АННОТАЦИЯ
В книжке рассматриваются задачи на построение, решаемые при помощи одной только линейки или с использованием также какой-либо вспомогательной фигуры. В связи с этим рассматриваются некоторые основные понятия проективной геометрии.
Книжка рассчитана на школьников старших классов, студентов младших курсов пединститутов и университетов и преподавателей математики.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ...................... 5
Глава I. Некоторые теоремы синтетической и проективной геометрии
§ 1. Бесконечно удаленные элементы плоскости....... 7
§ 2. Симметрия относительно окружности.......... 10
§ 3. Степень точки относительно окружности. Радикальная ось двух окружностей. Радикальный центр Трех окруж- -
ностей........................ 12
§ 4. Пучки прямых и окружностей............. 15
§ 5. Двойное отношение.................. 17
§ 6. Гармоническое расположение четырех точек прямой
и четырех прямых пучка............... 19
§ 7. Гармонические свойства полного четырехугольника ... 21
§ 8. Конические сечения.................. 22
§ 9. Полярные свойства конических сечений......... 24
§ 10. Теоремы Брианшона и Паскаля............. 27
Глава II. Геометрические построения с помощью линейки
§ 11, Построение линейкой некоторых прямолинейных фигур . 32
§ 12. Построения линейкой, связанные с коническими сечениями......................... 34
§ 13. Построения линейкой, если заданы две параллельные
прямые.....................'.., 38
§ 14. Построения линейкой, если задан параллелограмм или
квадрат........................ 42
§ 15. Построения линейкой, если даны окружность и ее центр . 43
§ 16. Построения линейкой, если даны центр окружности . и ее дуга....................... 49
§ 17. Построение линейкой точек окружности, принадлежащей
данному пучку окружностей.............. 51
§ 18. О невозможности построить линейкой центр окружности . 55
| 19. Случаи, когда можно построить линейкой центры двух
начерченных окружностей.......'........ 57
§ 20, О построении линейкой центров нескольких окружностей . 60
I*
ПРЕДИСЛОВИЕ
Вопрос о конструктивной мощности линейки и циркуля, т. е. о круге задач, разрешимых этими классическими орудиями геометрических построений (обоими или каждым в отдельности), был полностью изучен лишь в XIX веке. До того времени некоторые математики рассматривали линейку и циркуль как универсальные инструменты, пригодные, если пользоваться ими обоими, для решения любой конструктивной задачи1). Такая точка зрения сыграла отрицательную роль в истории развития геометрии; она побуждала подходить к каждой задаче на построение с предвзятой мыслью о разрешимости ее линейкой и циркулем и приводила к тому, что во многих случаях затрачивались огромные усилия на поиски несуществующих решений; так было, например, с задачами о квадратуре круга, трисекции угла, удвоении куба2).
Изучение построений, выполняемых одной только линейкой, было вызвано развитием теории перспективы, а также необходимостью производить построения на обширных участках земной поверхности, где применение циркуля с большим раствором технически неосуществимо, в то время как проведение прямых линий легко достигается путем расстановки вех.
В настоящей книжке рассматриваются наиболее типичные конструктивные задачи, решаемые одной только линейкой.
*) Термин «конструктивная задача» употребляется как синоним термина «задача на построение».
а) Так принято называть следующие задачи: 1) зная радиус круга, построить квадрат, равновеликий данному кругу, 2) разделить данный-угол на три равные части; 3) зная сторону куба, построить сторону нового куба, объем которого в два раза больше объема данного куба.
Доказано, что первая и третья задачи не могут быть решены линейкой и циркулем, вторая же разрешима этими инструментами только в отдельных случаях, например, когда данный угол — прямой.
Цена: 150руб.
