3 Численные методы: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов/В. М. Заварыкин, В. Г. Житомирский, М. П. Лапчик.— М.: Просвещение, 1990.—176 с.: ил.— ISBN 5-09-000599-0.
Пособие является составной частью единого учебно-методического комплекса, подготавливающего будущих учителей к использованию вычислительной техники в школе. Содержатся теоретические сведения по численным методам алгебры и анализа,1, элементам линейного программирования и методам обработки экспериментальных данных. Имеются рекомендации к проведению лабораторного практикума.
ВВЕДЕНИЕ
Развитие новой технологии и широкое внедрение математических методов в инженерные исследования, а также рост числа, выпускаемой вычислительной техники и повышение ее качества, привели к широкому использованию электронно-вычислительных машин (ЭВМ) во многих областях народного хозяйства. В настоящее время успешное решение большинства научно-технических задач в значительной степени зависит от умения оперативно применять ЭВМ. Для этих целей существуют не только мощные и удобные универсальные, персональные большие и малые ЭВМ, большой набор инженерных программируемых калькуляторов, но и хорошо разработанный арсенал соответствующих численных методов. Для решения многих научно-технических задач разработан удовлетворительный математический аппарат, позволяющий оценить точность полученного решения и определить количество верных знаков вычисленного на ЭВМ решения. И все же использование ЭВМ не снимает всех проблем, которые возникают в ходе подготовки и решения этих задач. Так или иначе процесс решения проходит целый ряд стадий или этапов, каждый из которых имеет свои трудности и оказывает свое влияние на достоверность окончательного результата.
Решение практической задачи начинается с описания исходных данных и целей задачи на языке строго определенных математических понятий. Точная формулировка условий и целей решения — это математическая постановка задачи. Выделяя наиболее существенные свойства реального объекта, исследователь описывает их с помощью математических соотношений. Этот этап решения называется построением математической модели.
После этого осуществляется поиск метода решения задачи в рамках математической модели и строится алгоритм. Этап поиска и разработки алгоритма решения называют алгоритмизацией. Здесь используются любые формы представления алгоритмов: словесные описания, математические формулы и блок-схемы. Во многих случаях вслед за построением алгоритма выполняют так называемый контрольный просчет — грубую прикидку ожидаемых Результатов, которые используются затем для анализа полученного решения. На следующем этапе алгоритм решения задачи записывается,, на языке, понятном ЭВМ. Это — этап программирования. простейших случаях может оказаться, что на этом этапе вовсе и не
Введение.........................
Глава 1. Решение,уравнений с одной переменной..........
1.1. Постановка задачи.........'.........
1.2. Отделение корней...................,
.3. Метод половинного деления...............
.4. Метод -простой итерации............'.,...
.5. Оценка погрешности метода итераций...........
.6. Преобразование уравнения к итерационному виду....... .
.7. Практическая схема решения уравнения с 'одной переменной на ЭВМ
Лабораторная работа 1..................
Глава 2. Решение систем линейных алгебраических уравнений .....
2.1. Определения, обозначения, общие сведения . . '., . .' . . . .
2.2. Метод Гаусса....................
2.3. Вычисление определителей...............
2.4. Метод простой итерации................
2.5. Достаточные условия сходимости итерационного процесса ....
2.6. Практическая схема решения систем линейных уравнений методом простой итерации....................
2.7. Решение систем линейных уравнений методом Зейделя ......
2.8. Решение систем линейных уравнений методом Монте-Карло . . .
2.9. Решение систем уравнений методом ортогонализации.....
Лабораторная работа 2..................
Глава 3. Элементы линейного программирования......: . . .
3.1. Постановка задачи..............
3.2. Подход к решению задачи линейного программирования
3.3. Симплекс-метод...............
3.4. Симплекс-таблицы........:.....
3.5. Отыскание исходного базиса...........
Лабораторная работа 3..............
Глава 4. Интерполирование функций
4.1. Постановка задачи...........|,. ......
4.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа..........
4.3. Организация ручных вычислений по формуле Лагранжа . . .
4.4. Программа вычисления значения интерполяционного многочлена Лагранжа...................... .
4.5. Интерполяционные многочлены Ньютона для равноотстоящих узлов
4.5.1. Конечные разности................
4.5.2. Первая интерполяционная формула Ньютона......
4.5.3. Вторая интерполяционная формула Ньютона......
4.6. Погрешность многочленной интерполяции..........
4.7. Уплотнение таблиц функций...............
4.8. Интерполяция сплайнами................*'
Лабораторная работа 4..................
Глава 5. Численное дифференцирование и интегрирование
5.1. Особенность задачи численного дифференцирования .....
5.2. Интерполяционная формула Лагранжа для равноотстоящих узлов
5.3. Численное дифференцирование на основе интерполяционной формулы Лагранжа..................... 101
5.4. Численное дифференцирование на основе интерполяционной формулы Ньютона..................... 102
5.5. Постановка задачи численного интегрирования........ 104
5.6. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.......... 105
5.7. Формула трапеций................, . 106
5.8. Формула Симпсона.................. 109
5.9. Об оценке точности квадратурных формул.......... 112
5.10. Составление прбграмм для ЭВМ............ 113
5.10.1. Формулы трапеций и Симпсона........... —
5.10.2. Вычисление интегралов методом Монте-Карло..... 117
Лабораторная работа 5.................. 119
Глава 6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений..... 121
6.1. Постановка задачи.................. —
6.2. Метод Пикара.................... 122
6.3. Метод Эйлера.................... ,127
6.4. Метод Рунге — Кутта................. 128
Лабораторная работа 6.................. 132
Глава 7. Методы обработки экспериментальных данных........ 134
7.1. Метод наименьших квадратов.............. —
7.2. Нахождение приближающей функции в виде линейной функции и квадратного трехчлена (линейная и квадратичная регрессии) .... 137
7.3. Нахождение приближающей функции в виде других элементарных функций........................ 138
7.3.1. Степенная функция (геометрическая регрессия)..... 139
7.3.2.- Показательная функция.............. —
7.3.3. Дробно-линейная функция............. 140
7.3.4. Логарифмическая функция............. —
7.3.5. Гипербола.................... —
7.3.6. Дробно-рациональная функция............ —
7.4. Элементы математической статистики........... 147
7.4.1. Распределения................... 1-19
7.4.2. Проверка статистических гипотез........... 1S4
7.4.3. Дальнейшие статистические характеристики выборочной совокупности. Точечные и интервальные оценки........ 159
7.4.4. Критерии значимости............... 161
7.4.5. Корреляция и регрессия.............. 163
Лабораторная работа 7 .................. 169
Литература....................... 173
Цена: 150руб.
