Предисловие ......... ............ 6
ЛЕКЦИЯ I......,................... 9
Гладкие и топологические группы. — Ослабление условий, определяющих группы Ли. — Примеры групп Ли. — Преобразование Кэли. — Дальнейшие примеры групп Ли. — Связные и линейно спя >-ные пространства и группы. — Редукция любых гладких групп к связным. — Примеры связных групп Ли.
ЛЕКЦИЯ 2.........................2Э
Левоинвариантные векторные поля. — Параллелизуемость групп Ли. — Интегральные кривые левоинварнантных векторных полей и однопараметрические подгруппы. — Функтор Ли. — Пример: группа обратимых элементов ассоциативной алгебры. — Функции со значениями в ассоциативной алгебре. — Однопараметрические подгруппы группы й(Л).
ЛЕКЦИЯ 3.........................48
Матричные группы Ли, допускающие конструкцию Кэли. — Обобщение конструкции Кэли. — Группы, обладающие In-образами. — Алгебры Ли.— Примеры алгебр Ли.—Алгебра Ля векторных полей. — Алгебра Ли группы Ли. — Пример: алгебра Ли группы обратимых элементов ассоциативной алгебры. — Локально изоморфные группы Ли. — Групускулы Ли. — Функтор Ли на категории групускул Ли.
ЛЕКЦИЯ 4 ........ .................70
Экспонента линейного дифференциального оператора. — Формула для значений гладких функций в нормальной окрестности единицы группы Ли. — Формула для значений гладких функций на произведении двух элементов. — Ряд Кемпйелла — Хаусдорфа и многочлены Дынкппа. — Сходимость ряда Кэмпбелла — Хаусдорфа. — Восстановление групускулы Ли по ее алгебре Ли. — Операции в алгебре Ли группы Ли и однопараметрпческие подгруппы. — Дифференциалы внутренних автоморфизмов. — Дифференциал экспоненциального отображения. — Канонические координаты. — Единственность структуры группы Ли. — Группы без малых подгрупп и пятая проблема Гильберта.
ЛЕКЦИЯ 5.........................93
Свободные ассоциативные алгебры, — Свободные алгебры Ли.— Основная лемма. — Универсальная обертывающая алгебра. — Вло-жснпе алгебры Ли в ее универсальную обертывающую алгебру. — Доказательство того, что" алгебра IШ свободна. -Теорема Пуанкаре — Биркгофа — Внгта. — Тензорные произведения линеалов и алгебр. — Алгебры Хопфа.
ЛЕКЦИЯ 6........................ш
Теорема Фридрихса. — Доказательство утверждения В из лекции 4.— Теорема Дынкина. — Линейная часть ряда Кемпбеллз — Хаусдорфа. — Сходимость ряда Кемибелла — Хаусдорфа. — Групп-алгебры Ли. — Экви71алентность категорий групускул и группал-гебр Ля. — Изоморфизм категорий групяалгобр и алгебр Ли. — Третья теорема Лн.
4 СОДЕРЖАНИЕ
ЛЕКЦИЯ 7
138
Подгрупускулы и подалгебры. — Инвариантные подгрупускулы и идеалы. — Факторгрупускулы и факторалгебры. — Сведение гладких групускул к аналитическим. — Системы Пфаффа. — Подрас-слоения касательных расслоений. — Интегрируемые подрасслое-ния. — Графики систем Пфаффа. — Инволютивные подрасслое-ния. — Полная унивалентность функтора Ли. — Инволютивность интегрируемых подрасслоений. — Вполне интегрируемые подрасслое-нпя.
ЛЕКЦИЯ 8 165
накрыт
ЛЕКЦИЯ 9.......................199
Гладкие накрытия. — Изоморфизм категорий гладких и топологических накрытий. — Существование универсальных гладких накрытий. — Накрытия гладких и топологических групп. — Универсальные накрытия грущт Ли.—Леммы о топологических группах.— Локальные изоморфизмы и накрытия. — Описание локально изоморфных групп Ли.
ЛЕКЦИЯ 10............ .........204
Локальные изоморфизмы и изоморфизмы локализаций. — Теорема Картана. — Окончательная диаграмма категорий и функторов. — Редукция теоремы Картана. — Глобализуемость вложимых групускул. — Сведение теоремы Картана к теореме Адо.
ЛЕКЦИЯ 11.................... ... 216
Подмногообразии гладких многообразий. — Подгруппы групп Ли. — Интегральные многообразия интегрируемых подрасслоений. — Максимальные интегральные многообразия. — Идея доказательства теоремы 1. — Локальное строение подмногообразий. — Единственность структуры локально выпрямляемого подмногообразия со счетной базой. — Подмногообразия многообразий со счетной базой. — Связные группы Ли имеют счетную базу. —- Локальная вы-прямляемость максимальных интегральных многообразий. — Доказательство теоремы 1.
ЛЕКЦИЯ 12............ . . ..... 238
Альтернативные определения понятия подгруппы группы Ли. — Топологические подгруппы групп Ли. — Замкнутые подгруппы групп Ли. — Алгебраические группы. — Группы автоморфизмов алгебр. — Группы автоморфизмов групп Ли. — Идеалы и инвариантные подгруппы. — Фактормногообразия групп Ли. — Факторгруппы групп Ли. — Вычисление фундаментальных групп. — Односвязность групп SV(n) и Sp(n). — Фундаментальная группа группы U (л).
ЛЕКЦИЯ 13..........................258
Алгебра Клиффорда квадратичного функционала.— 2з-градуиров-ка алгебры Клиффорда. — Еще о тензорном умножении линеалов и алгебр. — Разложение алгебр Клиффорда в косое тензорное произведение. — Базис алгебры Клиффорда. — Сопряжение в алгебре Клиффорда. — Центр алгебры Клиффорда. — Группа Ли Spin(n). — Фундаментальная группа группы SO(n). —Группы Spin(n) ппч п < 4. — Гомоморфизм х- — Группа Spln(6). — Группа Spin(5). — Матричные представления алгебр Клиффорда. — Матричные представления групп Spin(n). — Матричные группы, в которых представлены группы Spin(n). — Редуцированные представления групп Spin(n). — Дополнительные сведения из линейной
СОДЕРЖАНИЕ ч
ЛЕКЦИЯ 14....... ..... 300
Удвоение алгебр. — Метрические алгебры. — Нормированные алгебры — Автоморфизмы и дифференцирования метрических алгебр.— Дифференцирования удвоенной алгебры. — Дифференцирования и автоморфизмы алгебры Н • — Алгебра октав. — Алгебра Ли й2. -Структурные константы алгебры Ли s^. Задание алгебры Ли g1-; образующими и соотношениями.
ЛЕКЦИЯ 15..................................322
Тождества в алгебре октав Са. — Подалгебры алгебры октап Са. — Группа Ли GJ. — Принцип тройственности для группы Spin(8). — Аналог принципа тройственности для группы Spin(9).—• Алгебра Алберта А1. — Октавная проективная плоскость.
ЛЕКЦИЯ 16............ . .......344
Скалярные произведения в алгебре А1. — Автоморфизмы и дифференцирования алгебры AI, — Присоединенные дифференцирования алгебры А1.—Теорема Фрсйденталя. — Следствия теоремы Фрейденталя. — Группа Ли Ft.— Алгебра Ли f4. — Структура алгебры Ли f "
ЛЕКЦИЯ 17 Р
ЛЕКЦИЯ 18............ . .... 380
Следный функционал. — Функционал Киллинга. — Следный функционал представления. — Жорданово разложение линейного опера-
""""""""'TQuufir-n ППВПЯТЛТ1Я. — ТОО-
ВЫрижДСПНШЛ! *_,/lcMnuiivi vvj""-*---------- . .
Ли. — Критерий Картана полупростоты. — Операторы Казимира.
Группы и алгебры ЛИ-М.М.Постникоа Москва 1982 стр.450
ЛЕКЦИЯ 19.............. . .... 397
Когомологии алгебр Ли. — Теорема Уайтхеда. — Разложение Фит-тинга. — Обобщенная теорема Уайтхеда. — Леммы Уайтхеда. — Теорема Вейля о полной приводимости. — Расширения абелевых алгебр Ли.
ЛЕКЦИЯ 20 ..................................412
Теорема Леви. — Простые алгебры и группы Ли. — Каиновы и уннмодулярные группы. — Лемма Шура. — Центр простой матричной группы Ли. — Пример нематричной группы Ли. — Когомологии де Рама. — Когомологии алгебр Ли векторных полей. — Сравнение коюмологий группы Ли и ее алгебры Ли.
ЛЕКЦИЯ 21 ..................................427
Функционал Киллинга идеала. — Некоторые свойства дифференцирований. — Радикал и нильрадикал идеала. — Продолжение дифференцирований на универсальную обертывающую алгебру. — Идеалы конечной коразмерности обертывающей алгебры. — Радикал ассоциативной алгебры. — Обоснование индуктивного шага построения. — Доказательство теоремы Адо. — Заключение.
Литература ...........442
Предметный указатель '...',... ''*!"'!'.*'..* 4"Н
Предисловие
В основе теории групп Ли лежит теорема Кар-тана об эквивалентности категории односвязных групп Ли категории алгебр Ли. Эта книга посвящена доказательству теоремы Картана и основных связанных с ней результатов. Более глубокие отделы теории групп Ли, опирающиеся на теорему Картана, остаются, таким образом, вне рамок нашего изложения. Точно так же, теория алгебр Ли излагается лишь постольку, поскольку зто необходимо для доказательства теоремы Картана,
Подобно предыдущим книгам этой серии1), настоящая книга представляет собой почти точную запись лекций, которые автор читал студентам (и аспирантам) механико-математического факультета Московского университета. Однако если книги I и II основывались на лекциях обязательного курса, то эта книга является записью спецкурса, что обусловило ряд ее существенных отличий.
Ориентация на студентов старших курсов и аспирантов (отнесение этих лекций к пятому семестру имеет условный характер, поскольку контингент их слушателей довольно равномерно распределялся по всем старшим курсам) позволила за «законные» два академических часа (90 минут) излагать значительно больше материала, чем это было возможно на лекциях из I и II, рассчитанных на первокурсников. Увеличению объема лекций способствовало также их удлинение почти до двух астрономических часов (120 минут) за счет сокращения перерыва и затягивания лекций после звонка.
В-е это дало возможность почти вдвое увеличить фактический объем каждой лекции. Конечно, при менее напряженном ритме преподавания, —скажем, в условиях годового, а не семестрового курса, —каждая лекция разворачивается фактически в полторы-две лекции. Поэтому, быть может, эту книгу лучше рассматривать как запись годового спецкурса (но мне удавалось — при особо благоприятных обстоятельствах —укладываться и в один семестр), тем более, что по разным причинам обычно за семестр прочитывается не более 12—13 лекций, хотя по учебному плану их 18.
Из-за острейшего дефицита времени при чтении специального курса значительно чаще, чем в обязательном курсе, приходится ограничиваться лишь идеей доказательств, оставляя подробное их проведение слушателям, Вспомогательные утверждения из других отделов математики достаточно лишь формулировать со ссылками на литературу, а иллюстрирующие общую теорию примеры лишь описывать, также предоставляя их гюдроб* ный разбор слушателям. При переносе же устной лекции на бумагу сохранять эти особенности нет необходимости и, более того, все доказательства стоит производить подробно, разбор примеров осуществлять до конца, а «посторонние» леммы доказывать. Это приводит к дополнительному разбуханию объема записанной лекции
гчогла вдвое-втрое.
Каждый лектор, предполагая у слушателей определенный запас знании, всё же вынужден особо важные предварительные сведения хотя бы вкратце напоминать. При письменном изложении эти напоминания приходится для удобства читателей разворачивать в систематический раздел подчас довольно большого объема.
Всем этим объясняется неожиданно большой объем некоторых лекций в книге. Все же с учетом всего сказанного каждая лекция в книге на самом деле является записью реальней устной лекции (с точностью до само собой разумеющихся передвижек начальных н концевых отрезков соседних лекций).
Все лекции фактически разбиваются на 5 циклов. В первом цикле (лекции 1—3) вводятся и разъясняются па примерах основные понятия: группа Ли, алгебра Ли, алгебра Ли д;-ппг,;\ группы Ли.
Цена: 150руб.
