ОГЛАВЛЕНИЕ
Слово к учителям математики, физики, астрономии и географии 3 Введение..,.,,,.,.,.,, .......... ^
ЧАСТЬ 1. ТРИГОНОМЕТРИЯ ОСТРОГО УГЛА Глава 1. Плоские углы и их косвенные измерения через угловые коэффициенты
§ 1. О непосредственном и косвенном измерении величин , , 17
§ 2. О точности непосредственных и косвенных измерений . 21
§ 3. Косвенное измерение недоступных углов ........ 26
§. 4. Угловой коэффициент, или тангенс острого угла .... 27
§ 5. Составление двузначной таблицы тангенсов острых углов
м пользование ею .................. 33
§ 6. Четырехзначные таблицы тангенсов острых углов и пользование ими.............. ....... 37
Глава II. Недоступные отрезки и их косвенное измерение через тангенсы соответствующих углов
§ 7. Определение расстояния между двумя пунктами, когда_
один из них недоступен ...............' 43
§ 8. Определение расстояния между двумя пунктами, к которым невозможно подойти.............. 46
Глава 111. Функции острого угла — тангенс, синус и косинус и их практическое применение
§ "9. Что такое функция?................. 49
§ 10. Синус острого угла................., 50
§ 11. Косинус острого угла ....... ......... 54
§ 12. Построение и чтение таблицы синусов и косинусов острых углов...................... 57
§ 13. Применение синуса и косинуса при косвенных измерениях недоступных углов и расстояний.......... 60
Глава IV. Геометрические задачи и методы их решения
§ 14. Графический и вычислительный методы решения геометрических задач и их достоинства и недостатки...... 69
§ 15. Треугольник как элемент любой прямолинейной фигуры 71
§ 16. Вычислительный тригонометрический метод решения пря
моугольных треугольников .............. 72
§ 17. Решение любых треугольников через сведение к решению
прямоугольных треугольников............ 75
§ 18. Вычислительный тригонометрический метод решения многоугольников, через сведение к решению треугольников 83
Заключение......................... 94
Таблицы .,..,....,.,....,..,..,.. 95
643
ЧАСТЬ II. ОСНОВНОЙ КУРС ТРИГОНОМЕТРИИ
Глава I. Обобщение понятия угла и круговой дуги. Числовая окружность
§ 1. Необходимость обобщения понятия угла и круговой дуги
при изучении вращательных движений ........ 9?
§ 2, Обобщенный угол и обобщенная круговая дуга .... ЮС
§ 3. Арифметические операции над обобщенными дугами и
углами....................... 104
§ 4. -Различные меры углов, и дуг и выделение наиболее удобной радианной меры.................ЮС
§ 5. Числовая окружность ................111
Глава II. Круговые функции действительного числа
§ 6. Простейшие периодические процессы ........, 12С
§ 7. Определение круговых (тригонометрических) функций , 12с § 8. -Круговые функции любого действительного числа как
•обобщение тригонометрических функций острого угла .. 135 § 9. -Независимость круговых функции от длины радиуса числовой окружности................. 13€
§ 10. Непрерывность круговых функций........... 13'
Глава III. Закономерность изменения круговых функций с изменением их аргументов
§ 11. Характеристика изменения синуса .,.,.«...,« 14Е
§ 12. Характеристика изменения косинуса ........,, 14S
§ 13. Характеристика изменения тангенса . , , ,...... 153
§ 14. Характеристика изменения котангенса . « ,...... 158
Глава IV. Основные свойства круговых функций,
выражаемые в соответствующих тригонометрических
тождествах
§ 15. Периодические функции и их графики » ,......161
§ 16. "Периодичность к периоды круговых функций. Приводимость аргументов круговых функций к аргументам промежутков [0; 2тс] и [0; п] ...,...,,,.,. 168
§ 17. Четные и нечетные функции и приводимость аргументов
круговых функций к положительному аргументу .... 169
§ 18. Сведение круговых функций любого аргумента к тем же функциям положительного аргумента, не превышаю-
щего — . ..................... 174
§ 19. Сведение круговых функций любого аргумента к сои- -менным круговым функциям положительного аргумента
не превышающего -*-................176
4
§ 20. Алгебраическая зависимость между круговыми функциями одного аргумента и возможность сведения каждой из шести круговых функций к одной из них .....183
§ 21. Тождества и тождественные преобразования круговых
функций....................'... 191
644
Глава V. Обобщенные круговые функции
§ 22. Гармонические колебательные движения и необходимость
обобщения понятий круговых функций........196
§ 23. Графики функций k sin (аг •+ Ь) и kcos(az-\-b) и роль
параметров a, b, k .................200
§ 24. Применение обобщенных круговых функций при рассмотрении простых гармонических колебательных движений 210
Глава VI. Круговые функции от алгебраической суммы аргументов
§ 25. Практическая необходимость знания тождеств, выражающих круговые функции от суммы аргументов через круговые функции от слагаемых...........222
§ 26. Синус и косинус от алгебраической суммы двух аргументов и соответствующие тригонометрические тождества 224
§ 27. Синус и косинус суммы двух аргументов в новом изложении........................ 232
§ 28. Формулы для нахождения синуса и косинуса разности
аргумента......................244
§ 29. Тангенс и котангенс от алгебраической суммы двух аргументов и соответствующие тригонометрические тождества ........................247
§ 30. Следствия из теорем о круговых функциях от алгебраической суммы двух аргументов............ 248
§ 31. Преобразование произведения круговых функций в сумму и обратное преобразование суммы круговых функций в произведение....................255
Глава VII. Таблицы круговых функций и их логарифмов с соответствующей точностью
§ 32. Основные тригонометрические неравенства ....,,, 265
§ 33. Составление таблиц круговых функций........ 269
§ 34. Таблицы логарифмов круговых функций и их построение 271
Глава VIII. Обратные круговые функции
§ 35. Понятие об обратной функции к данной функции . . , 278
§ 36. Связь между графиками прямой и обратной функции , 280
§ 37. Арксинус —функция, обратная синусу....... . 282
§ 38. Арккосинус—функция, обратная косинусу . . . , , , 291
§ 39. Арктангенс — функция, обратная тангенсу ...... 297
§40. Арккотангенс — функция, обратная котангенсу .... 302
§41. Тригонометрические операции над аркфункциями ... 307
§ 42. Простейшие зависимости между аркфункциями .... 309
Глава IX. Уравнения и системы уравнений, рассматриваемые в тригонометрии
§ 43. Тригонометрические уравнения и их решения ..... 317 § 44. Классификация тригонометрических уравнений с одним
неизвестным.....................321
§ 45. Тригонометрические уравнения I основного типа:
= о . ,.................324
645
§ 46. Тригонометрические уравнения II основного типа Т(ах-\--f- Ь) — Т (а-^х + bi), где левые в правые части суть одноименные круговые функции . ...........328
§47. Тригонометрические уравнения III типа Т (ах + Ь) = = Т3(агх-{- bi), в которых левые и правые части суть соименные круговые функции............ 332
§ 48. Тригонометрические уравнения IV типа / [Т (ах + Ь)]=0,
в которых совершаются алгебраические операции только *" над одной круговой функцией с одним и тем же аргументом .................... ... 334
§ 49. Тригонометрические уравнения V типа
6,) ]./, [Tz (а* + &,) 1.../* (Tk (akx =
Al I* 1 1°1* Т »1Л'/2 1J B\"Z* T »z/ J---IBI- к\-к" i -»/j
где левая часть есть произведение функций вида левой
части уравнений IV типа...............337
§ 50. Тригонометрические уравнения VI типа
f[sin(ax+b), cos{ax+b), tg (ах+Ь), cig(ax + b), sec (a* + b), esc (ax -f b) ] = 0, где выполняются алгебраические действия над несколькими круговыми функциями одного аргумента ................ 340
§ 51. Тригонометрические уравнения VII типа
f [Т (aj* -И,), Т (а2х + Ь2), Т (аах + &„)) = 0, где производятся какие-либо алгебраические действия над одной и той же круговой функцией с различными аргументами.......................360
§ 52. Тригонометрические уравнения VIII типа
f [Tt (alX + ft,), Tz (azx• + 62), T3 (a3x + Ьа) = 0, с алгебраическими действиями над несколькими круговыми функциями с различными аргументами....... , 365
§ 53. Трансцендентные уравнения, сводимые к тригонометрическим уравнениям ........ .......... 370
§ 54. Трансцендентные уравнения, содержащие неизвестные под знаками круговых функций, но,не сводимые к тригонометрическим уравнениям.............373
§ 55. Уравнения, образованные аркфункциями.......378
§ 56. Простейшие системы тригонометрических уравнений . 389
§ 57. Некоторые задачи, сводимые к исследованию круговых
функций .'-..................... 40ft;
Глава X, Триангуляция .
ника .....................!•..'•;
§ 60. Эквивалентность трех основных систем соотношений
между элементами треугольника...........•'
§ 61. Основные четыре случая решения треугольников . . . § 62. Нахождение неосновных элементов треугольника . . ••„ §63. Понятие об общем методе решения .треугольников . ;'•.»!$• $64. Решение четырёхугольников через сведение к систему'
треугольников................../.?:'••.'
§ 65. Решение простых многоугольников с любым числом
сторон......................', ?'
§ 66. Решение стереометрических задач ...«.,.. . Y Приложение...........,..,,,.,,,. . .
ЧАСТЬ III. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ КУРС ТРИГОНОМЕТРИИ Приложение круговых функций в сферической
геометрии, геодезии и астрономии Глава Г. Сферические двуугольники и треугольники
§ 1> П ростейшие образы сферической геометрии — точки и
большие круги на сфере............... 48
§ 2. Сферический двуугольник.............. 481
§ 3. Сферический треугольник.............. 48)
§ 4. Площадь и сумма углов сферического треугольника . . 49
Глава II. Основные формулы,
выражающие зависимости между сторонами
и углами сферического треугольника
§ 5. Понятие о решении сферического треугольника .... 495
§ 6. Формулы I группы, выражающие зависимость в сферическом треугольнике между тремя сторонами и одним углом....................... . 497
§ 7. Приложение формул I группы в геометрии и геодезии 500
§ 8. Формулы II группы, выражающие зависимость в сферическом треугольнике между сторонами и противолежащими им углами .................507
§ 9. Формулы III группы, выражающие зависимость в сферическом треугольнике между двумя сторонами, углом между ними и углом, лежащим против одной из этих сторон .....................510
§ 10. Формулы IV группы, выражающие зависимость в сферическом треугольнике между всеми тремя углами и одной из его сторон............... . . 514
§ 11. Формулы, выражающие зависимости между сторонами
и углами прямоугольного сферического треугольника , 516
Глава III. Приложение сферической тригонометрии в астрономии
§12. Небесная сфера и ее элементы............. 524
§ 13. Определение положения небесных светил с помощью
сферических координат ............ ... ^26
§ 14. Задачи из астрономии и их решение . . .......530
Приложение круговых функций в алгебре
Глава IV. Алгебраические операции
с комплексными числами, представленными в тригонометрическом виде § 15. Геометрическое изображение комплексных чисел на плоскости и конкретное истолкование действий i ступени с этими числами ........ ......... 539
§ 16. Комплексные числа в тригонометрической форме . . • 546 § 17. Действия II ступени с комплексными числами в тригонометрической форме и геометрическое истолкование
этих действий..................., 550
§ 18. Действия III ступени с комплексными числами в тригонометрической форме............ ...... 556
j
647
Глава V. Использование тригонометрической формы
комплексных чисел для обобщения теоремы сложения
круговых функций и ее следствий
§ 19. Круговые функции от суммы п аргументов ...... 56]
§ 20. Круговые функции от краткого аргумента...... 564
§ 21. Круговые функции от п-и доли аргумента...... 566
§ 22. Использование тригонометрической и показательной форм комплексных чисел для преобразования некоторых
тригонометрических выражений ........... 568
Глава VI. Использование тригонометрической формы
комплексных чисел при решении
алгебраических уравнений
§ 23. Двучленные уравнения и их приложение в теории построения правильных многоугольников........579
$ 24. Алгебраические уравнения третьей степени и задача о
трисекции угла ...................587
Неалгебраические элементарные функции от комплексного аргумента
Г лава VII. Показательная функция
§ 25. Один из замечательных пределов в математике .... 605
§ 26. Функция ех и ее приложения ............ 61J
§ 27. Определение показательной функции е* с комплексным
аргументом .'.................... 616
Глава VIII. Круговые функции от комплексного аргумента
§ 28, Замечательные формулы Эйлера........... 622
§ 29. Определение круговых функций от комплексного аргумента........................ 624
§ 30. Логарифм от комплексного аргумента....... . 628
Ответы........................ . 632
Цена: 600руб.
