.................331
§ 25.4. Дифференциальные уравнения...................332
§ 25.5. Построение фильтров по методу Чебышева..........334
§ 25.6. Некоторые детали метода Чебышева..............336
Глава 26. Экспоненциальная аппроксимация..............340
§ 26.1. Введение................................340
§ 26.2. О нахождении формул, использующих экспоненты, когда
показатели экспонент известны .................. 340
§ 26.3. Неизвестные показатели.......................342
§ 26,4. Предупреждения ...........................343
§ 26.5. Экспоненты и многочлены.....................344
§ 26.6. Остаточные члены..........................344
Глава 27. Особенности..............................344
§ 27.1. Введение................................344
§ 27.2. Пример интеграла с особенностью в бесконечности.....345
§ 27.3. Особенность в линейном дифференциальном уравнении . . 346 § 27.4. Общие замечания...........................349
ЧАСТЬ IV
АЛГОРИТМЫ И ЭВРИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Глава 28. Нахождение нулей.........................350
§ 28.1. Алгоритмы и эвристические методы...............350
§ 28.2. Метод деления пополам для нахождения корня функции . . 351
§ 28.3. Линейная интерполяция.......................352
§ 28.4. Параболическая интерполяция...................352
§ 28.5. Некоторые общие замечания....................353
§ 28.6. Метод Берстоу для нахождения комплексных корней многочлена .................................355
Глава 29. Системы линейных алгебраических уравнений......359
§ 29.1. Введение ................................359
§ 29.2. Метод исключения Гаусса.....................360
§ 29.3. Варианты метода Гаусса......................362
§ 29.4. Метод Гаусса—Зайделя.......................363
§ 29.5. Повышенная точность........................364
§ 29.6. Общие замечания...........................364
Глава 30. Обращение матриц и собственные значения.......365
§ 30.1. Введение ................................365
§ 30.2. Обращение матрицы методом исключения по Гауссу .... 365
§ 30.3. Задача нахождения собственных значений...........366
§ 30.4. Наименьшие собственные значения................368
§ 30.5. Несколько замечаний........................368
Глава 31. Некоторые примеры моделирования.............369
§ 31.1. Введение...............................369
§ 31.2. Простой пример дискретного моделирования.........370
§ 31.3. 374 47 S
§ 31.4. § 31.5. Трехмерные крестики — нолики .................. Общие замечания о дискретном моделировании ....... 379
- § 31.6.
Глава 32. Случайные числа и методы Монте-Карло .......... 381
§ 32.1. § 32.2. Понятие случайного числа ..................... Генерирование случайных чисел в машине, работающей в 381
§ 32.3. Генерирование случайных чисел на десятичной машине . . 38Ь
§ 32.4.
§ 32.5. § 32.6. Еще одна иллюстрация метода Монте-Карло ......... 389
§ 32.7. Метод жулика ............................. 390
Глава N-}-\. Искусство вычислять для инженеров и ученых.
391
§ N-§ N-§ N-§ N-§ N-§ N-§ N-§ N-§ N-атура - ... 391
... 392
... 393
. . 394
395-
.6. Оценка усилий, необходимых для решения задачи ... 395 396
... 397
398
... 399
Цена: 300руб.
