Является непосредственным продолжением пособий того же автора «Лекции по геометрии. Семестр I. Аналитическая геометрич» и «Семестр II. Линейная алгебра». Семестр III посвящен гладким многообразиям. В него включены также сведения из общей топологии. Подробно разъясняется понятие подмногообразия, доказываются теоремы Сарда и Уитни, излагается теория дифференциальных форм и их интегрирования, а также элементарная дифференциальная геометрия—теория кривых (формулы Френе) и теория поверхностей (вплоть до теоремы о сохранении полной кривизны при изгибаниях).
Мвжет служить учебным пособием по обязательному курсу геометрии и топологии в университетах и пединститутах.
Для студентов математических специальностей вузов.
Ил. 50.
СОДЕРЖАНИЕ
I [рсдисловие.................................. 7
ЛЕКЦИЯ 1.................................. 13
Простые линии на плоскости.— Задание линий уравнением.—Теорема Уитни.— Жордановы кривые.—Гладкие и регулярные кри-иые.— Непараметризованные кривые.— Натуральный параметр.
ЛЕКЦИЯ 2.................................. 31
Кривые на плоскости.— Формулы Френе для пространственной кривой.— Проекции кривой на координатные плоскости сопровождающего репера.— Формулы Френе для кривой в л-мерном пространстве.—Существование и единственность кривой с данными кри-
ВИЗНамИ.
1ПКЦИЯ 3.................................. 44
Элементарные поверхности и их параметризации.— Примеры поверхностей.— Касательная плоскость и касательное подпространство,— Гладкие отображения поверхностей и их дифференциалы,— Диффеоморфизмы поверхностей.— Первая квадратичная форма поверхности,— Изометрии,— Первый дифференциальный параметр Бельт-рами,—Примеры вычисления первых квадратичных форм.—Развертывающиеся поверхности.
ЛЕКЦИЯ 4.................................. 71
Вектор нормали,— Поверхность как график функции,— Нормальные сечения.— Вторая квадратичная форма поверхности.— Индикатриса Дюпена,— Главные, полная и средняя кривизны,— Вторая квадратичная форма графика.— Линейчатые поверхности нулевой кривизны,—Поверхности вращения.
ЛЕКЦИЯ 5.................................. 88
Деривационные формулы Вейнгартена,— Коэффициенты связности.— Теорема Гаусса.— Явная формула для гауссовой кривизны.— Необходимые и достаточные условия изометричности.— Поверхности постоянной кривизны.
ЛЕКЦИЯ 6.................................. 97
Вводные замечания.— Открытые подмножества пространства Rn и их диффеоморфизмы.— Карты и атласы.— Максимальные атласы.— Гладкие многообразия.— Примеры гладких многообразий.
ЛГКЦИЯ 7..................................11Э
Топология гладкого многообразия.—Открытые подмногообразия.— Окрестности и внутренние точки.— Гомеоморфизмы.— Первая акси-ома счетности и локальная евклидовость.— Вторая аксиома счетно-i-ти.— Нехаусдорфовы многообразия,— Гладкости на топологическом пространстве.— Топологические многообразия.— Нульмерные мно-юобразня,— Категория ТОР.— Категория DIFF,— Перенесение
4 СОДЕРЖАНИЕ
ЛЕКЦИЯ 8..................................128
Топологическая инвариантность размерности многообразий.— Размерность по покрытиям.— Компактные пространства.—Лемма Лебега.— Оценка сверху размерности компактных подмножеств пространства R",— Свойство монотонности размерности.— Замкнутые множества.—Монотонность размерности по замкнутым множествам.— Прямое произведение топологических пространств.— Компактность прямого произведения компактных пространств.
ЛЕКЦИЯ 9..................................142
Теорема о барабане.— Теорема Брауэра о неподвижной точке.— Теорема о перегородках п кубе.— Нормальные и вполне нормальные пространства.— Продолжение перегородок.— Теорема Лебега о покрытиях куба.— Оценка размерности куба снизу.
ЛЕКЦИЯ 10.................................154
Порядковые числа.— Интервальная топология в множествах порядковых чисел.— Нульмерные пространства.— Пример Тихонова,— Тихоновское произведение топслог ических пространств.— Фильтры.— Центрированные множества множеств.— Ультрафильтры.— Критерий компактности.— Теорема Тихонова.
ЛЕКЦИЯ 11 ................................. 171
Гладкость на аффинном пространстве.— Многообразие матриц данного ранга — Многообразия Штифеля.—Ряды матриц.—Экспоненциал матрицы.—Логарифм матрицы.—Ортогональные и ./-ортогональные матрицы.—Матричные группы Ли.— Группы ./-ортогональных матриц.— Унитарные и J-унитарные матрицы.— Комплексные матричные группы Ли.— Комплексно аналитические многообразия.— Линейно связные пространства.— Связные пространства.— Совпадение связности и линейной связности для многообразий,— Гладкие н кусочно гладкие пути.— Связные многообразия, неудовлетворяющие второй аксиоме счетности.
ЛЕКЦИЯ 12
195
Векторы, касательные к гладкому многообразию.—Производные голоморфных функций.— Касательные векторы комплексно аналитических многообразий.— Дифференциал гладкого отображения.— Цепное правило.— Градиент гладкой функции.— Теорема об эталь-ных отображениях.— Теорема о замене локальных координат.— Локально плоские отображения.
ЛЕКЦИЯ 13.................................214
Доказательство теоремы о локально плоских отображениях,— Погружения и субмерсии.— Подмногообразия гладкого многообразия,— Подпространство, касательное к подмногообразию,— Локальное задание подмногообразия,— Единственность структуры подмногообразия,— Случай вложенных подмногообразий.— Теорема о прообразе регулярного значения.— Решения систем уравнений.— Группа SL(rt) как подмногообразие.
ЛЕКЦИЯ 14.................................229
Теорема вложения.— Еще о компактных множествах.— Функции Урысона.— Доказательство теоремы вложения.— Многообразия, удовлетворяющие второй аксиоме счетности.— Разреженные и тощие множества.— Нуль-множества.
ЛЕКЦИЯ 15.................................24Г!
Теорема Сарда.—Аналитическая часть доказательства теоремы Сарда.— Прямое произведение многообразий.—Многообразие касательных векторов.— Доказательство теоремы вложения Уитни.
ЛЕКЦИЯ 16.................................257
Тензоры.— Тензорные поля.— Векторные поля и дифференцирования.— Алгебра Ли вектооныу nn.neii
СОДЕРЖАНИЕ 5
ЛI КИИ Я 17.................................273
Интегральные кривые векторных полей.— Векторные поля и потоки.— Перенос тензорных полей с помощью диффеоморфизмов.— Производная Ли тензорного поля.
ЛЬКЦИЯ 18.................................285
Линейные дифференциальные формы,—Дифференциальные формы произвольной степени.— Дифференциальные формы как функционалы от векторных полен,— Ьнутреннее произведение векторного поля и дифференциальной формы,— Перенос дифференциальной формы посредством гладкого отображения.
ЛЕКЦИЯ 19.................................298
Внешний дифференциал дифференциальной формы.— Производная Ли дифференциальной формы.
ЛЕКПИЯ 20................................309
Комплекс де Рама и группы когомологин гладкого многообразия.— Группа И°3?.— Лемма Пуанкаре.—Группа H'S2.— Группа WS1.— Вычисление ipynnu H'S1 с помощью интегралов,—Группа /-/г§2.— Группы H'S" при п > 2.— Группы Н'"§", ш < п.— Группы Н"§".
ЛЕКЦИЯ 21.................................335
Симплициальные схемы и их геометрические реализации,— Группы когомологий симплициальньгх схем.— Двойной комплекс покрытия,— Группы когомологий двойного комплекса,— Окаймленные двойные комплексы.— Краевые гомоморфизмы.— Ациклические комплексы.— Ацикличность по строкам при р = 0.
ЛЕКЦИЯ 22.................................350
Ацикличность по строкам двойного комплекса нумерируемого покрытия,— Ацикличность по столбцам двойного комплекса покрытия Лере.— Теорема де Рама —Лере.— Обобщение.— Группы Е%' У.—
Группы рР' *.— Группа, присоединенная к градуированной группе с фильтрацией.
ЛЕКЦИЯ 23.................................364
Группы ?{?' '.— Спектральные последовательности,—Спектральная
последовательность двойного комплекса.— Спектральная последовательность покрытия.
ЛЕКЦИЯ 24.................................378
Компактно исчерпываемые и паракомпактные топологические пространства.— Паракомпактные многообразия.— Интегралы в К".— Кубируемые множества и плотности в произвольных многообразиях..— Интегрирование плотностей.
ЛЕКЦИЯ 25................'................393
Ориентируемые многообразия,—Интегрирование форм,—Лемма Пуанкаре для финитных форм,— Группа Н^-т^.— Случай ориентируемого многообразия.
ЛЕКЦИЯ 26.................................408
Степень гладкого собственного отображения,— Алгебраическое число прообразов регулярного значения.— Инвариантность степени прн гладких гомотопнях,— Доказательство теоремы о барабане,— Инвариантность степени при любых гомотопнях.
•"•ЕКЦПЯ 27.................................420
Области с регулярной границей.— Теорема Стокса.— Формулы Гаусса—Остроградского, Грнна и Ньютона — Лейбница. — Многообразия
6 ПОДЕРЖАНИГ
с краем.— Внутренние и краевые точки.— Вложенные 5-подмного-ооразия. — Теорема Стокса для многообразии с краем и й-подмного-образин.—Теорема Стокса для поверхностных интегралов.—Теорема Стокеа для сингулярных подмногообразий,—Криволинейные интегралы второго рода.
ЛЕКЦИЯ 28........................•........433
Операторы векторного анализа.—Следствия тождества d о d=0.— Следствия формулы дифференцирования произведения.— Операторы Лапласа и Бельтрами.— Поток векторного поля.— Формула Гаусса— Остроградского для расходимости и формулы Грина.— Расходимость как плотность источников.— Формула Стокса для циркуляции.—Формула Гаусса-Остроградского для вихря.—Обобщенная формула Гаусса-Остроградского.
ЛЕКЦИЯ 29.................................455
Периоды дифференциальных форм.—Сингулярные симплексы, цепи, циклы и границы.— Теорема Стокса для интегралов по цепям.— Группы сингулярных гомологии.— Теорема де Рама.— Группы кого-мологип цепного комплекса.— Группы сингулярных когомологин.
Предметный указатель............................47^
ПРЕДИСЛОВИЕ
Геометрия была и остается Золушкой учебных пла-п(ш механико-математического факультета МГУ. Никогда за последние пятьдесят лет в этих планах не было ни оснований геометрии, ни алгебраических кривых, ни групп преобразований, ни даже проективной геометрии (если не считать отдельных ее обрывков, включенных в курс аналитической геометрии на первом семестре, которые читаются лишь при особо благоприятных обстоятельствах, и никто не беспокоится, когда лектор их комкает или даже вообще опускает). Студент вполне мог и может окончить мехмат—и успешно! — не имея, по существу, никакого представления о геометрии Лобачевского, идеях Кэли — Клейна в основаниях геометрии, свойствах алгебраических кривых и групп Ли.
Лет двенадцать тому назад вызванное все более распространяющимся внедрением геометрических методов переполнение курса математического анализа посторонним геометрическим материалом побудило создать на втором году обучения новый учебный курс под условным названием «Гладкие многообразия и дифференциальная геометрия» объемом — по одной лекции в неделю. Ожидалось, что этот курс во всяком случае освободит лекторов по анализу и смежным дисциплинам от изложения чуждого геометрического материала. Однако программа •'того курса не была достаточно четко продумана, а программы параллельных курсов анализа и теории дифференциальных уравнений не были с ней согласованы. И результате никакой реальной выгоды лекторы по анализу не получили, и дело доходило до анекдота—интегрирование дифференциальных форм на многообразиях и формула Стокса с равной степенью подробности — и лишь г незначительно сдвинутыми точками зрения—дважды Рассказывались в двух параллельно читаемых курсах •чиализа и геометрии!
Цена: 150руб.
