ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга предназначается в качестве учебного пособия для физико-математических факультетов педагогических институток по разделу «Тригонометрия» специального курса элементарной математики. При написании настоящей книги я руководствовался теми же принципами, которые положены в основу моей книги «Специальный курс элементарной алгебры» и которые подробно высказаны мною в предисловии к упомянутой книге.
Едва ли нужно доказывать необходимость углубленного и систематического изучения студентами педагогических вузов элементарной математики, т. е. той дисциплины, которую они станут преподавать в школе. Различные курсы «высшей» математики, изучаемые в педагогических вузах, при всем их огромном значении не могут сами по себе обеспечить необходимой профессиональной подготовки будущего учителя.
Было бы ошибкой думать, что студент педагогического института изучает элементарную математику только лишь при прохождении дисциплины, значащейся в учебном плане под названием «Специальный курс элементарной математики». Эта дисциплина содержит лишь сравнительно немногие, основные, вопросы элементарной математики, изучаемые в их взаимной связи и в связи с дисциплинами «высшей» математики. Изучение методики математики, прохождение педагогической практики и работа в специальных семинарах требуют от студента серьезного самостоятельного изучения элементарной математики. По этой причине учебная литература по элементарной математике, как я полагаю, не может строго ограничиваться рамками программы «Специального курса», а должна содержать с и с т е ы а т и ч е с к о е, углубленное, научно обоснованное и полное изложение элементарной математики. В учебниках и пособиях по элементарной математике студент должен находить ответы на самые разнообразные вопросы, которые могут у него возникнуть по содержанию школьного курса математики. Эти сссбражения и побудили меня при написании настоящей книги дать систематическое изложение тригонометрии, тогда как в программе «Специального курса» вопросы тригонометрии занимают сравнительно небольшой удельный вес.
Настоящую книгу следует рассматривать как продолжение моей книги «Специальный курс элементарной алгебры», поэтому вопросы (например, общие положения теории уравнений и неравенств), содержащиеся в указанной книге и необходимые для тех или иных разделов курса тригонометрии, в тексте не излагаются, а делаются ссылки на соответствующие параграфы «Специального курса элементарной алгебры»
Последняя, VII глава настоящей книги содержит ссновы теории элементарных трансцендентных функций над полем комплексных чисел, т. е. материал, не относящийся собственно к тригонометрии. Этот материал отнесен мною к курсу тригонометрии потому, что невозможно изучать показательную логарифмическую, тригонометрические и обратные тригонометрические функции над полем комплексных чисел независимо друг от друга.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
§ 1. О содержании курса тригонометрии................ g
§ И. Основные понятия теории проекций..............| ' -j
§ 3. Углы и их измерение...................... jj
§ 4. Координатная плоскость...................' jg
§ 5. О монотонных функциях..................... 21
§ 6. Периодические функции..........'........... 24
Глава I. Геометрическая теория тригонометрических функций
§ 7. Тригонометрические функции угла................ 27
§ 8. Различные интерпретации тригонометрических функций...... 32
§ 9. Аргумент тригонометрической функции.............. 37
§ 10. Области определения тригонометрических функций........ 40
§ 11. Тригонометрические функции от некоторых частных значений
аргумента...........................: 41
§ 12. Периодичность тригонометрических функций........... 43
§ 13. Интервалы знакопостоянства тригонометрических функций..... 45
§ 14. Четность и нечетность тригонометрических функций........ 47
§ 15. Множества значений тригонометрических функций......... 48
§ 16. Нахождение множества всех дуг по данному значению тригонометрической функции...................... 53
§ 17. Соотношения между тригонометрическими функциями, тригонометрические тождества........................ 57
§ 18. Промежутки монотонности тригонометрических функций...... 70
§ 19. Непрерывность тригонометрических функций........... 79
§ 20. Принцип продолжения по непрерывности, особые значения аргумента 82
§ 21. Графики тригонометрических функций.............• 86
Глава II. Теоремы сложения и их следствия
§ 22. Теоремы сложения........................ 96
§ 23. Формулы приведения....................... '06
§ 24. Тригонометрические функции кратных дуг............ '^
§ 25. Формулы деления аргумента.................._• "5
§ 26. Формулы преобразования произведения тригонометрических функций
в сумму...........................„'
§ 27. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций
в произведение........................„• }~г
§ 28. Примеры выполнения различных тригонометрических преобразовании 130
§ 29. Вычисление некоторых тригонометрических сумм и произведений 140
462
§ 30. Введение вспомогательных углов и тригонометрические подстановки 159
§ 31. Рационализирующие подстановки ................jgg
§ 32. Примеры исследования функций............... [ 173
Глава III. Обратные тригонометрические функции
§ 33. Аркфункции........................... 182
§ 34. Тригонометрические операции над аркфункциями......... 194
§ 35. Соотношения между аркфункциями................ 198
§ 36. Выполнение обратных тригонометрических операций над тригонометрическими функциями .................... 204
§ 37. Формулы сложения....................... 209
§ 38. Примеры преобразования сумм аркфункций............ 217
§ 39. Полиномы Чебышева....................... 225
Глава IV. Уравнения и неравенства
§ 40. Тригонометрические уравнения..................230
§ 41. Об особых случаях решения уравнений..............237
§ 42. Соотношения между двумя дугами, имеющими одинаковое значение
данной тригонометрической функции...............240
§ 43. Решение уравнений посредством подстановок...........246
§ 44. Рационализирующие подстановки.................250
§ 45. О преобразовании формул общего решения тригонометрического
уравнения...........................255
§ 46. Различные частные приемы решения тригонометрических уравнений 259 * л? Нркотооые системы тригонометрических уравнений и методы их
' ...........272
280
§ 47. Некоторые системы iym^,,^...^,r....
решения.........................
§ 48. Уравнения, содержащие неизвестные под знаками аркфункций § 49. Примеры решения некоторых трансцендентных уравнений . .
s F.O. Поостейшие тригонометрические неравенства .....
---,,,,„ тпнгпнометои
других транс
290 294
300
J
§ 50. Простейшие тригономсирл-.^^,^ .._г_
§ 51. О различных приемах решения тригонометрических и
цендентных неравенств ..............
§ 52. Неравенства, содержащие аргумент и его тригонометрические
функции............................311
§ 53. Некоторые замечательные пределы................318
§ 54. Некоторые задачи на наибольшие и наименьшие значения.....319
§ 55. О приближенном решении трансцендентных уравнений.......324
Глава V. Вычисление элементов геометрических фигур. Применения тригонометрии
§ 56. Общие понятия......................... 328
§ 57. Соотношения между основными элементами треугольника..... 329
§ 58. Тригонометрические тождества и неравенства, имеющие место для
углов треугольника....................... 334
§ 59. Элементы различных измерений, ряд равных отношений...... 338
§ 60. Соотношения между различными элементами треугольника..... 340
§ 61. Общий принцип Торопова решения треугольников......... 350
§ 62. Основные случаи решения треугольников..... '•
- "1 и~™,иопныр случаи решения треугольников
Неосновные случаи решения
§ 63. Неосновные случ
§ 64. О задачах на решение многоугольников ........
§ 65. Применение тригонометрии к стереометрическим задачам
к RR Ппнятие о геодезических задачах
j— ~,„-о шриянике,
352 35? 364
370 382
Глава VI. Аналитическая теория тригонометрических функций
§ 69. Аксиоматический метод в тригонометрии ............. 405
§ 70. Теорема единственности..................... 413
§ 71. Геометрическая интерпретация функций С(х) и S(x)........ 416
§ 72. Различные конкретные определения тригонометрических функций . . 417
§ 73. О различных способах построения теории тригонометрических функций 425
§ 74. Трансцендентность тригонометрических функций.......... 430
§ 75. Вычисление значений тригонометрических функций аналитическими
средствами............................ 432
Глава VII. Элементарные трансцендентные функции над полем комплексных чисел
§ 76. Показательная функция над полем комплексных чисел и ее связь
с тригонометрическими функциями................ 434
§ 77. Тригонометрические функции от комплексного аргумента...... 441
§ 78. Логарифмическая функция.................... 447
§ 79. Обратные тригонометрические функции от комплексного аргумента 450
§ 80. Степенная, общая показательная и общая логарифмическая функции 455
Алфавитный указатель........................ 460
Цена: 300руб.
