АННОТАЦИЯ
Данная книга обращена прежде всего к тем, кто изучает математику, — начиная от учащихся старших классов и студентов и кончая специалистами в различных областях, которым приходится встречаться с применением математических методов исследования. Читатель узнаёт, какими путями добываются новые факты в математике, с какой степенью доверия следует относиться к той или иной математической гипотезе — одним словом, перед ним раскрывается подлинный процесс математического творчества. (Автор особенно подчеркивает общность путей открытия истин для всех естественных наук.) Благодаря этому книга является также незаменимым пособием для преподавателей математики всех ступеней. Увлекательность изложения, обилие исторических иллюстраций, а также предпринятая автором попытка построения теории правдоподобных (индуктивных) умозаключений делают книгу интересной и для профессионала-математика.
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
В применении к такой строгой науке, как математика, имеют ли смысл индукция (конечно, неполная), аналогия, наблюдение, гипотеза, эксперимент, короче говоря, методы, которыми пользуется каждый естествоиспытатель?
Ответу на этот вопрос посвящена книга известного математика и замечательного педагога Д. Пойа.
Советскому читателю, интересующемуся математикой, автор хорошо известен по книге Г. Полна и Г. Cere, „Задачи и теоремы из анализа', ч. I и II, второе издание которой вышло у наев 1956 г. Уже в этой книге авторы ставили перед собой задачу указать начинающему математику пути к математическому k-творчеству, научить его способам, позволяющим лучше разбираться в трудных математических вопросах, открывать математические теоремы, решать задачи. Впоследствии Пойа написал на ту же тему популярную книжку яКак это решить?", рассчитанную на учителей математики и учащихся. Настоящая книга, изданная в двух томах в Принстоне (США) в 1954 г., представляет собою итог многолетней работы автора, научной и педагогической, над вопросами о путях математического творчества.
Исследование такого рода естественно отличается от обычных математических работ. Оно основано на наблюдении и обобщении, на попытках проникнуть в творческую лабораторию великих мате* матиков, придумать и поставить подходящий эксперимент. Иными словами, методы исследования здесь, собственно, те же, что и вообще в естествознании. И самое замечательное, что основной итог, к которому приходит Пойа и который он убедительно обосновывает, состоит как раз в том, что в своем математическом творчестве математик так же пользуется наблюдением и обобщением, гипотезой и экспериментом, как это делает всякий естествоиспытатель. Больше того, автор считает даже, что индуктивные, т. е. основанные на вышеперечисленных методах J), рассуждения легче изучать в области математики, чем в какой-либо другой области.
В соответствии с такой установкой автора первая часть книги содержит большое число примеров разных степеней трудности
1) В отличие от индуктивных в более узком смысле слова, автор называет их .правдоподобными"—plausible—рассуждениями.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ре дактор а пе ре вод а............ 5
Предисловие......................... 9-
Сов еты чит ате л ю....................... 17
Том I
ИНДУКЦИЯ И АНАЛОГИЯ В МАТЕМАТИКЕ
Глава L Индукция........................ 21
1. Опыт и представление................... 21
2. Наводящие контакты................... 22
3. Подкрепляющие контакты................. 24
4. Индуктивный подход................... 26
Примеры и примечания к главе I.....• . . ,...... 27
[12. Да и нет. 13. Опыт и поведение. 14. Логик, математик, физик и инженер.]
Глава И. Обобщение, специализация, аналогия......... 31
1. Обобщение, специализация, аналогия и индукция..... 31
2. Обобщение......................... 31
3. Специализация...................... 32
4. Аналогия.......•..................32
5. Обобщение, специализация и аналогия........... 34
6. Открытие по аналогии................... 36
7. Аналогия и индукция...................'40
Примеры и примечания к главе II.............. 41
Первая часть л........................ 41
[1. Правильное обобщение. 5. Крайний частный случай,- 7. Ведущий частный случай. 10. Частный случай-представитель. 11. Аналогичный случай. 18. Великие аналогии. 19. Выясненные аналогии.
20. Цитаты.]
Вторая часть .... ..................... 50
[21. Предположение Э. 44. Возражение и первый шаг к доказательству. 45. Второй шаг к доказательству. 46. Опасности аналогии.]
Глава III. Индукция в пространственной геометрии....... 56
1. Многогранники...................... 56
2. Первые прдкрепляющие контакты............. 5§
3. Еще подкрепляющие контакты.............. сд
4. Суровое испытание................... g-
5. Подтверждения и подтверждения............. 62
6. Очень отличающийся случай................ бз
7. Аналогия..........;............. go
8. Разбиение пространства................. gg
9. Видоизменение задачи.................. 65
10. Обобщение, специализация, аналогия........... 56
11. Одна аналогичная задача................. gg
12. Серия аналогичных задач................. gg
13. Много задач иногда легче решить, чем только одну .... 69
14. Предположение...................... gg
15. Предсказание и подтверждение .............. 70
16. Снова и лучше...................... 71
17. Индукция подсказывает дедукцию; частный случай подсказывает общее доказательство................ 72
18. Еще предположения................... 73
Примеры и примечания к главе III.............. 74
[21. Индукция: приспособление ума, приспособление языка.
31. Работа Декарта о многогранниках. 36. Дополнительные телесные углы, дополнительные сферические многоугольники.]
ча IV. Индукций в теории чисел.............. 81
1. Целочисленные прямоугольные треугольники........ 81
2. Суммы квадратов..................... 84
3. О сумме четырех нечетных квадратов........... 85
4. Исследование примера.................. 86
5. Составление таблицы наблюдений............. . 87
6. Каково правило?..................... 87
7. Природа индуктивного открытия.............. 91
8. О природе индуктивных доводов............. 91
Примеры и примечания к главе IV.............. 94
[1. Обозначения. 26. Опасности индукции.]
ш V. Разные примеры индукции............... 100
1. Разложения........................ 100
2. Приближения....................... Ю2
3. Пределы......................... 104
4. Попытка опровергнуть.................. 1°4
5. Попытка доказать..................... Ю"
6. Роль индуктивной фазы..........•....... 1°8
Примеры и примечания к главе V..............
[15. Объясните наблюдаемые закономерности. 16. Классифицируйте наблюдаемые факты. 18. В чем различие?]
115
\а VI. Одно более общее утверждение............ "
1. Эйлер.................'.........
2, Мемуар Эйлера.....................'
Оглавление 531
3. Переход к более общей точке зрения.......... 124
4. Схематический очерк мемуара Эйлера ... ........ 125
Примеры и примечания к главе VI............. . 126
(1. Производящие функции. 7, Одна комбинаторная задача плоской геометрии. 10. Суммы квадратов. 19. Другая рекуррентная формула. 20. Другой Наиболее Необычайный Закон Чисел, Относящийся к Суммам их Делителей. 24. Как Эйлер упустил открытие.
25. Обобщение теоремы Эйлера о а (л).]
Глава VII. Математическая индукция.............. 134
/ 1. Индуктивная фаза.................... 134
2. Фаза доказательства................... 136
3. Исследование переходов........ . ........ 136
4. Техника математической индукции............. 138
Примеры и примечания к главе VII..............' 143
[12. Доказать больше иногда легче. 14. Уравновесьте вашу теорему! 15. Перспектива. 17. Равны 'ли любые п чисел?]
Глава VIII. Максимумы и минимумы............... 148
1. Схемы.......................... 148
2. Пример......................... 149
3. Схема касательной линии уровня............. 151
4. Примеры......................... 153
5. Схема частного изменения................. 155
6. Теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом и ее первые следствия................ 157
Примеры и примечания к главе VIII............. 159
Первая часть......................... 159
[1. Наименьшие и наибольшие расстояния в плоской геометрии. 2. Наименьшие и наибольшие расстояния в пространственной геометрии. 3. Линии уровня на плоскости. 4. Поверхности уровня в пространстве. И. Принцип пересекающей,линии уровня. 22. Принцип частного изменения. 23. Существование экстремума. 24. Видоизменение схемы частного изменения: бесконечный процесс. 25. Другое видоизменение схемы частного изменения: конечный процесс. 26. Графическое сравнение.]
Вторая часть......................... 165
[33. Многоугольники и многогранники. Площадь и периметр. Объем и поверхность. 34. Прямая призма с квадратным основанием. 35. Прямой цилиндр. 36. Произвольная прямая призма. 37. Прямая двойная пирамида с квадратным основанием. 38. Прямой двойной конус. 39. Произвольная прямая двойная пирамида. 43. Приложение геометрии/к алгебре. 45. Приложение алгебры к геометрии. 51. Прямая пирамида с квадратным основанием. 52. Прямой конус. 53. Произвольная прямая пирамида. 55. Ящик без крышки. 56. Корыто. 57, Обломок. 62, Почтовая задача. 63. Задача Кеплера.]
532 Оглавление
Глава IX. Физическая математика ............. ._.
1. Оптическая интерпретация ............ • • • •
2. Механическая интерпретация. ............ ._,.
3. Новая интерпретация ............... .__
4. Открытие брахистохроны Иоганном Бернулли .... joi
5. Открытие Архимедом интегрального исчисления .... 133
Примеры и примечания к главе IX ............. 187
[3. Треугольник с минимальным периметром, вписанный в дан-
ный треугольник. 9. Транспортный центр четырех точек в пространстве. 10. Транспортный центр четырех точек на плоскости. И. Транспортная сеть для четырех точек. 12. Разверните и выпрямите. 13. Бильярд. 14. Геофизическое исследование. 23. Кратчайшие линии на многогранной поверхности. 24. Кратчайшие (геодезические) линии на кривой поверхности. 26. Построение посредством сгибания бумаги. 27. Бросается кость. 28. Всемирный потоп. 29. Не слишком глубоко. 30. Полезный крайний случай. 32. Вариационное исчисление. 33. От равновесия поперечных сечений к равновесию тел. 38. Ретроспективный взгляд на Метод Архимеда.] Глава X. Изопериметрическая задача .............. 198
1. Индуктивные доводы Декарта ............... 198
2. Скрытые доводы ..................... 199
3. Физические доводы .................... 200
4. Индуктивные доводы лорда Рэлея ............. 200
5. Выведение следствий ................... 201
6. Подтверждение следствий ................. 204
7. Очень близко ....................... 208
8. Три формы изопериметрической теоремы ......... 209
9. Приложения и вопросы .................. 211
« Примеры и примечания к главе X .............. 212
Первая часть ......................... 212
[1. Взгляд назад. 2. Могли бы вы вывести какую-либо часть
этого результата иначе? 3. Заново с большими подробностями.
7. Можете ли вы воспользоваться этим методом для решения
какой-нибудь другой задачи? 8. Более сильная форма изопери-
метрической теоремы.]
Вторая часть ......................... 214
[16. Палка и веревка. 21. Две палки и две веревки. 25. Задача Дидоны в пространственной геометрии. 27. Биссекторы плоской области. 34. Биссекторы замкнутой поверхности. 40. Фигура многих совершенств. 41. Аналогичный случай. 42. Правильные многогранники. 43. Индуктивные доводы.] Глава XI. Другие виды правдоподобных доводов ........ 221
1. Предположения и предположения ............. 22
2. Суждение по связанному случаю ..............
ХГМ/ TTAII
Оглавление 533
4. Более простое предположение предпочтительнее...... 225
5. Фон........................... 227
6. Неисчерпаем......... . . ............ 230
7. Обычные эвристические допущения............ 231
Примеры и примечания к главе XI.............. 232
[16. Общий случай. 19. Никакая идея не является действительно плохой. 20. Несколько обычных эвристических допущений.
21. Вознагражденный оптимизм. 23. Числовые выкладки и инженер.]
Заключительное замечание К первому тому.......... 242
/
том И
СХЕМЫ ПРАВДОПОДОБНЫХ УМОЗАКЛЮЧЕНИЙ
Предисловие ко II тому................... 245
Глава XII. Несколько бросающихся в глаза схем ...•..- . . 247
1. Подтверждение следствия................. 247
2. Последовательное подтверждение нескольких следствий . . 249
3. Подтверждение невероятного следствия.......... 251
4. Умозаключение по аналогии................ 254
5. Углубление аналогии................... 255
6. Затушеванное умозаключение по аналогии . ........ 257
Примеры и примечания к главе XII............. 258
[14. Индуктивное умозаключение по бесплодным усилиям.]
Глава XIII. Дальнейшие схемы и первые связи между схемами 264
1. Исследование следствия.................. 264
2. Исследование возможного основания............ 265
3. Исследование противоречащего предположения....... 266
4. Логические термины................... 267
5. Логические связи между схемами правдоподобных умозаключений ........,.......•........ 270
6. Затушеванное умозаключение............... 271
7. Таблица................'........ 273
8. Комбинация простых схем................. 273
9. Об умозаключении по аналогии.............. 274
10. Уточненное умозаключение................ 276
11. О последовательных подтверждениях........... 278
12. О соперничающих предположениях............ 279
13. О судебном доказательстве................ 280
Примеры и примечания к главе XIII............. 2f6
Первая часть........................ 286
[9. Об индуктивном исследовании в математике и в физических науках. 10. Пробные общие формулировки.]
Вторая часть......................• • • 293
[11. Более личное, более сложное. 12. Существует прямая, со-
34*
53*4
.единяющая две данные точки. 13. Существует прямая, проходящая через данную точку в данном направлении. Проведение параллели. 1.4. Наиболее очевидный случай может оказаться единственным ЕОЗМОЖНЫМ случаем. 15. Установление моды. Сила слов. 16. Это слишком невероятно, чтобы быть только совпадением. 17. Совершенствование аналогии. 18. Новое предположение. 19. Еще
Глава XIV. Случай. Всегда имеющееся соперничающее пред-
положение .............. . ...... . зоб
? Случайные массовые явления ............... 306 Понятие вероятности ................... 308 Применение мешка и шаров ................ 312
4. Исчисление вероятностей. Статистические гипотезы ..... 315
5. Непосредственное предсказание частот ........... 317
6. Объяснение явлений ................... 323
7. Оценка статистических гипотез ......... ..... 327
8. Выбор между статистическими гипотезами ...... • . . . 332
9. Оценка нестатистических предположений ... ...... 339
10. Оценка математических предположений .......... 352
Примеры и примечания к главе XIV ............. 355
Первая часть . ...................... . . 355
Вторая часть ......................... 356
[19. О понятии вероятности. 20. Как не следует истолковывать понятие вероятности, основанное на частоте. 24. Вероятность и решение задач. 25. Правильный и неправильный. 26. Фундаментальные правила исчисления вероятностей. 27. Независимость.
30. Перестановки и вероятность. 31. Сочетания и вероятность. 32. Выбор соперничающего статистического предположения. Пример. 33. Выбор соперничающего статистическогв предположения. Общде замечания.]
Глава XV. Исчисление вероятностей и логика правдоподобных
рассуждений ........... ........... 367
1. Правила правдоподобных рассуждений .......... 367
2. Один аспект доказательного рассуждения ......... 370
3. Соответствующий аспект правдоподобного рассуждения . . 372
4. Один аспект исчисления вероятностей. Трудности ..... 375
5. Один аспект исчисления вероятностей. Попытка . • . . . . 377
6. Исследование следствия ........... ....... 379
7. Исследование возможного основания ............ 382
8. Исследование противоречащего предположения ...... 383
9. Исследование одного за другим нескольких следствий . . • 385 10. О косвенных уликах , . , ........... ..... ^87
Примеры и примечания к главе XV .............
[4. Вероятность и правдоподобность. 5. Правдоподобие и правдоподобность. 6. Попытка Лапласа связать индукцию с ве-
ОглавАёнМ S3)
роятностью. 7. Почему не количественно? 8. Бесконечно >
мадыеправдоподобности? 9. Правила допустимдсти.^.._•_'-•»'-'—
Глава XVI. Правдоподобные рассуждения в изобретении и обучении ......................... 405
1. Предмет настоящей главы................. 405
2. Рассказ о маленьком открытии.............. 405
3. Процесс решения..............*...... 408
4. Deus ex machina..................... 409
5. Эвристическое оправдание.................. 411
6. Рассказ о другом открытии................ 412
7. Несколько типичных указаний............... 416
8. Индукция в изобретении . .........• • •...... 417
9. Несколько слов преподавателю.............. 422
Примеры и примечания к главе XVI............. 425
[1. Преподавателю: некоторые типы задач. 7. Qui nimiura pro-
bat, nihil probat. 8. Близость и правдоподобность. 9. Вычисления и правдоподобные рассуждения. 13. Формальное доказательство и правдоподобные рассуждения.]
Решения, глава I...................... 439
глава II..................... 440
глава III..................... 448
глава IV..................... 454
глава V ........... .......... 459
глава VI . . . '................. 463
глава VII................... .
Цена: 300руб.
