В последние годы в связи с ростом интереса к эффек: тивной математике большое внимание привлекают метаматематические, теоретико-модельные и семантические аспекты интуиционизма. Предлагаемая книга, написанная выдающимся американским математиком и логиком С. К. Клини в сотрудничестве с Р. Ю. Весли, будет способствовать знакомству советского читателя с этим кругом вопросов.
В книге детально излагается принадлежащая Клини формализация интуиционистского анализа и рассматриваются интерпретации этого формализма средствами теории рекурсивных функций. На этой основе устанавливается ряд интересных метаматематических результатов.
Одна из глав посвящена изложению средствами развиваемой в книге формальной системы брауэровской теории континуума.
Книга несомненно представит интерес как для специалистов в области математической логики и оснований математики, так и для более широкого круга читателей, интересующихся вопросами построения «эффективной» математики.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От переводчиков.................... 7
Предисловие...................... 9
Глава I
Формальная система интуиционистского анализа. С. К.. Клини 11
§ 1. Введение (в монографию)........... И
§ 2. Статус формальной системы........... 15
§ 3. Правила образования.............. 19
§ 4. Постулаты исчисления предикатов, арифметики и касающиеся функций (постулаты групп А — С) . . 24 • § 5. Постулаты для некоторых примитивно рекурсивных
функций и их следствия (постулаты группы D) 32
§ 6. Постулаты для потоков (бар-теорема)..... 65
§ 7. Постулаты, касающиеся сопоставления функций
последовательностям выбора (принцип Брауэра) 100
Глава II
Различные понятия реализуемости. С. К. Клини..... 127
§ 8. Определение реализуемости........... 127
§ 9. Реализуемость и выводимость в интуиционистской
формальной системе............... 147
§ 10. Специальная реализуемость........... 166
§ 11. Специальная реализуемость и выводимость в интуиционистской формальной системе........ 176
Глава III
Интуиционистский континуум. Р. Ю. Ввели....... 184
§ 12. Введение.................... 184
§ 13. Действительные числовые генераторы и действительные числа................. 185
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 14. Представление потоком; основные свойства
кон-
тинуума ...................... 188
§ 15. Теорема о равномерной непрерывности..... 208
§ 16. Структура континуума............. 215
Глава IV
О порядке на континууме. С. К. Клини.......... 239
§ 17. Введение и предварительные замечания..... 239
§ 18. Опровержение или доказательство независимости
некоторых классических свойств порядка .... 245
Библиография. С. К. Клини.............. 254
Указатель имен..................... 267
Предметный указатель ................. 268
Указатель обозначений................ 270
ОТ ПЕРЕВОДЧИКОВ
В последние годы заметно повысился интерес к изучению конструктивности в математике. В исследовании этого круга вопросов можно выделить две основные тенденции. Одна из них, развитая Брауэром и его последователями, известна под названием «интуиционизм», другая тенденция, разделяемая многими математиками самой различной философской ориентации, связывает интуитивную эффективность с точными концепциями алгорифмов. Последняя тенденция весьма подробно освещена в советской монографической литературе. С другой стороны, хотя ряд интуиционистских результатов и в особенности интуиционистская критика классической математики стали широко известны, многие более глубокие идеи Брауэра, в частности его теория последовательностей выбора (свободно становящихся последовательностей в другой терминологии), в течение длительного времени оставались малопонятными для большинства математиков. Большая роль в весьма нелегком осмысливании и кристаллизации этих идей и в прояснении сходства и различий двух упомянутых только что конструктивных тенденций принадлежит выдающемуся американскому математику и логику С. К- Клини. В частности, Клини создал практически первую жизнеспособную формальную систему интуиционистского анализа 1). Предлагаемая монография, написанная С. К- Клини в сотрудничестве с Р. Ю. Весли, суммирует многолетние исследования старшего из авторов (С. К- Клини), посвященные основаниям и интерпретациям интуиционистской математики. В книге строится и изучается формализм, который можно рассматривать как расширение
х) Наряду с формализацией Клини в литературе получили распространение формальные системы интуиционистского анализа Крайзела и Трулстра 1970, а также Майхилла 1968, 1970, 1975 (см. примечание на стр. 11).
ОТ ПЕРЕВОДЧИКОВ
формальной интуиционистской арифметики, развитой в известной монографии Клини «Введение в метаматематику», и который позволяет изложить широкие разделы интуиционистского анализа, включая теорию последовательностей выбора и брауэровскую теорию континуума. Не заменяя живую интуиционистскую математику (и не претендуя на такую замену), формализация позволяет четко фиксировать сравнительно небольшое число исходных принципиальных концепций и тем самым дает возможность быстро войти в круг рассматриваемых вопросов математикам, не ориентирующимся в философии интуиционизма. Выбор тех или иных формальных аксиом, как правило, сопровождается в книге обсуждением приводящих к этим аксиомам содержательных соображений,— в частности, весьма обстоятельному обсуждению подвергнуты такие традиционно трудные аспекты интуиционисткой математики, как бар-теорема и принцип непрерывности Брауэра.
Другой стороной метода формализации является возможность получения метаматематических результатов об интуиционистских формальных системах, а также применения к ним теоретико-модельных (семантических) конструкций. Из четырех глав книги две специально посвящены рассмотрениям этого типа. Здесь, в частности, излагаются новые версии интерпретаций интуиционистских систем в терминах рекурсивной реализуемости, с помощью которых устанавливается ряд теорем о невыводимости (в том числе доказывается независимость принципа Маркова относительно формальной системы интуиционистского анализа). Монография написана лаконично и точно с присущим С. К- Клини мастерством, знакомым советскому читателю по переводам его книг «Введение в метаматематику» и «Математическая логика». Она может служить хорошим введением в область математики, привлекающую в последние годы большое число исследователей.
Ф. А. Кабаков, Б. А. Кушнер
ПРЕДИСЛОВИЕ
В своем интуиционистском анализе Л. Э. Я. Брауэр создал теорию, которая расходится с классической математикой и которая в своих деталях не стала широко известной или понятой. Поэтому, как нам кажется, эта теория представляет собой вызов метаматематическим и теоретико-модельным методам. В главе I мы строим ее формализацию, отличную от выполненной в 1930 г. Рейтингом. Наша формализация включает в себя продолжение формального развертывания интуиционистской и классической элементарной теории чисел (арифметики), которое должно заинтересовать читателя монографии старшего автора «Введение в метаматематику», где такое развертывание формализованной математики в части II обрывается несколько неожиданно. Интерпретация, или теоретико-модельная трактовка, предпринята в главе II с использованием теории рекурсивных функций из части III «Введения в метаматематику». -Эта глава содержит две новые интерпретации (с вариациями) посредством реализуемости (одна из них в другой форме была кратко объявлена старшим автором в 1957 г.). Написанная Весли третья глава формализует брауэровскую теорию континуума и, наконец, в главе IV как метаматематические, так и теоретико-модельные рассмотрения применяются к некоторым спорным вопросам рассматриваемой теории. У читателя не предполагается никаких предварительных знаний, за исключением знакомства с некоторым материалом, который можно найти в главах I — XII «Введения в метаматематику» или где-нибудь еще.
Исследования, представляемые теперь в окончательном виде в настоящей монографии, были начаты старшим автором в своей существенной части в 1950 г. при поддержке Мемориального Гуггенхеймовского общества. Заключительная часть исследований и подготовка к печати пришлись
Цена: 150руб.
