Книга посвящена вопросам теории игр, ставшим в достаточной мере традиционными. В то же время в ней обстоятельно излагается много фактов, которые до сих пор были известны лишь по журнальным публикациям (теоремы о минимаксе, о биматричных играх).
Важной чертой книги является то, что авторы стремятся' представить теорию игр как неотъемлемую часть математики, ' органически связанную с основными ее разделами. В частности, описан ряд внеигровых применений теоретико-игровых результатов.
Книга представляет интерес как для математиков, работающих в области теории игр, так и для специалистов в области математической экономики и исследования операций. Она может также служить учебным пособием по представленным в ней разделам теории игр.
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
За последнее время вышло много монографий по теории игр, но все они посвящены различным конкретным" вопросам теории; Ни в одной из них не рассмотрены достаточно подробно все ее аспекты. Даже в книге Г. Оуэна «Теория игр» («Мир», 1971),, являющейся сейчас основным учебным пособием по теории игр, • главное внимание уделено играм п лиц, а такие разделы, как бесконечные антагонистические игры, динамические игры, изложены весьма схематично. Предлагаемая читателю монография служит хорошим дополнением к книге Оуэна.
Содержание монографии вполне соответствует ее названию. В ней достаточно подробно, на современном уровне изложены основные математические аспекты теории игр двух лиц.
Важной особенностью книги является то, что в нее включено много фактов теории игр, которые до" сих пор были известны лишь по журнальным публикациям. Это в первую очередь относится к главе 5 «Общие теоремы о минимаксе», в которой помимо указанных в заглавии теорем обсуждаются свойства оптимальных стратегий бесконечных антагонистических игр. Большой интерес представляет описание алгоритма Лемке—Хоусона нахождения ситуаций равновесия в биматричных играх (глава 7). В главе 3 приведены результаты о распространении свойства существования седловой точки с подматриц на матрицу и о сед-ловых точках (обычных и обобщенных) для порядковых матриц. Впервые в монографической литературе излагаются (глава 6) применения ^теоретико-игровых результатов к доказательству теорем из других разделов математики (теоремы о среднем расстоянии до конечной системы точек в компактном метрическом пространстве; теоремы о сходимости интегралов от непрерывных функций на полном сепарабельном метрическом пространстве; теоремы Лузина об отделимости аналитических множеств и др.).
Остальной материал носит традиционный характер, его можно найти и в других монографиях. Исключение составляет глава 10, в которой теория стохастических игр изложена гораздо подробнее, чем у Оуэна.
Из общего плана книги несколько выпадает лишь глава 9 «Игры п лиц и решения произведений простых игр». Наконец, в «главе» 11 указаны три нерешенные проблемы теории игр.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода Предисловие ....
Глава 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ.................. 9f
.1. Множества и порядок................. |ГЖ
.2. Топологические пространства ............. Ц>
.3. Фильтры и топология произведения.......... \1к
А. Выпуклые множества ~и линейные пространства..... ЦТ
.5. Теорема Хана—Банаха................ 20
.6. Теоремы об отделимости................ 21'
.7. Слабая и «-слабая топологии . . ........... 23
.8. Теорема Крейна—Мильмана.............. 24
.9. Выпуклые множества в Rn .............. 25
§ 1.10. Выпуклые функции.................. 30
§ 1.11. Теоремы о неподвижной точке............. 35
Глава 2. ИГРЫ в позиционной и НОРМАЛЬНОЙ ФОРМАХ.......... 41
§ 2.1. Графы.......................... 41
§ 2.2. Игры и теория игр................... 42
§ 2.3. Чистые стратегии и нормальная форма игры....... 47
§ 2.4. Седловые точки..................... 51
§ 2.5. Игры с полной информацией.............. 53
§ 2.6. Смешанные стратегии.................. 58
. § 2.7. Теорема о минимаксе для конечных игр . ........ 60
§ 2.8. Примеры конечных игр................. 64
Глава 3. ОПТИМАЛЬНЫЕ СТРАТЕГИИ КОНЕЧНЫХ игр ............ 6Э
§3.1. Множества оптимальных стратегий ........... 69,
§ 3.2. Теоремы о седловых точках............... 86
§ 3.3. Упорядочение матриц выигрышей............ 89
§ 3.4. Положительные игровые матрицы............ 97
Глава 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ СТРАТЕГИЙ............. 10°
§ 4.1. Линейные неравенства, связанные с игрой......, . 100
§ 4.2. Линейное программирование.............. Ю1
.§ 4.3. Симплекс-метод....................• '06
§ 4.4. Нелинейное программирование............> О
§ 4.5. Максимумы вогнутых функций ............ •"> '^З
Глава 5. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ о МИНИМАКСЕ ...........••'*''
§5.1. Стратегические игры ............• ' ' ' ' '
§5.2. Обобщение теоремы 5.1.1 ,...........«:•'..... 13(>
Оглавление 295
§ 5.3. Общие теоремы о минимаксе .............. 134
§ 5.4. Игры на единичном квадрате.............. 140
§ 5.5. Выпуклые конусы и оптимальные стратегии конечного типа
§ 5.6. Крайние оптимальные стратегии в бесконечных играх . . 149
Глава 6. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРЕМ о МИНИМАКСЕ .............. 154
§ 6.1. Доказательство теоремы 6.1.1.............. 155
§ 6.2. Теорема о переключательной функции.......... 159
§ 6.3. Доказательство теоремы 6.3.1.............. 162
§ 6.4. Доказательство теоремы 6.4.1.............. 166
Глава 7. БЕСКОАЛИЦИОННЫЕ НЕАНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ двух лиц .... 169
§ 7.1. Введение и примеры.................. 169
§ 7.2. Теоремы существования................. 170
§ 7.3. Алгоритмы....................... 177
§ 7.4. Нелинейное программирование и биматричные игры . . . 184
§ 7.5. Вычисление ситуаций равновесия. Пример........ 187
§ 7.6. Теорема Воробьева—Куна . . . ,............ 193
§ 7.7. Вполне смешанные стратегии в биматричных играх . . . 198
Глава 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ................... 202
§8.1. Примеры дифференциальных игр............. 202
§ 8.2. Построение модели в дифференциальных играх...... 203
§ 8.3. Математические основания теории дифференциальных игр 208
§ 8.4. Проблема сходимости.................. 211
§ 8.5. Непрерывные дифференциальные игры.......... 223
§ 8.6. Решение одного примера дифференциальной игры .... 226
Глава 9. ИГРЫ » лиц и РЕШЕНИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЙ ПРОСТЫХ игр . ........ 235
§ 9.1. Игры п лиц ...................... 235
§ 9.2. Решения игр п лиц................... 242
§ 9.3. Игра, не имеющая решения . .............. 248
§ 9.4. Решения произведений простых игр........... 251
Глава 10. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ.................... 259
§ 10.1. Постановка задачи.................... 259
§ 10.2. Определения и обозначения .............. 260
§ 10.3. Существование оптимальных стратегий......... 262
§ 10.4. Стохастические игры с нулевыми вероятностями остановки 268
Глава 11. НЕКОТОРЫЕ НЕРЕШЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ.............. 274
Комментарии-редактора перевода.................. 276
Список литературы......................... 285
Именной указатель......................... 291
Предметный указатель....................... 292
Цена: 150руб.
