Современная статистическая радиотехника охватывает две области теории систем: вероятностный анализ и статистический синтез. Эта книга посвящена только вопросам вероятностного анализа. Основой ее послужили соответствующие разделы второго издания книги «Теория случайных процессов и ее применение в радиотехнике» (изд-во «Советское радио», 1960). Книга пополнена новыми результатами, полученными в последние годы. Включено значительное количество задач для самостоятельного решения.
Статистическая радиотехника как самостоятельный предмет или как часть других курсов начинает появляться в программах высшей школы. Предлагаемая книга может служить учебным пособием при изучении статистической радиотехники. Она рассчитана на научных работников, инженеров, преподавателей, аспирантов и студентов старших курсов радиотехнических вузов.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Лет пятнадцать тому назад, когда теоретико-вероятностные методы только начинали широким фронтом завоевывать области радиотехнических приложений, один из моих друзей, талантливый конструктор сложных радиоэлектронных приборов, посетовал на то, что его желание воспользоваться математическим аппаратом в научных исследованиях наталкивается на непреодолимую преграду толстых специализированных учебников. Инженер в своей практической работе, как правило, лишен возможности посвятить заметный период времени систематическому изучению таких учебных курсов. С другой стороны, изложение материала в этих книгах, достаточно последовательное и строгое в математическом смысле, не нацелено на решение инженерных задач и не содержит примеров, которые могли бы служить образцом при решении большого числа подобных задач.
Возникло предложение о том, чтобы мне, как математику и инженеру, прочитать цикл лекций для радиоинженеров, пожелавших приобщиться к таким развивающимся разделам математики, как теория вероятностей и теория случайных процессов, и проиллюстрировать возможности, которые открывает в исследовании ряда проблем использование теоретико-вероятностных методов. Предложение было принято, опыт оказался благоприятным, цикл повторялся, расширялся, стал обязательным аспирантским курсом многих радиотехнических специальностей, он лег в основу книги «Теория случайных процессов и ее применение в радиотехнике», выпущенной издательством «Советское радио» в 1957 г., второе (дополненное) издание которой вышло спустя три года.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ............'....... 3
Введение-...................... 6
Глава первая. Случайные события . . .......... 13
1.1. Определение вероятности и основные правила . 13
Вероятность случайного события (13). Классификация со-... -'_ бытии (16). Правило сложения вероятностей для-несовмести-
мых событий (17). Правило умножения (19). Правило сложения для совместимых событий (21). Формула полной вероятности (23)
1.2. Последовательность независимых испытаний . . 24
Биномиальная формула (24). Асимптотика Муавра —Лапласа (27). Асимптотика Пуассона (30). Полиномиальная формула (33).
1.3. Простая цепь Маркова.............34
Задачи .......................37
Литература....................39
Глава вторая. Случайные величины...........41
2.1. Функции распределения ......t.....41
Определения (41). Интегральная функция распределения (43). Плотность вероятности (46). Совместное распределение двух вероятностей случайных величин (49). Условные функции распределения (53). Многомерное распределение совокупности случайных величин (55).
2.2. Нормальный закон распределения........59
Многомерная нормальная функция распределения (59). Нормальная случайная величина (60). Совокупность двух нормально распределенных случайных величин (65). Релеев-ский закон распределения (69). Условная нормальная функция распределения (71).
2.3. Числовые характеристики............ 72
Моменты распределения (72). Среднее значение (74). Дисперсия (76). Коэффициенты асимметрии и эксцесса (80). Числовые характеристики совокупности двух случайных величин (82). Обобщение на произвольную конечную совокупность случайных величин (88). Комплексные случайные величины (89).
723
2.4. Ортогональные разложения функций распределения ......................90
Разложение одномерной плотности вероятности (90). Ряды по ортогональным полиномам (91). Ряды Фурье (94). Разложение двумерной плотности вероятности (95).
Задачи .......................97
Литература.....................100
Глава третья. Функция от случайных величин ...... 101
3.1. Законы распределения функций от случайных аргументов .....................101
Постановка задачи (101). Функциональное преобразование одной случайной величины (101). Функциональные преобразования двух случайных величин (109). Произвольная конечная совокупность случайных величин (114). Среднее значение функции от случайных величин (115).
3.2. Функции распределения модуля и фазы случайного вектора ...................119
Преобразование от декартовых координат к полярным (119). Распределение модуля вектора с независимыми нормальными компонентами (121). Распределение фазы вектора с независимыми нормальными компонентами (125).
3.3. Метод характеристических функций .....131
Характеристическая функциями ее свойства (131). Вычисление моментов распределения (134). Определение законов распределения функций случайных аргументов (136).- Многомерная характеристическая функция (137). Распределения сумм случайных величин (141). Суммы случайного числа случайных величин (144).
3.4. Центральная предельная теорема........145
Формулировка теоремы (145). Доказательство теоремы (148). Оценка сходимости к нормальному закону (150). Обобщение (152).
3.5. Сходимость последовательности случайных величин 157
Задачи ........................159
^Литература....................167
Глава четвертая. Случайные процессы..........169
4.1. Вероятностные характеристики случайных процессов .....................169
Классификация случайных процессов (169). Функции рас- * пределения (172). Случаи, когда первые функции распределения содержат всю информацию о процессе (177). Совместные распределения случайных процессов (182). Стационарные и нестационарные случайные процессы (184). Эргодические случайные процессы (188). Комплексные случайные процессы (192).
4.2. Энергетические характеристики случайных процессов -.....................193
Корреляционная функция (193). Взаимная корреляционная функция (196). Энергетический спектр стационарного случайного процесса (198). Широкополосные и узкополосные процессы (203). Процесссы с дискретным спектром (207). Спектральное представление стационарного процесса (210). Обобщенный гармонический анализ детерминированных процессов (212). Взаимный энергетический спектр (216). Энергетический спектр нестационарного случайного про-несса (218). Телеграфный сигнал (223).
4.3. Другие свойства случайных процессов ..... 228
Характеристики разности двух значений случайного процесса (228). Непрерывность (231). Дифференцируемость (232). Интегрирование (238).
4.4. Нормальный случайный процесс ...... 242
Функции распределения (242). Стационарный нормальный случайный процесс (243). Линейные преобразования нормального случайного процесса (246). Совместное распределение процесса и производной (249).
4.5. Марковские процессы........... 252
Обобщенное уравнение Маркова (252). Уравнение Колмогорова (254). Многомерный марковский процесс (257). Нормальный марковский процесс (259). Винеровский процесс (261).
Задачи.........................262
'Литература.....................265
Глава пятая. Преобразования случайных процессов в линейных (инерционных) системах ....... 267
5.1. Законы преобразований ...........267
Классификация элементов радиотехнических устройств (267). Линейные системы с постоянными параметрами (270). Два типа задач теории преобразований случайных процессов (273).
5.2. Преобразования случайных процессов в линейных системах с заданными параметрами . . . 273
Энергетические характеристики (273). Воздействие белого шума на линейную систему (278). Линейные системы с сосредоточенными параметрами (281). Воздействие узкополосного процесса на узкополосную систему (290). Параметрические системы (293). Взаимная корреляция процессов на выходах линейных систем (295).
5.3. Распределение процесса на выходе линейной системы ..................297
Моменты распределения (297). Интегрирование телеграфного сигнала (302). Метод дифференциальных уравнений (306). Марковские процессы в линейных системах (308).
5.4. Преобразования случайных процессов в линейных системах со случайными параметрами . . . 312 Энергетические характеристики (312). Случайная задержка (316). Перемножитель (322). Интегрирующая цепочка (323).
Задачи ....................328
'Литература................332
Глава шестая. Преобразования случайных процессов в нелинейных неинерционных элементах . . . 333
6.1. Вероятностные характеристики процессов на выходе нелинейного элемента ........... 333
Энергетические характеристики (333). Прямой метод вычисления корреляционнной функции (335). Метод контурных интегралов (337). Энергетический спектр узкополосного процесса после нелинейного преобразования (339). Функции распределения процесса на выходе нелинейного элемента (341). -»
6.2. Огибающая и фаза случайного процесса .... 342 Определение посредством сопряженного процесса (342) Представление узкополосного процесса (344). Функция распределения огибающей и фазы (349).
6.3. Критерии качества радиотехнических систем .... 351
Энергетические критерии (351). Вероятностные критерии (353).
725
Задачи »....!. . , . . . . . > ' v • • '"354
итература ................356
Глава седьмая. Нелинейные преобразования нормального
случайного процесса .........357
7.1. Решение, получаемое прямым методом .....357
Общее решение (357). Случай, когда входной процесс стационарный и узкополосный (361). Линейный детектор (365). Аппроксимация, нелинейных характеристик степенными рядами (369). Аппроксимация параболой (372). Двухполу-периодное квадратичное детектирование суммы амплитудно-модулированного сигнала и нормального шума (374).
7.2. Решение, получаемое методом контурных интегралов ..................378
Общее решение (378). Случай, когда процесс стационарный и узкополосный (383). Однополупериодный детектор ч-К степени (384). Идеальное"ограничение стационарного нормального шума (385). Идеальное ограничение суммы гармонического сигнала и нормального шума (389).
7.3. Решение, получаемое методом производных . . . 391
Общее решение (391). Идеальный ограничитель и линейный детектор (393). Ограничитель с линейным участком (394). Однополупериодный квадратичный детектор (396). Сглаженный ограничитель (397). Обобщение (398).
7.4. Квантование нормального случайного процесса 399
Корреляционная функция шумов квантования (399). Энергетический спектр шумов квантования (403). Взаимная корреляционная функция шумов квантования и квантуемого сигнала (404).
7.5. Функции распределения ..........405
Квадратичный детектор (405). Линейный детектор (408).
Задачи ....................410
"^Литература ................416
Глава восьмая. Огибающая и фаза узкополосного нормального
случайного процесса........ 418
8.1. Постановка и решение задачи о нахождении функций распределения .............418
8.2. Вероятностные характеристики огибающей . . 423
Одномерная плотность вероятности и моменты (423). Двумерная плотность вероятности (424). Огибающая нормального процесса, как марковский процесс (427). Корреляционная функция (428).
8.3. .Нелинейные преобразования огибающей . . . 432
Функция распределения квадрата огибающей (432). Корреляционная функция квадрата огибающей (433). Идеальное ограничение огибающей (436). Логарифмический детектор (437).
8.4. Вероятностные характеристики фазы .....439
Одномерная функция распределения и моменты (439). Двумерная плотность вероятности (443). Корреляционная функция фазы (447). Одномерное распределение разности фаз и его моменты (449).
8.5. Вероятностные характеристики косинуса фазы . 451
Одномерная функция распределения и ее моменты (451). Двумерная функция распределения, (455). Корреляционная функция (457).
8.6. Вероятностные характеристики производных . 459
Совместное распределение огибающей, фазы и их производных (459). Функция распределения производной от огибающей (460). Функция распределения мгновенной частоты и ее моменты (461). Корреляционная функция мгновенной частоты (466). Энергетический спектр мгновенной частоты профильтрованного белого шума (471).
79fi
Задачи ; ...... i . , :..:.:.:.. 473
*%ГГ итература ................475
Глава девятая. Прохождение нормального случайного процесса через типовое звено радиотехнических устройств................476
9.1. Постановка задачи .............476
9.2. Усилитель — квадратичный детектор — фильтр . . 478
Решение задачи при широкополосном усилителе (478). Решение задачи при узкополосном усилителе (484). Приближенный метод определения функции распределения (487). Пример расчета для гауссовых частотных характеристик (491). Пример расчета для линейных систем типа LRC и RC-цепочек (495).
9.3. Перемножитель-фильтр .............498
Точное решение (498). Распределение произведения когерентных нормальных случайных процессов (500). Приближенное решение для RC-фильтра (502).
9.4. Распределение средней мощности за конечное время усреднения..............506
Широкополосный процесс (506). Огибающая узкополосного процесса (511).
9.5. Преобразования стационарного нормального марковского процесса .............512
Функция распределения на выходе типового звена (512). Марковские процессы в нелинейных системах (515).
Задачи ....................519
и т е р а т у р а................519
Глава десятая. Выбросы случайных процессов . .... 521
10.1. Вводные замечания ............521
10.2. Вероятностные характеристики выбросов . . . 522
Среднее число пересечений (522). Дисперсия числа пересечений (526). Средние длительности выбросов и интервалов между ними (528). Распределения длительности выбросов и интервалов между ними (528). Экстремумы случайного процесса (534).
10.3. Приближенные методы ..........536
Аппроксимация функции распределения по участкам (536). Связь между пересечением уровня и идеальным ограничением (538). Метод опорных импульсов (541). Выбросы узкополосных процессов (544).
10.4. Выбросы нормального случайного процесса . . 546
Среднее число пересечений (546). Средние длительности выбросов и интервалов между ними (551). Распределение длительности выбросов и интервалов между ними (первое приближение) (552). Среднее число и распределение максимумов (559).
10.5. Выбросы огибающей нормального случайного процесса....................562
Числовые характеристики (562). Распределение интервалов между выбросами и длительности выбросов (первое приближение) (563). Аппроксимация функции распределения длительности выбросов и интервалов между выбросами огибающей суммы гармонического сигнала и нормального стационарного шума (566).
10.6. Выбросы фазы нормального случайного процесса . 569
Числовые характеристики выбросов фазы (569). Среднее число выбросов частоты (572). Распределение длительности выбросов (первое приближение) (575).
10.7. Время первого достижения заданных границ . 577
Вероятностные характеристики времени первого достижения для марковских процессов (577). Среднее время до срыва явтосопровождения в системе ФАПЧ (581). Исследование методом опорных импульсов (582).
727
Задачи ......,.............585
итература ••................590
Глава одиннадцатая. Импульсные случайные процессы . 592
11.1. Энергетические спектры импульсных случайных процессов (общая теория)...........592
Определения, ограничения и вывод общей формулы (592). Импульсные случайные процессы с детерминированными тактовыми интервалами (601).
Апериодические импульсные случайные процессы (605). Импульсные случайные процессы смешанного типа (610).
11.2. Некоторые виды импульсных случайных процессов с детерминированными тактовыми интервалами 613
Амплитудная модуляция (613). Последовательность прямоугольных импульсов (616). Последовательность перекрывающихся экспоненциальных импульсов (619). Модуляция импульсов по положению (620). Односторонняя модуляция импульсов по длительности (622). Двухсторонняя модуляция импульсов по длительности (625).
11.3. Некоторые виды апериодических импульсных случайных процессов ............629
Импульсы постоянной длительности, возникающие в случайные моменты времени (629). Экспоненциальное распределение пауз (631). Нормальное распределение пауз (632). Клиппированный сигнал (634).
11.4. Некоторые виды смешанных импульсных случайных процессов.................636
Случайное число стандартных импульсов в заданных положениях (636). Импульсы постоянной длительности; возникающие в случайные моменты (640). Отрезки клиппирован-ного сигнала на детерминированных тактовых интервалах (645).
Задачи.................... 651
итература .........,.......660
Глава двенадцатая. Энергетические характеристики модуляции случайными процессами........... 661
12.1. Корреляционная функция несущей, модулированной случайными процессами ......661
Методы модуляции, несущая и модулирующие процессы (661). Общее выражение корреляционной функции (662). Нормальные распределения несущей и модулирующих процессов (664).
12.2. Амплитудная модуляция.......... 669
Гармоническая несущая (669). Шумоподобная несущая (674)
12.3. Угловая модуляция ...........676
Фазовая модуляция гармонической несущей (676). Фазовая модуляция шумоподобной несущей (677). Частотная моду-ляция (679).
12.4. Преобразование частоты ..........оо1
Смеситель (681). Балансный модулятор (685). Кольцевой модулятор (687).
Задачи ..................'•• 688
•^Литература ................690
Приложения.......................691
Наиболее употребительные обозначения .......711
Предметный указатель ...............714
728
Цена: 300руб.
