70 Математические основы кибернетики: Учеб. ^о-. собие для вузов. — 2-е изд., перераб. и доп. — Мл Энергия, 1980. —424 с., ил.
В пер.: 1 р. 10 к.
Книга содержит систематическое изложение математического аппарата, используемого при исследовании кибернетических моделей сложных систем, а также методов оптимизации таких систем, и ставит целью ввести студента в круг понятий современной теории управления.
По сравнению с первым изданием (1972 г.) в книгу внесены существенные изменения и добавления: полностью переработана глава по многомерным пространствам, расширены разделы по методам оптимизации, добавлены разделы по планированию эксперимента, нелинейному программированию, поисковым алгоритмам оптимизации, теории массового обслуживания.
Книга предназначена в качестве учебного пособия для студентов =van«, обучающихся по специальности «Автоматика и телемеханика».
ПРЕДИСЛОВИЕ
Вопросы кибернетики как науки об общих законо* мерностях процессов управления в системах различной физической природы [1—5] занимают в последние годы все больше и больше места в дисциплинах, связанных с изучением управляемых систем. Чрезвычайно актуальными эти вопросы являются для специальности «Автоматика и телемеханика», в которой изучению различных аспектов автоматического управления посвящен целый ряд дисциплин учебного плана. В то же время читаемый в технических вузах курс высшей математики с упором на изучение непрерывных и детерминированных процессов оказывается недостаточным для изложения ряда общетеоретических и . специальных дисциплин учебного плана этой специальности, таких как «Теоретические основы кибернетики», «Оптимальные и адаптивные системы»,'«Теория и применение управляющих машин», «Большие системы автоматического управления», в которых упор делается на дискретное и случайное. В этих дисциплинах находят широкое применение методы оптимизации, основанные на использовании линейного, нелинейного и динамического программирования, теории игр, теории статистических решений, методы планирования эксперимента, методы теории расписаний и массового обслуживания. В основе всех этих методов лежат общие математические понятия теории множеств и отношений, теории графов, теории многомерных пространств и линейных преобразований, теории вероятностей и математической статистики. Общность математических основ для многочисленных методов оптимизации позволяет изложить все эти методы весьма компактно и с единых позиций, что в значительной степени облегчает изучение перечисленных дисциплин и установление связи между ними.
После выхода в свет в 1972 г. первого издания учебного пособия автор получил ряд отзывов и пожеланий по
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.........., » • . 3
Указатель обозначений .,..,....«• 5
Глава первая. Основные понятия теории множеств . 7
1-1. Конечные и бесконечные множества ..... 7
а) Основные определения ........ 7
б) Понятие подмножества.......« 10
в) Верхняя и нижняя границы множества ... И 1-2. Операции над множествами ....... 12
а) Предварительные замечания ...... 12
б) Объединение множеств........ 13
в) Пересечение множеств ......... 15
г) Разность множеств ......... 17
д) Универсальное множество ,...... 17
е) Дополнение множества . ,...... 18
ж) Разбиение множества ........ 19
з) Тождества алгебры множеств...... 20
1-3. Упорядочение элементов и прямое произведение множеств............. 22
а) Упорядоченное множество ....... 22
б) Прямое произведение множеств , . . 25
в) Проекция множества ........ 26
1-4. Соответствия ........... 26
а) Определение соответствия...... . 26
б) Обратное соответствие . ,...... 28
в) Композиция соответствий ..,.,., 28 1-5. Отображения и функции........ 29
а) Отображения и их свойства f . . . , 29
б) Отображения, заданные на одном множестве . 31
в) Функция............ 32
г) Обратная функция......... 35
д) Функция времени......... 35
е) Понятие функционала ........ 37
ж) Понятие оператора ........ 39
1-6. Отношения.....,...... 39
а) Свойства отношений ..-—..,.... 39
б) Отношение эквивалентности....., 40
в) Отношение порядка........ 42
г) Отношение доминирования....., 43
Задачи к гл. 1 .............. 43
Глава вторая. Основы теории графов . , , ,
2-1. Основные определения теории графов .... 44
а) Теоретико-множественное определение графа . . 44
б) Отношение порядка и отношение эквивалентности
на графе......,..... 48
в) Характеристики графов ....... 49
2-2. Задача о кратчайшем пути ....... 51
а) Постановка задачи ......... 51
417
44
И
б) Определение метрического пространства Примеры метрических пространств
3-2. Линейные пространства
б) Нахождение кратчайшего пути в графе с ребрами единичной длины......... 52
в) Нахождение кратчайшего пути в графе с ребраын произвольной длины......, 54
г) Построение графа наименьшей длины ... 56
2-3. Транспортные сети .......,, 58
а) Основные понятия ••••••.«, 58
б) Задача о наибольшем потоке >•>...• 60
в) Транспортная задача......., g^
Глава третья. Элементы линейной алгебры и выпуклые
множества............... 71
3-1. Метрические пространства и расстояния , 71
а) Понятие о расстоянии..... 71
73 73
- - 75
а) Определение линейного пространства 75
б) Действия над векторами......•'. 77
в) Линейная зависимость и независимость векторов 78
г) Линейное подпространство...... 79
д) Размерность линейного пространства . . . . . 80 3-3. Евклидовы пространства........ 81 .
а) Линейное нормированное пространство ... 81
б) Скалярное произведение векторов ..... 82
в) Угол между векторами. Ортогональные векторы - 85 3-4. Матрицы и линейные преобразования . 86
а) Понятие матрицы........, 86
б) Линейное преобразование...... 87
в) Операции над матрицами ....... 88
г) Транспонированная матрица...... 91
3-5. Квадратные матрицы......... 92
а) Особенности квадратных матриц. Нулевая и единичная матрицы . .......-^. 92*
б) Определитель квадратной матрицы . . . . 93
в) Обратная матрица и решение систем линейных уравнений........... . 94
г) Инвариантное подпространство. Собственные векторы и собственные значения матриц .... 96
д) Диагонализация матриц ....... юо
3-6. Симметрические матрицы и квадратичные формы . до2-
а) Собственные векторы и собственные значения ве-щественных симметрических матриц . . . . jj*:
б) Диагонализация симметрических матриц . . • JJ*:
в) Квадратичные формы........ '"*
г) Использование квадратичных форм при отыскании ^ экстремумов функций многих переменных . . {•'2
3-7. Выпуклые множества.......... |}Ji
а) Понятие гиперсферы.......• jjjL
б) Ограниченные и конечные множества ... J"i
в) Открытые и замкнутые множества ...» ч {Jji
г) Гиперплоскости и полупространства . . • • -^
д) Прямая и отрезок. Средневзвешенное по элемен- . „ там множества .......••• *|j|
е) Выпуклые множества . , . . • • • •
ж) Выпуклая оболочка конечного множества . . 112
з) Разделительная и опорная гиперплоскости . . 114
Задачи к гл. 3 . . . ......... 116
Глава четвертая. Элементы теории вероятностей и математической статистики.......... 116
4-1.-Понятие вероятности......... 116
а) События и пространство исходов эксперимента . 116
б) Понятие вероятности . ....... 118
в) Вероятность события........ 119
г) Способы приписывания вероятностей исходам экс-.перимента............ 120
д) Вычисление вероятностей сложных событий . . 122 4-2. Условные вероятности......... 123
а) Понятие условной вероятности . , . , . 123
б) Двумерные случайные величины ..... 125
в) Формула полной вероятности...... 127
4-3. Непрерывные случайные величины и их распределения 128
а) Понятие непрерывной случайной величины . . 128
б) Функция распределения вероятностей .... 128
в) Плотность распределения вероятностей . , , 129
г) Равномерное распределение...... 131
д) Нормальное распределение...... 131
4-4.v Числовые характеристики случайных величин . , 133
а) Понятие о числовых характеристиках .... 133
б) Математическое ожидание случайной величины . 133
в) Математическое ожидание функции от случайной величины............ 134
г) Математическое ожидание функции двух случайных величин........... 137
д) Условное математическое ожидание .... 138
е) Свойства математического ожидания..... 138
ж) Моменты. Дисперсия. Среднеквадратическое отклонение ............ 139
з) Регрессия и корреляция....... 141
4-5. Дискретные случайные процессы...... 144
а) Понятие о дискретных случайных процессах . 144
б) Процесс независимых испытаний с двумя исходами. Биномиальное • распределение вероятностей 147
в) Распределение Пуассона....... 149
г) Экспоненциальное распределение. Понятие о надежности ........... 150
д) Марковские цепи......, . , 153
4-6. Элементы математической статистики . . 159
а) Предмет математической статистики
б) Понятие случайной выборки ....
в) Предельные теоремы теории вероятностей
г) Задачи математической статистики
159 160 161 164
д) Несмещенные оценки математического ожидания
и дисперсии ..........166
е) Нахождение оценок по методу максимального правдоподобия ......... 168
ж) Оценка параметров по методу доверительных интервалов ........... 171
419
з) Проверка статистических гипотез. Понятие о критерии согласия.......... ITS,
и) Оценка влияния некоторого фактора на характер
случайной величины........ 178
к) Проверка гипотезы о дисперсиях. Понятие о
F-распределении ........ ,179
4-7. Регрессионный анализ и планирование эксперимента J8Q
а) Задача регрессионного анализа . . . . 180
б) Определение коэффициентов регрессии по данным • пассивного эксперимента...... . 183
в) Решение системы нормальных уравнений в матч ричной форме.......... 184
г) Понятие о планировании эксперимента . . » . 187
д) Полный факторный эксперимент . . ', . '- 188
е) Понятие дробных реплик . , . . , , 192 Задачи к гл. 4.......... , 195
лава пятая. Структура и математическое описание за-
ач оптимального управления ........,• -196
5-1. Основные черты процесса управления . . , , 196
а) Понятие об управлении 6)
б) Виды задач управления ........_.
5-2. Оптимизация процесса управления ..... 199
а) Критерий качества управления..... 199
б) Ограничения, накладываемые на процесс управления............ 201
в) Постановка задачи оптимального управления . 202 5-3. Математическое описание объекта управления . , 202
а) Структура объекта управления ..... 202
б) Уравнения движения объекта управления . . 207 5-4. Классификация задач оптимального управления , 208
а) Одношаговые задачи принятия решения . . 208
б) Динамические задачи оптимизации управления "«*
в) Управление конечным состоянием . . . . 215 5-5. Многошаговые процессы управления .... 216
а) Поведение . динамической системы как функция начального состояния.......'. 216
б) Представление динамического процесса в виде последовательности преобразований . 217
в) Многошаговый процесс управления . . . . 218
г) Критерий качества управления при многошаговом процессе........... ~*?
5-6. Основные понятия теории оптимизации . . . ~1
а) Общая постановка задачи оптимизации . , - **?
б) Ограничения на допустимое множество , . J™?~
в) Выпуклые и вогнутые функции .... •"**
г) Свойства выпуклых (вогнутых) функций . *SjL
д) Классическая задача оптимизации . . . '.«sb
е) Функция Лагранжа........ *&Ц*
лава шестая. Линейное и нелинейное программирование
6-1. Постановка задачи линейного программирования . а) Основные определения .......
-б) Примеры задач линейного программирования >
20
в) Геометрическая интерпретация задачи линейного
. программирования........ 236
6-2. Решение задачи линейного программирования , 240
а) Алгебра симплекс-метода....... 240
.. б) Табличный метод нахождения оптимального решения............ 242
в) Получение начального допустимого базисного
. решения............ 246
г) Двойственная задача линейного программирования 247
д) Понятие о целочисленном программировании . 252 6-3. Нелинейное программирование...... 253
а) Постановка задачи......... 253
б) Ограничения типа равенств и неотрицательность
. переменных .......... 254
в) Условия Куна—Таккера....... 255
г) Квадратичное программирование ..... 257
6-4. Итеративные методы поиска оптимума а) Постановка задачи ....
б) Градиентный метод
в) Метод наискорейшего спуска (подъема)
259 259 262 264
г) Алгоритм Ньютона........ 265
д) Учет ограничений и многоэкстремальные задачи 266 Задачи к гл. 6......../ . ..268
лава седьмая. Динамическое программирование. . . 268
7-1. Оптимальное управление как вариационная задача 268
а) Математическая формулировка задачи оптимального' управления......... 268
б) Трудности, связанные с решением вариационной задачи............ 273
7-2. Метод динамического программирования . . , 275
а) Дискретная форма вариационной задачи . . 275
б) Рекуррентное соотношение метода динамического программирозания......... 277
в) Вычислительные аспекты динамического программирования ........... 279
г) Управление конечным состоянием .... 285
д) Рекуррентное соотношение для марковских процессов ..........., 286
Задачи к гл. 7 .... ^' ...... 289
лава восьмая.
Теория игр , . . *. . , . , .289
8-1. Предмет теории игр
а) Игра как модель конфликтной ситуации
б) Понятие стратегии......
в) Формальное описание игры двух лиц .
289 289 291 292 298 300
г) Верхняя и нижняя цены игры 8-2. Цены и оптимальные стратегии игр
а) Игра с седловой точкой....... 300
б) Чистые и смешанные стратегии ..... 301
в) Функция потерь при использовании смешанных стратегий .... . . , . . . . 303
421
г) Верхняя в нижняя -цены игры при использовании
смешанных стратегий ........ 305
8-3. Геометрическое представление игры . . , . 308
а) S-игра . . ........... 308
б) Нижняя и верхняя цены игры в 5-игре . . . 311
в) Геометрическая иллюстрация принципа мииимакса 313 8-4. Решение игр . . . . . . . ..../.'•.' 315
а) Доминирующие и полезные стратегии . . . 315
б) Нахождение оптимальных стратегий .... 319
в) Геометрическая иллюстрация принципа мини-макса в. игре 2Х« ........ 322
Задачи к гл. 8............. 323
Глава девятая. Теория статистических решений (статистические игры)........... 324
9-1. Структура статистических игр...... 324
а) Стратегические и статистические игры . . . 324
б) Пространство стратегий природы..... 326
в) Пространство стратегий статистика и функция потерь . . '.......... 326
г) Примеры статистических игр ....... 328
9-2. Статистические игры без эксперимента .... 330
а) Представление статистической игры без эксперимента в виде S-игры....... . 330
Цена: 150руб.
