ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ х"'
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
1. Область рациональных чисел....................... 11
1. Предварительные замечания..............'.......... 11
2. Упорядочение области рациональных чисел .............. 12
3. Сложение и вычитание рациональных чисел.............. 12
4. Умножение и деление рациональных чисел............... 14
5. Аксиома Архимеда . . . .......... . ................. 16
2. Введение иррациональных чисел. Упорядочение области вещественных чисел............................... 17
6. Определение иррационального числа................... 17
7. Упорядочение области вещественных чисел.............. 19
8. Вспомогательные предложения........................ 21
9. Представление вещественного числа бесконечной десятичной дробью..................................... 22
10. Непрерывность области вещественных чисел............. 24
11. Границы числовых множеств......»-................. 25
3. Арифметические действия над вещественными числами ..... 28
12. Определение суммы вещественных чисел................ 28
13. Свойства сложения . . ............................ 29
v 14. Определение произведения вещественных чисел1........... 31
15. Свойства умножения....................>........ 32
16. Заключение................................... 34
17. Абсолютные величины............................ 34
4. Дальнейшие свойства и приложения вещественных чисел ... 35
18. Существование корня. Степень с рациональным показателем ... 33
19. Степень с любым вещественным показателем............. 37
20. Логарифмы . . ................................. 39
21. Измерение отрезков , ............................ 40
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
1. Варианта и ее предел............................ 43
22. Переменная величина, варианта..............-........ 43
23. Предел варианты....................__........... 46
24. Бесконечно малые величины .............'........... 47
1»
25. Примеры..................................... 48
26. Некоторые теоремы о варианте, имеющей предел.......... 52
27. Бесконечно большие величины...................... 54
§ 2. Теоремы о пределах, облегчающие нахождение пределов ... 56
28. Предельный переход в равенстве и неравенстве........... 56
29. Леммы о бесконечно малых........................ 57
30. Арифметические операции над переменными............. 58
31. Неопределенные выражения........................ 60
32. Примеры на нахождение пределов.................... 62
33. Теорема Штольца и ее применения................... 67
§ 3. Монотонная варианта............................. 70
34. Предел монотонной варианты........................ 70
35. Примеры ....................;............... 72
36. Число е..................................... 77
37. Приближенное вычисление числа е.................... 79
38. Лемма о вложенных промежутках.................... 82
§ 4. Принцип сходимости. Частичные пределы............... 83
39. Принцип сходимости............................. 83
40. Частичные последовательности и частичные пределы........ 85
41. Лемма Больцано — Вейерштрасса..................... 87
42. Наибольший и наименьший пределы................... 89
ГЛАВА ВТОРАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Понятие функции................................ 93
43. Переменная и область ее изменения...............' . . . . 93
44. Функциональная зависимость между переменными. Примеры ... 94
45. Определение понятия функции...................... 95
46. Аналитический способ задания функции................ 98
47. График функции . ............................... 100
48. Важнейшие классы функций........................ 102
49. Понятие обратной функции ........'................ 108
50. Обратные тригонометрические функции................. НО
51. Суперпозиция функций. Заключительные замечания......... 114
§ 2. Предел функции................................ 115
52. Определение предела функции....................... 115
53. Сведение к случаю варианты....................... 117
54. Примеры..................................... 120
55. Распространение теории пределов .................... 128
56. Примеры..........•.......................... 130
57. Предел монотонной функции........................ 133
58. Общий признак Больцано—Коши..................... 134
59. Наибольший и наименьший пределы функции............. 135
§ 3. Классификация бесконечно малых и бесконечно больших величин ........................-•••-................ 136
60. Сравнение бесконечно малых....................... 136
61. Шкала бесконечно малых.......................... 137
62. Эквивалентные бесконечно малые..................... 139
63. Выделение главной части г......................... 141
64. Задачи . . . ................................... 143
65. Классификация бесконечно больших................... 145
. 146
(и разрывы) функций............ И6
^ • ^_______...... rt TnUUf1 ........... ..„
151
VU. *-r-
69. Односторонняя непрерыот«,,„.....--^__
70. Примеры разрывных функций............"...........
71. Непрерывность и разрывы монотонной функции . . . •.......154
72. Непрерывность элементарных функций..............
73. Суперпозиция непрерывных функций...............
74. Решение одного функционального уравнения.............157
75. Функциональная характеристика показательной, логарифмической
и степенной функций............................158
76. Функциональная характеристика тригонометрического и гиперболического косинусов.............................160
77. Использование непрерывности функций для вычисления пределов 162
78. Степенно-показательные выражения...................165
79. Примеры....................................166
§ 5. Свойства непрерывных функций . . . . 168
~ -- -л ~Х„отоиин ftlVHKIU»
в нуль
80. Теорема об обращении функции в
81. Применение к решению уравнений........
82. Теорема о промежуточном значении.......
83. Существование обратной функции........
84. Теорема об ограниченности функции......
85. Наибольшее и наименьшее значения функции
86. Понятие равномерной непрерывности ......
. 168
. 170
. 171
. П2
. П4
. 175
. 178 179
OU. 11 «ил •*"*. f-------* ~ ......*...... , О(\
87. Теорема Кантора...................... . . i»«
I! Йовые* д^аГтельс'тва основных'теорем! '. '. '. '. '........'• • • • *<
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
, 186
5 4fSSrKS?SSrSSSi «ЕЙ ™=':':':':'::::: IS
91. Задача о проведении касательной к кривой......•....... 189
92 Определение производной................. ..... 193
93 Примеры вычисления производных............. .... 196
94 Производная обратной функции..................... 198
95. Сводка формул для производных.............. ......igg
96. Формула для приращения функции . . . . • • • • • • • • •......199
97 Простейшие правила вычисления производных...... ___202
98. Производная сложной функции............... .... 203
99. Примеры.............................'.......209
100. Односторонние производные .....•......... .... 209
101. Бесконечные производные................... .....211
102. Дальнейшие примеры особых случаев...........
§ 2. Дифференциал...........•.................... 211
103. Определение дифференциала ••••••' '^шествова'ниём' 'произ-
104. Связь между дифференцируемостью и существование н 213
105. 00сДно°вЙныё 'формулы' и правила дифференцирования ......• • 2Ш
106. Инвариантность формы дифференциала .... . • • • • ' ' ' ' 218
107. Дифференциалы как источник пРиближ„е"НПогп!шностей '. . . . 220
108. Применение дифференциалов при оценкелюгрешностеи
§ 3. Основные теоремы дифференциального исчисления........ 223
109. Теорема Ферма..............t............. . 223
ПО. Теорема Дарбу................................224
111. Теорема Ролля................................225
112. Формула Лагранжа.............................. 226
113. Предел производной...............................228
114. Формула Коши................................229
§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков........231
115. Определение производных высших порядков. ............231
116. Общие формулы для производных любого порядка........г 232
117. Формула Лейбница.............................236
118. Примеры....................................238
119. Дифференциалы высших порядков ...................241
120. Нарушение инвариантности формы для дифференциалов высших порядков....................................242
121. Параметрическое дифференцирование ....... . ,........243
122. Конечные разности ........_. .......;.............244
§ 5. Формула Тейлора................................ 246
123. Формула Тейлора для многочлена.................... 246
124. Разложение произвольной функции; дополнительный член в форме Пеано................................. 248
125. Примеры.................................... 251
126. Другие формы дополнительного члена................. 254
127. Приближенные формулы.... ;.\..................... 257
§ 6. Интерполирование............................... 263
128. Простейшая задача интерполирования. Формула Лагранжа .... 263 129., Дополнительный член формулы Лагранжа............... 264
130. Интерполирование с кратными узлами. Формула Эрмнта...... 265-
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ
§ 1. Изучение хода изменения функции...................268
131. Условие постоянства функции......................268
132. Условие монотонности функции.....................270
133. Доказательство неравенств........................273
134. Максимумы и минимумы; необходимые условия...........276
135. Достаточные условия. Первое правило. , . ..............278
136. Примеры............., . .................... . 280
137. Второе правило.,. 1........................... . 284
•138. Использование высших производных..................286
139. Разыскание наибольших и наименьших значений ..........288
140. Задачи..................................... 290
§ 2. Выпуклые (и вогнутые) функции.....................294
141. Определение выпуклой (вогнутой) функции ............. 294
142. Простейшие предложения о выпуклых функциях......... . 296
143. Условия выпуклости функции..................... . 29SM
144. Неравенство Иенсена и его приложения............... . 301
145. Точки пере1Иба. .............................. . 303
§ з. Построение графиков функций---.,..,............ • • 305
146 Постановка задачи..............................305
147 Схема построения графика. Примеры.................ЗОв
14в! Бесконечные разрывы, бесконечный промежуток. Асимптоты . . 308 149! Примеры. . .'.................................311
к 4 Раскрытие неопределенностей.......................314
0 о,,,
150. Неопределенность вида g...................... , . . di4
151. Неопределенность вида —.......;................. 320
152. Другие виды неопределенностей.................... - 322
§ 5. Приближенное решение уравнений................... • 324
153. Вводные замечания ............................. *324
154. Правило пропорциональных частей (метод хорд).......... 325
155. Правило Ньютона (метод касательных)................. 328
156. Примеры ,и упражнения................. . . •....... 331
157. Комбинированный метод.....................'..... 335
158. Примеры и упражнения..........................336
ГЛАВА ПЯТАЯ
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Основные понятия................................ 340
159. Функциональная зависимость между переменными. Примеры. . . 340
160. Функции двух переменных и области их определения.......341
161. Арифметическое n-мерное пространство................345
162. Примеры областей в.п-мерном пространстве..........•. . . 348
163. Общее определение открытой и замкнутой области........350
164. Функции п переменных...........................3§2
165. Предел функции нескольких переменных . ..............354
166. Сведение к случаю варианты.......................356
167. Примеры....................................358
168. Повторные пределы. .............................. 360
§ 2. Непрерывные функции............................ 362
169. Непрерывность и разрывы функций нескольких, переменных. . . 362
170. Операции над непрерывными функциями ................364
171. Функции, непрерывные в области. Теоремы Больцанр—Коши . . 365
172. Лемма Больцано — Вейерштрасса.................... 367
173. Теоремы Вейерштрасса...........................369
174. Равномерная непрерывность.......................370
175. Лемма Бореля................................372
176. Новые доказательства основных теорем................373
§ 3. Производные и дифференциалы функций нескольких перемен-
• •»• ••(•*»•*»***•*>••• » • • • • • • • . • ••* **>••• о/5
}11' Частные производные и частные дифференциалы..........375
,Zn Полное приращение функции.......................378
|'». Полный дифференциал ........................... 381
180. Геометрическая интерпретация для случая функции двух переменных............... . . . ;................'. . , 383
ion Производные от сложных функций...................386
182. Примеры.................................... 388
юл. ч>ормула конечных приращений..................... 390
184. Производная по заданному направлению................ 391
185. Инвариантность формы (первого) дифференциала.......... 394
186. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях....................................... 396
187. Однородные функции............................ 399
188. Формула Эйлера ............................... 400
§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков ........ 402
189. Производные высших порядков...................... 402
190. Теорема о смешанных производных................... 404
191. Обобщение.................................. 407
192. Производные высших порядков от сложной функции....... 408
193. Дифференциалы высших порядков........'............ 410
194. Дифференциалы сложных функций................... 413
195. Формула Тейлора.............................. 414
§ 5. Экстремумы, наибольшие и наименьшие значения........ . 417
196. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимые условия..................................... 417
197. Достаточные условия (случай функции двух переменных)..... 419
198. Достаточные условия (общий случай). . . .'.............. 422
199. Условия отсутствия экстремума..................... 425
200. Наибольшее и наименьшее значения функций. Примеры ...... 427
201. Задачи..................................... 431
ГЛАВА ШЕСТАЯ
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ; ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 1. Формальные свойства функциональных определителей..... 441
202. Определение функциональных определителей (якобианов) .... 441
203. Умножение якобианов........................... 442
204. Умножение функциональных матриц (матриц Якоби).......'. 444
§ 2. Неявные функции . . "............................. 447
205. Понятие неявной функции от одной переменной........... 447
206. Существование неявной функции.................... 449
207. Дифференцируемость неявной функции.....• • • • •'...... 451
208. Неявные функции от нескольких переменных............ 453
209. Вычисление производных неявных функций.............. 460
210. Примеры.................................... 463
§ 3. Некоторые приложения теории неявных функций......... 467
211. Относительные экстремумы........................ 467
212. Метод неопределенных множителей Лагранжа............ 470
213. Достаточные для относительного экстремума }словия....... 472
214. Примеры и задачи.............................. 473
215. Понятие независимости функций..................... 477
216. Ранг матрицы Якоби.............................. 479
§ 4. Замена переменных.............................. 483
217. Функции одной переменной........................ 483
218. Примеры................................... 485
nig Функции нескольких переменных. Замена независимых пере-
' менных.....................................488
920 Метод вычисления дифференциалов. . .................4»У
221. Общий случай замены переменных...................491
222! Примеры....................................4ЭЗ
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ
§ 1. Аналитическое представление кривых и поверхностей.'..... 503
223. Кривые на плоскости (в прямоугольных координатах).......503
224. Примеры....................................505
225. Кривые механического происхождения.................508
226. Кривые на плоскости (в полярных координатах). Примеры. ... 511
227. Поверхности и кривые в пространстве.................516
228. Параметрическое представление.................... . 518
229. Примеры...................................520
§ 2. Касательная и касательная плоскость................ . 523*
230. Касательная к плоской кривой в прямоугольных координатах 523
231. Примеры....................................525
232. Касательная в полярных координатах.................528
233. Примеры...................................529
234. Касательная к пространственной кривой. Касательная плоскость
к поверхности ................................ 530
235. Примеры.....................'...............534
236. Особые точки плоских кривых......................535
237. Случай параметрического задания кривой................ 540
§ 3. Касание кривых между собой.......................542
238. Огибающая семейства кривых......................542
239. Примеры....................................545
240. Характеристические точки.........................549
241. Порядок касания двух кривых......................551
242. Случай неявного задания одной из кривых..............553
243. Соприкасающаяся кривая.........................554
244. Другой подход к соприкасающимся кривым.............556
§ 4. Длина плоской кривой............................557
245. Леммы.....................................557
246. Направление на кривой..........................558
247. Длина кривой. Аддитивность длины дуги ..--....'.........560
248. Достаточные условия спрямляемости. Дифференциал дуги.....562
249. Дуга в роли параметра. Положительное направление касательной........................ .-............565
§ 5. Кривизна плоской кривой.......................... 568
250. Понятие кривизны............................. 568
?л. Круг кривизны и радиус кривизны................... 571
252. Примеры....., . ,........................... 573
<»3. Координаты центра кривизны....................... 577
254. Определение эволюты и эвольвенты; разыскание эволюты .... 578
255. Свойства эволют и эвольвент......................581
256. Разыскание эвольвент........................... 585
ДОПОЛНЕНИЕ
ЗАДАЧА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ФУНКЦИЙ
257. Случай функции одной переменной. . ......... . .-,.....587
258. Постановка задачи для двумерного случая....... .-.......588
259. Вспомогательные предложения.......""............... ..590
260. Основная теорема о распространении.................594
261. Обобщение..................................595
262. Заключительные замечания........................597
Алфавитный указатель................................ 600
Цена: 300руб.
