В книге дается математическое обоснование метода конечных элементов, получившего в последние годы ши-рокое распространение. Основное внимание уделяется строгой математической формулировке вопросов. Дается вариационная формулировка задач с краевыми условиями, рассматривается применение метода к численному решению уравнений в частных производных^зло-женный материал иллюстрируется примерами.
Книга представляет большой интерес для всех, кто желает изучить математические основы метода конечных элементов, — математиков-вычислителей, механиков, физиков, а также для аспирантов и студентов соответствующих специальностей.
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
В последнее десятилетие получило широкое развитие и применение новое направление в вычислительной математике—метод конечных элементов. Отметим сразу, что, хотя на эту тему уже опубликовано большое число статей, общая математическая теория метода конечных элементов развита в основном в последние годы. Успех в обосновании этой методики был обеспечен прежде всего достижениями в области теории сплайнов. Существует глубокая взаимосвязь между теорией обобщенных функций, теорией сплайнов и методом конечных элементов. Как известно, обобщенные функции могут быть получены как предельные элементы последовательностей традиционных элементарных функций (полиномы, тригонометрические полиномы, собственные функции краевых задач математической физики). В современном численном анализе в систему элементарных функций были включены сплайны, которые кратко можно определить как «кусочные полиномы». Систематическое изучение свойств последних породило теорию сплайн-функций. Отметим, что дифференцируя сплайн-функции необходимое число раз, мы получим обобщенные функции, т. е. сплайн-функции являются интегралами от распределений.
Метод конечных элементов можно рассматривать как специальный случай метода .Ритца —Галеркина. Этот классический подход имеет два существенных недостатка. Во-первых, на практике построение базисных функций возможно только для некоторых специальных областей и, во-вторых, соответствующие матрицы Ритца —Галеркина являются полными матрицами и очень часто даже для простых задач плохо обусловлены. Принципиальное различие между методом конечных элементов и классической техникой Ритца — Галеркина лежит в построении базисных функций. В методе конечных элементов базисные функции выбираются в виде сплайнов и для обла-
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода ....... . ......... 5
Предисловие автора к русскому изданию............. 8
I. Введение............................. 9
1. Вариационная формулировка краевых задач для линейных дифференциальных уравнений.......... 9
2. Дискретизация ...............,....... 16
3. Метод конечных элементов................. 23
II. Построение пространства типа конечных элементов инженерным методом............................. 27
1. Интерполяция........................ 27
2. Одномерные элементы................... 28
3. Прямоугольные элементы типа I............. 31
4. Прямоугольные элементы типа II............. 34
5. Треугольные элементы................... 37
6. Криволинейные элементы.................. 46
7. Вычисление матрицы жесткости.............. 52
III. Пространства Соболева. Обобщенные решения уравнений
в частных производных....................... 54
1. Пространства Соболева................... 54
2. Билинейные коэрцитивные формы............. 61
3. Существование и единственность обобщенных решений уравнений в частных производных............ 64
IV. Свойства сходимости.............., ,...... 68
1. Определения и обозначения..............., 68
2. Лемма Брамбла....................... 69
3. Аппроксимация при помощи интерполянтов ....... 71
4. Оптимальность интерполянта ............... 78
5. Сходимость метода Ритца . ................ 80
6. Неоднородные краевые условия .............. 83
Список литературы ......................... 88
Указатель обозначений....................... 91
Предметный указатель....................... 93
Цена: 150руб.
